八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球.docx
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八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球
八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径
（2R）2=（2、.3）2-（^-.3）2・（2、.3）2=36，即4R—36,外接球的表面积是36二
（4）在四面体S-ABC中，SA_平面ABC,.BAC=120,SA二AC=2,AB=1,则该四面体的外接
②R2二r200；=R=r2OO12
2.题设：
如图6,7,8,P的射影是「ABC的外心=三棱锥P-ABC的三条侧棱相等=
三棱锥P_ABC的底面.ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点
1.题设：
如图9-1，平面PAC_平面ABC，且AB_BC（即AC为小圆的直径）
第一步：
易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC=2r;
第二步：
在¥AC中，可根据正弦定理—bc2R，求出R。
sinAsinBsinC
2.如图9-2，平面PAC_平面ABC，且AB_BC（即AC为小圆的直径）
oc2BC2OQ2uR2=r2OQlAC=2.R2_OQ2
3.如图9-3，平面PAC_平面ABC，且AB_BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是:
ABC的外心:
二三棱锥P-ABC的三条侧棱相等二三棱P-ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点
解题步骤：
第一步：
确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则PQ’Oj三点共线;
第二步：
先算出小圆O1的半径AO^r，再算出棱锥的高POj=h（也是圆锥的高）
第三步：
勾股定理：
OA2=OiA2・OiO2=R2=（h-R）2•r2，解出R
4.如图9-3，平面PAC_平面ABC，且AB_BC（即AC为小圆的直径），且PA_AC，则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①（2R）2二PA2（2r）2二2R=.PA2（2r）2；②R2二r2OOi2=R「r2OO12
例3
（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上,
若该棱锥的高为1，底面边长为2.3,则该球的表面积为
（2）
正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为.2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
BiC
6
类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
题设：
如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：
确定球心0的位置，01是ABC的外心，贝U00“_平面ABC；第二步：
算出小圆0“的半径AO^r,OO^^AA^lh（AA,=h也是圆柱的高）；
22
例4
（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，
9
且该六棱柱的体积为-，底面周长为3，则这个球的体积为
8
（2）直三棱柱ABC-ABG的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=人人=2,•BAC=120，则此
球的表面积等于。
（3）已知.EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA二EB=3,AD=2,•AEB=60，
则多面体E-ABCD的外接球的表面积为。
（4）在直三棱柱ABC-ABG中，AB=4,AC=6,A,AA^4则直三棱柱ABC-人石心的外接球
3
的表面积为。
类型五、折叠模型
第一步：
先画出如图所示的图形，将.BCD画在小圆上，找出.BCD和：
ABD的外心比和H2
第二步：
过Hi和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心0，连接OE,OC；
222第三步：
解OEHi，算出OHi，在RtOCHi中，勾股定理：
OHiCHi=OC
例5三棱锥P-ABC中，平面PAC_平面ABC，△PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC外接球的半径为.
类型六、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：
三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB二CD，AD=BC，AC=BD）第一步：
画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：
设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组，
（2）—个正三棱锥的四个顶点都在半径为i的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正
三棱锥的体积是（
）
A.33B.
_2c
<3
D
.3
4
3
4
12
（3）在三棱锥A-BCD中，若AB二CD=2,AD二BC=3,AC二BD=4,则三棱锥A-BCD外接球的
表面积为。
（4）在三棱锥A-BCD中，AB二CD=5,AC二BD=6,AD二BC=7,则该三棱锥外接球的表面积
为.
（5）
正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为
题设：
•APB=/ACB=90，求三棱锥P-ABC外接球半径（分析：
取公共的斜边的中点O,连接
1
OP,OC，贝yOA=OB=OC=OPAB，-O为三棱锥P-ABC外接球球心，然后在OCP中求出
2
半径）
例7
（1）在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为（）
1题设：
如图14，三棱锥P_ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。
第一步：
先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心;
第二步：
设内切球的半径为r，建立等式：
VP山BC=VO」BCVo^ab-VO-PAC-Vo-■
3VP~ABC
SoSBC'So-PAB'So_PAC'So_PBC
习题：
1.若三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2,SB二SC=4,则该三棱锥的外接球半径为（）
A.3B.6C.36D.9
2.三棱锥S-ABC中，侧棱SA_平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形，SA=2、3，则该三棱锥的外接球体积等于.
3.正三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于
4.三棱锥P-ABC中，平面PAC_平面ABC,△PAC边长为2的正三角形，AB_BC，则三棱锥
P-ABC外接球的半径为-
5.三棱锥P-ABC中，平面PAC_平面ABC,AC=2,P^PC=3,AB_BC，则三棱锥
P-ABC外接球的半径为
6.三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC,AC=2,PA_PC,AB_BC，则三棱锥P-ABC
外接球的半径为.
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