届二轮复习三角函数与平面向量.docx

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届二轮复习三角函数与平面向量

第19练　平面向量中的线性问题

[题型分析·高考展望]　平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，是解决代数问题和几何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点．多与其他知识联合命题，题型有选择题、填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键．

体验高考

1．（2015·课标全国Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，

＝3

，则（　　）

A.

＝－

＋

B.

＝

－

C.

＝

＋

D.

＝

－

答案　A

解析　∵

＝3

，∴

－

＝3（

－

），

即4

－

＝3

，∴

＝－

＋

.

2．（2016·课标全国甲）已知向量a＝（1，m），b＝（3，－2），且（a＋b）⊥b，则m等于（　　）

A．－8B．－6C．6D．8

答案　D

解析　由题知a＋b＝（4，m－2），因为（a＋b）⊥b，所以（a＋b）·b＝0，

即4×3＋（－2）×（m－2）＝0，解之得m＝8，故选D.

3．（2016·山东）已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝

.若n⊥（tm＋n），则实数t的值为（　　）

A．4B．－4C.

D．－

答案　B

解析　∵n⊥（tm＋n），

∴n·（tm＋n）＝0，即tm·n＋|n|2＝0，

∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，又4|m|＝3|n|，

∴t×

|n|2×

＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.

4．（2015·北京）在△ABC中，点M，N满足

＝2

，

＝

.若

＝x

＋y

，则x＝________；y＝________.

答案　

　－

解析　

＝

＋

＝

＋

＝

＋

（

－

）

＝

－

，∴x＝

，y＝－

.

高考必会题型

题型一　平面向量的线性运算及应用

例1　

（1）在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且

＝3

，点O在线段CD上（与点C，D不重合），若

＝x

＋（1－x）

，则x的取值范围是（　　）

A.

B.

C.

D.

（2）已知在△ABC中，D是AB边上的一点，若

＝2

，

＝

＋λ

，则λ＝________.

答案　

（1）D　

（2）

解析　

（1）设

＝y

，

∵

＝

＋

＝

＋y

＝

＋y（

－

）

＝－y

＋（1＋y）

.

∵

＝3

，点O在线段CD上（与点C，D不重合），

∴y∈

，

∵

＝x

＋（1－x）

，

∴x＝－y，∴x∈

.

（2）因为

＝2

，

＝

＋λ

，所以

＝

＋

＝

＋

＝

＋

（

－

）＝

＋

，所以λ＝

.

点评　平面向量的线性运算应注意三点

（1）三角形法则和平行四边形法则的运用条件．

（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

（3）

＝λ

＋μ

（λ，μ为实数），若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.

变式训练1　

（1）如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若

＝λ

＋k

，则λ＋k等于（　　）

A．1＋

B．2－

C．2D.

＋2

（2）在△ABC中，

＋

＋

＝0，

＝a，

＝b.若

＝ma，

＝nb，CG∩PQ＝H，

＝2

，则

＋

＝________.

答案　

（1）A　

（2）6

解析　

（1）根据向量的基本定理可得，

＝

＋

＝

＋（

－

）

＝

＋（

－

）

＝

＋

－

（

－

）

＝

·

＋

，

所以λ＝

，k＝1＋

，

所以λ＋k＝1＋

.故选A.

（2）由

＋

＋

＝0，知点G为△ABC的重心，取AB的中点D（图略），则

＝

＝

＝

（

＋

）＝

＋

，由P，H，Q三点共线，得

＋

＝1，则

＋

＝6.

题型二　平面向量的坐标运算

例2　

（1）已知点A（－3,0），B（0，

），点O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝30°，

＝λ

＋

，则实数λ的值为________．

答案　1

解析　由题意知

＝（－3,0），

＝（0，

），

则

＝（－3λ，

），

由∠AOC＝30°，知∠xOC＝150°，

∴tan150°＝

，即－

＝－

，∴λ＝1.

（2）平面内给定三个向量a＝（3,2），b＝（－1,2），c＝（4,1），请解答下列问题：

①求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

②若（a＋kc）∥（2b－a），求实数k；

③若d满足（d－c）∥（a＋b），且|d－c|＝

，求d.

解　①由题意得（3,2）＝m（－1,2）＋n（4,1），

∴

得

②a＋kc＝（3＋4k,2＋k），2b－a＝（－5,2），

∵（a＋kc）∥（2b－a），

∴2×（3＋4k）－（－5）（2＋k）＝0，∴k＝－

.

③设d＝（x，y），则d－c＝（x－4，y－1），a＋b＝（2,4），

由题意得

解得

或

∴d＝（3，－1）或d＝（5,3）．

点评　

（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：

①若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b（a≠0），则b＝λa.

（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．

（3）向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．

变式训练2　

（1）如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，F在线段CD上，设

＝a，

＝b，A

＝xa＋yb，则

＋

的最小值为（　　）

A．8＋2

B．8

C．6D．6＋2

（2）已知向量

＝（3，－4），

＝（6，－3），

＝（5－m，－3－m），若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．

答案　

（1）B　

（2）m≠

解析　

（1）因为点D为AB的中点，所以

＝2

，

因为

＝xa＋yb，所以

＝2x

＋y

.

因为点F在线段CD上，所以2x＋y＝1，又x，y＞0，

所以

＋

＝（2x＋y）

＝4＋

＋

≥4＋2

＝8，

当且仅当y＝2x＝

时取等号，

所以

＋

的最小值为8.

（2）因为

＝（3，－4），

＝（6，－3），

＝（5－m，－3－m），

所以

＝（3,1），

＝（－m－1，－m）．

由于点A、B、C能构成三角形，所以

与

不共线，

而当

与

共线时，有

＝

，解得m＝

，

故当点A、B、C能构成三角形时，

实数m满足的条件是m≠

.

高考题型精练

1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（　　）

A．a与λa的方向相反

B．a与λ2a的方向相同

C．|－λa|≥|a|

D．|－λa|≥|λ|a

答案　B

解析　对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．

2．设点M是△ABC所在平面上的一点，且

＋

＋

＝0，点D是AC的中点，则

的值为（　　）

A.

B.

C．1D．2

答案　A

解析　∵D是AC的中点，延长MD至E，

使得DE＝MD，

∴四边形MAEC为平行四边形，

∴

＝

＝

（

＋

）．

∵

＋

＋

＝0，

∴

＝－

（

＋

）＝－3

，

∴

＝

＝

，

故选A.

3．已知点A（－3,0），B（0,2），点O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2

，且∠AOC＝

，设

＝λ

＋

（λ∈R），则λ的值为（　　）

A．1B.

C.

D.

答案　D

解析　过点C作CE⊥x轴于点E（图略）．

由∠AOC＝

，知|OE|＝|CE|＝2，

所以

＝

＋

＝λ

＋

，

即

＝λ

，

所以（－2,0）＝λ（－3,0），故λ＝

.

4．在四边形ABCD中，

＝a＋2b，

＝－4a－b，

＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是（　　）

A．矩形B．平行四边形

C．梯形D．以上都不对

答案　C

解析　由已知，得

＝

＋

＋

＝－8a－2b

＝2（－4a－b）＝2

，故

∥

.

又因为

与

不平行，所以四边形ABCD是梯形．

5．设向量a，b满足|a|＝2

，b＝（2,1），则“a＝（4,2）”是“a∥b”成立的（　　）

A．充要条件

B．必要不充分条件

C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　若a＝（4,2），则|a|＝2

，且a∥b都成立；

∵a∥b，设a＝λb＝（2λ，λ），由|a|＝2

，知

4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2，

∴a＝（4,2）或a＝（－4，－2）．

因此“a＝（4,2）”是“a∥b”成立的充分不必要条件．

6．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，点E为BC的中点，则

等于（　　）

A.

＋

B.

＋

C.

＋

D.

＋

答案　A

解析　

＝

＋

＋

＝－

＋

，

＝

＋

＝

＋

＝

＋

＝

＋

.

7．给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则

＝

是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；

⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.

其中正确命题的序号是（　　）

A．②③B．①②C．③④D．④⑤

答案　A

解析　①方向不一定相同；④方向可能相反；⑤若b＝0，则不对．

8．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若

＝5e1，

＝3e2，则

＝________.（用e1，e2表示）

答案　

（5e1＋3e2）

解析　在矩形ABCD中，因为点O是对角线的交点，

所以

＝

＝

（

＋

）＝

（

＋

）

＝

（5e1＋3e2）．

9．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若

＝λ

＋μ

，则λ＋μ＝________.

答案　

解析　依题意得，

＝

＋

＋

＝

＋

－

＝

＋

，

＝

＋

＝

＋

.

又

＝λ

＋μ

，

于是有

＝λ

＋μ

＝

＋

.

又

与

不共线，因此有

由此解得λ＝－

，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝

.

10.

已知点G是△ABC的外心，

，

，

是三个单位向量，且2

＋

＋

＝0，如图所示，△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，点O是坐标原点，则|

|的最大值为________．

答案　2

解析　因为点G是△ABC的外心，且2

＋

＋

＝0，所以点G是BC