教学设计《求解二元一次方程组》数学北师大八上.docx

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教学设计《求解二元一次方程组》数学北师大八上

《求解二元一次方程组》

《求解二元一次方程组》北师大版八年级上第五章第二节内容，本节是学生在学习了一元一次方程及其解法、二元一次方程和二元一次方程组解的概念的基础上进行的二元一次方程组解法------代入法的学习，在此基础上启发学生用代入消元法解方程组，让学生体会化归的思想。

二元一次方程组的求解，不仅用到了学过的一元一次方程的解法，是对过去所学知识的一个回顾和提高，同时，又为初二学习一次函数打下牢固的基础。

因此本节知识不但有着广泛的实际应用，而且在中学数学中具有承上启下的地位。

【知识与能力目标】

1.了解二元一次方程组的“消元”思想,体会学习数学中的“化未知为已知”、“化复杂为简单”的化归思想.

2.了解代入法的概念,掌握代入法的基本步骤.

3.会用代入法求二元一次方程组的解.

4.体会加减消元法形成的思路.

5.了解加减消元法解二元一次方程组的一般步骤.

6.掌握用加减法解二元一次方程组.

【过程与方法目标】

1通过探索代入法的过程,培养学生观察、思考、归纳的能力,积累数学探究活动的经验.

2经历二元一次方程组一般解法的探究过程,理解加减消元法在解方程组中的作用,学会通过观察,结合方程特点选择合理的思考方向进行新知识探索.

【情感态度价值观目标】

1．通过探索代入法,并进一步探究二元一次方程组一般解法的过程,感受数学活动充满创造性,激发学生的学习兴趣.

2．通过寻求解决问题的方法,体会加减消元法形成的思路,初步形成用便捷的消元法来解题,体验“化归”的思想.

【教学重点】

1．了解代入法的一般步骤,会用代入法解二元一次方程组.

2．了解加减消元法的一般步骤,会用加减消元法解二元一次方程组.

【教学难点】

1．理解代入消元法解方程组的过程.

2．辨别使用哪种方法解二元一次方程组更方便.

1.

一、情境引入

内容：

教师引导学生共同回忆上一节课讨论的“买门票”问题，想一想当时是怎么获得二元一次方程组的解的.

设他们中有x个成

人，y个儿童，我们得到了方程组

成人和儿童到底去了多少人呢？

在上一节课

的“做一做”中，我们通过检验

是不是方程

和方程

的解，从而得知这个解既是

的解，也是

的解，根据二元一次方程组的解的定义，得出

是方程组

的解.所以成人和儿童分别去了5人和3人.

提出问题：

每一个二元一次方程的解都有无数多个，而方程组的解是方程组中各个方程的公共解，前面的方法中我们找到了这个公共解，但如果数据不巧，这可没那么容易，那么，有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢？

目的：

“温故而知新”，培养学生养成时时回顾已有知识的习惯，并在回顾的过程中学会思考和质疑，通过质疑，自然地引出我们要研究和解决的问题.

设计效果：

通过对已有知识的回顾和思考，学生知识获得既感到自然又倍添新奇，有跃跃欲试的心情.

二、探索新知

内容：

回顾七年级第一学期学习的一元一次方程，是不是也曾碰到过类似的问题，能否利用一元一次方程求解该问题？

（由学生独立思考解决，教师注意指导学生规范表达）

解：

设去了x个成人，则去了

个儿童，根据题意，得：

解得：

将

代入

解得：

8－5=3.

答：

去了5个成人，3个儿

童.

在学生解决的基础上，引导学生进行比较：

列二元一次方程组和

列一元一次方程设未知数有何不同？

列出的方程和方程组又有何联系？

对你解二元一次方程组有何启示？

（先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，进行小组讨论，在此基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点.）

1.列二元一次方程组设有两个未知数：

x个成人，y个儿童.

列一元一次方程只设了一个未知数：

x个成人，儿童去的个数等于去的总人数与去的成人数之差，得出

个.因此y应该等于

.而由二元一次方程组的一个方程

，根据等式的性质可以推出

.

2.发现一元一次方程中

与方程组中的第二个

方程

相类似，只需把

中的“y”用“

”代替就转化成了一元一次方程.

教师引导学生发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识（二元一次方程组）转化为旧知识（一元一次方程）便可.

（由学生来回答）上一节课我们就已知道方程组中相同的字母表示的是

同一个未知量.所以将

中的①变形，得

③，我们把

代入方程②，即将②中的y用

代替，这样就有

.“二元”化成“一元”.

教师总结：

同学们很善于思考.这就是我们在数学研究中经常用到的“化未知为已知”的化归思想，通过它使问题得到完美解决.下面我们完整地解一下这个二元一次方程组.

（教师把解答的详细过程板书在黑板上，并要求学生一起来完成）

解：

由①得：

.③

将③代入②得：

.

解得：

.

把

代入③得：

.

所以原方程组的解为：

（提醒学生进行检验，即把求出的解代入原方程组，

必然使原方程组中的每个方程都同时成立，如不成立，则可知解有误）

下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题.

（放手让学生用已经获取的经验去解决新的问题，由学生自己完成，让两个学生在黑板上规

范的板书，教师巡视：

发现学生的闪光点以及存在的问题并适时的加以辅导，以期学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义和“化归”的数学思想.）

目的：

通过学生自己对比、思考、发现，让学生惊喜的发现“温故而知新”，将新知融入旧知，体会“化未知为已知”的化归思想的神奇，培养学生独立获取知识的愿望和能力.

设计效果：

通过学生自己的观察、比较、总结出二元一次方程组的解法，从中体会到解方程组中“消元”的本质.

巩固新知

内容：

1.例：

解下列方程组：

（1）

（2）

（

根据学生的情况可以选择学生自己完成或教师指导完成）

（1）解：

将②代入①，得：

.

解得：

.

把

代入②，得：

.

所以原方程组的解为：

（2）由②，得：

.③

将

③代入①，得：

.

解得：

.

将y=2代入③，得：

.

所以原方程组的解是

（⑵题需先进行恒等变形，教师要鼓励学生通过自主探索与交流获得求解，在求解过程中学生消元的具体方法可能不同，所以教学中不必

强求解答过程的统一，但要提出如何选择将哪个方程恒等变形、消去哪个未知数能使运算较为简单.让学生在解题中进行思考）

（教师在解完后要引导学生再次就解出的结果进行思考，判断它们是否是原方程组的解.促使学生进一步理解方程组解的含义以及学

会检验方程组解的方法.）

2.思考

总结：

（教师根据学生的实际情况进行生与生、师与生之间的相互补充与评价，并提出下面的问题）

⑴给这种解方程组的方法取个什么名字好？

⑵上面解方程组的基本思路是什么？

⑶主要步骤有哪些？

⑷我们观察例题的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？

（由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法，请学生小组的代表回答或学生举手回答，其余学生可以补充，力求让学生能够回答出以下的要点，教师要板书要点，在学生回答时注意进行积极评价）

1.在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”，达到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.

2.解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元

”变为“一元”.

3.解上述方程组的步骤：

第一步：

在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.

第二步：

把此代数式代入没有

变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.

第三步：

解

这个一元一次方程，得到一个未知数的值.

第四步：

把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程（一般代入变形后的方程），求得另一个未知数的值.

第五步：

把方程组的解表示出来.

第六步：

检验（口算或笔算在草稿纸上进行），即把求得的解代入每一个方程看是否成立.

4.用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则

选取系数的绝对值较小的方程变形.

目的：

进一步熟悉解二元一

次方程组的基本思路，熟练解二元一次方程组的基本步骤和过程，并能对二元一次方程组的解进行检验.

设计效果：

通过本环节的学习，学生能够独立地运用代入消元法解二元一次方程组.

练习提高

内容：

1.教材随堂练习（在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，各个学生消元的具体方法可能不同，可以不必强调解答过程统一.可能会出现整体代换的思想，若有条件可以提出，为下一课做点铺垫也可以）

2.补充练习：

用代入消元法解下列方程组：

（1）

（2）

⑶

（注：

[2]题可以用整体代入法来解，把第二个方程变为

，再将它代入第一个方程，得

；[3]题分数线有括号功能；[4]题如果有时间，学生学有余力可作为补充题目.）

目的：

对本节知识进行巩固练习.

设计效果：

通过练习，巩固和熟练了运用代入消元法解二元一次方程组的方法.

加减法解二元一次方程组

内容：

巩固练习，在练习中

发现新的解决方法

怎样解下面的二元一次方程组呢？

（学生在练习本上做，教师巡视、引导、解疑，注意发现学生在解答过程中出现的新的想法，可以让用不同方法解题的学生将他们的方法板演在黑板上，完后进行评

析，并为加减消元法的出现铺路.）

学生可能的解答方案1：

解1：

把②变形，得：

③

把③代入①，得：

解得：

y=3.

把y=3代入②，得：

.

所以方程组的解为

.

学生可能的解答方案2：

解2：

由②得

③

把5y当做整体将③代入①，得：

解得：

.

把

代入③，得：

.

所以方程组的解为

.

（此种解法体现了整体的思想）

学生可能的解答方案3：

（观察发现：

两个方程中一个含有5y，而另一个是-5y，两者互为相反数）

解3：

根据等式的基本性质

方程①+方程②得：

解得：

把

代入①，解得：

所以方程组的解为

.

通过上面的练习发现，同学们对代入消元法都掌握得很好了，基本上都能够按要求解出二元一次方程组的解（如方案1），可是也有同学发现（方案2）的解法比（方案1）的解法简单，他是将5y作为一个整体代入消元，依然体现了代入法的核心是代入“消元”，通过“消元”，使“二元”转化为“一元”，从而使问题得以解决，那么（方案3）的解法又如何？

它达到“消元”的目的了吗?

（留些时间给学生观察，注意引导学生观察方程中某一未知数的系数，如x的系数或y的系数）

引导学生发现方程①和②中的

和

互为相反数，根据相反数的和为零（方案3）

将方程①和②的左右两边相加，然后根据等式的基本性质消去了未知数y，得到了一个关于x的一元一次方程，从而实现了化“二元”为“一元”的目的.

这就是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法.

目的：

在练习的过程中学会思考、分析，通过思考自然地得出我们要研究和解决的问题.

设计效果：

通过学生练习、对比、讨论，既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识，又在此过程中发现了新的解二元一次方

程组的方法——加减消元法.

说明：

如果班级学生不能发现方法3，教师可以适当引导，如在方法二中，我们直接解出

，代入另一式子从而消去一个未知数，是否可以不解出直接消去