第22章一元二次方程全章导学案.docx

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第22章一元二次方程全章导学案

22.1一元二次方程

（1）

学习目标：

1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义；

2．一元二次方程的一般形式及其有关概念；

3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式；

4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。

学习重点：

一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有关概念解决问题

学习难点：

建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。

一．学前准备：

1．____________________________________________叫方程；

_____________________________________________叫一元一次方程。

2．我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，利用一元一次方程解决实际问题的步骤是：

二．探究活动

（一）独立思考·解决问题

1．剪一块面积为150

的长方形铁片，师它的长比宽多5cm，这块铁皮该怎么剪呢？

如果铁皮的宽为x（cm），那么铁皮的长为_________cm.

根据题意，可得方程是：

______________________

2．一个数比另一个数小

，且这两数之积为6，求这两个数。

设其中较小的一个数位x，请列出满足题意的方程__________________.

3．正方形的面积是2

，求它的边长？

_______________________________________________.

3．矩形花圃一面靠墙，另外三面所围得栅栏的总长度是19m，如果花圃的面积是24

，求花圃的长和宽。

__________________________________________________________.

（二）师生探究·合作交流

议一议：

1.上面的方程有哪些共同的特点呢？

你知道什么是一元二次方程了吗？

2．结合上面的方程的特点你能够用一个式子表示一元二次方程的一般形式吗？

3．

其中______叫做二次项，a叫做______,bx叫做_______,b叫做_______.c是常数项。

4．下面是一元二次方程吗？

（填“是”或“否”）

5．方程：

3x（x－1）=2（x+2）+8

（1）是一元二次方程吗？

如果是一元二次方程请将它转化成一般形式。

（2）如果是，请分别说出它的二次项，一次项，常数项和它各项的系数。

（3）试求

的值。

练一练：

1．下面的方程式一元二次方程吗？

如果是，请说出方程中的a,b,c分别是多少？

2．把下列的方程先转化为一元二次方程的一般形式，再分别写出它各项的系数。

三．自我测试

1．将

化为

，a，b，c的值分别为（）

A.0,－3,－3B.1.－3,3C.1,3,－3D.1,－3,－3

2．若方程

是一元二次方程，则m的值是（）

A．

B.

C.

D.

3．已知方程：

①

；②

；③

；④

；⑤

；其中一元二次方程的个数是（）

A．0B.1C.2D.3

4.把方程

化成一元二次方程的一般形式，再求出它的二次项系数与一次项系数的和。

四．应用与拓展

1．下列方程中，无论a取何值，总是关于x的一元二次方程的是（）

A．

B.

C．

D.

2．若

是关于x的一元二次方程，求m，n的值。

3．当m取任意实数时，判断关于x的方程

的类型。

22.1一元二次方程

（2）

学习目标：

1．理解方程的解，并能利用一元二次方程的解解决简单的数学问题；

2．将已学过的方程知识进一步拓展与融合，扩大视野，提高能力；

3．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

学习重点：

一元二次方程的解的概念

学习难点：

利用一元二次方程的解解决数学问题

一．学前准备

1．___________________________________________________叫一元二次方程；

2．_________________________________________是一元二次方程的一般形式；

3．________________________________________叫方程的解。

二．探究活动

（一）独立思考·解决问题

1．已知x=1是一元二次方程

的一个解，则m的值是多少？

请写出你的思考过程。

2．已知关于x的一元二次方程

的一个根是0，求m的值。

（二）师生探究·合作交流

议一议：

1．上面题目的解法给你什么启发？

我们为什么可以这样去解呢？

2．你能否自己给自己编一道类似这样题型的题目呢？

并解答出来。

3．已知x=1是方程

的根，化简；

4．已知实数a满足

，求

的值

5．已知m，n是有理数，方程

有一个根是

，求m+n的值。

三．自我测试

1．若方程

是关于x的一元二次方程，则（）

A.m=±2B.m=2C.m=－2D.m≠±2

2．如果关于x的方程

的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p的值是（）A．1B.±1C.2D.±2

3.已知m是方程

的一个根，则代数式

的值为_______;

4．若方程

的一个根是2，则k=__________;

5．当k满足条件_______时，方程

不是关于x的一元二次方程。

6．若关于x的一元二次方程

的常数项为二次项系数的2倍，则一次项系数为________;

7.已知

是一元二次

的解，则

=_______;

四．应用与拓展

1．设一元二次方程

的两个根分别为

，

，求aP+bQ+cR的值。

2．已知a,b是关于x的一元二次方程

的两个根，求

的值。

22.2一元二次方程的解法

（1）

学习目标：

1．理解一元二次方程降次的转化思想；

2．会利用直接开平方法对形如

的一元二次方程进行求解；

3．发现不同方程的转化式，运用已有知识解决新问题。

学习重点：

运用开平方法解形如

的方程；

学习难点：

通过根据平方根的意义解形如

的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如

的方程。

一．学前准备：

1．9的平方根是____,用符号表示为__________;

2．25的平方根是____,用符号表示为_________;

3．a的平方根是________;

二．探究活动：

（一）独立思考·解决问题

1．解方程：

2．解方程：

（二）师生探究·合作交流

议一议：

1．上述解一元二次方程的方法是什么？

它的理论依据是是什么？

2．方程

有实数解吗？

为什么？

3．由第2题你能得到用直接开平方法解一元二次方程需要注意什么呢？

4．我们又如何检验我们所解得方程是否正确呢？

5．练一练：

解方程：

6．小明同学在解方程

时是这样解的，请同学们看看他的解法对吗？

如果是你解，该如何解呢？

三．自我测试：

1．方程

的实数根的个数是（）

A．1B.2C.0D.以上答案都不对

2．方程

的根是（）

A．

B.

C.

D.

3．方程

的根是（）

A.

B.

C.

D.

4．方程

的根是__________.

5．若方程

有整数根，则m的值可以是______（只填一个）

6．当n_____时，方程

有根，其根为_______.

7．已知一元二次方程

，试用直接开平方法解这个方程。

8.一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h（m）和下落时间x（s）大致有如下关系：

，则石头经过多长时间落到地面？

四．应用与拓展：

已知公式

。

根据上述公式解答下题：

已知a是方程

的根，求

的值。

22.2一元二次方程的解法

（2）

学习目标：

1．会利用配方法熟练，灵活的解一元二次方程；

2．通过对计算过程的反思，获得解决新问题的体验，体会在解决问题的过程中所呈现的数学方法和数学思想；

3．通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯；

4．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

学习重点：

用配方法熟练地解数字系数为1的一元二次方程；

学习难点：

灵活地用配方法解数字系数不为1的一元二次方程；

一．学前准备：

1．完全平方和公式：

______________________;完全平方差公式：

______________

2．这两个公式都有什么共同特点：

______________________________________

3．解方程：

二．探究活动：

（一）独立思考·解决问题

试一试：

完成下列配方过程

解方程：

（二）师生探究·合作交流

1．上述解方程的方法你知道是什么了吧？

它里面蕴含着非常重要的数学思想，你知道是什么了吗？

2．那你知道用这种方法解方程时最关键的一步是什么了吗？

你能说说你发现了什么没有？

3．你能总结出来用这种方法解一元二次方程的步骤吗？

4．练一练：

（1）填空

（2）用配方法解下列方程：

三．自我测试

1．已知一元二次方程

，若用配方法解该方程时，则配方后的方程为（）

A.

B.

C.

D.

2．用配方法解方程

，应把方程的两边同时（）

A.加

B.加

C.减

D.减

3．

4．若

是一个完全平方式，则a=_______;

5．用配方法解方程：

（1）

；

（2）

；（3）

；

6．用配方法证明：

（1）

的值恒为正；

（2）

的值恒小于0．

四．应用与拓展：

阅读理解题．

阅读材料：

为解方程

，我们可以将

视为一个整体，然后设

，则

，原方程化为

①

解得

，

当

时，

，

，

；

当

时，

，

，

；

原方程的解为

，

，

，

解答问题：

（1）填空：

在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想．

（2）解方程

．

22.2一元二次方程的解法（3）

学习目标：

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；

2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；

3.经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力；

4.通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。

学习重点：

求根公式的推导和公式法的应用

学习难点：

一元二次方程求根公式的推导

一．学前准备

1．配方法解一元二次方程的关键是_______________________________;

2．一元二次方程

中a=_____,b=_____,c=_______;

3．一元二次方程

中a=______,b=______,c=________.

4．用配方法解一元二次方程

二．探究活动

（一）独立思考·解决问题

用配方法解一元二次方程

；请同学们独立完成此题。

（二）师生探究·合作交流

由上可知，一元二次方程

的根由方程的系数a,b,c而定，因此：

（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形

，当

时，将a,b,c代入式子x=______