离散数学专升本.docx
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离散数学专升本
离散数学（专升本）
填空题
1.连通图G是一棵树，当且仅当G的每条边为___
（1）___。
（3分）
（1）.
标准答案是:
割边
2.设S={2x|x∈Z+},则在普通加法与普通乘法下___
（2）___封闭.（填“不”或“都”）。
（3分）
（1）.
标准答案是:
都
3.设ρ是集合A上的等价关系，则ρ所具有的关系的三个特性是___（3）___ （3分）
（1）.
标准答案是:
自反，对称，传递性
4.若关系是对称的,当且仅当关系矩阵是___（4）___，在关系图上___（5）___。
（3分）
（1）.
标准答案是:
对称矩阵
（2）.
标准答案是:
任意两个结点要么有两条方向相反的边；要么没有边
5.设|A|=3,|B|=2则A到B的满射有___（6）___个。
（1）.
标准答案是:
6
6.设S为非空有限集,代数系统<2s ,∪>的单位元为___（7）___,零元为____（8）____。
（3分）
（1）.
标准答案是:
φ
（2）.
标准答案是:
∪
7.集合A={1,{2}}的幂集2A =___（9）___。
（3分）
（1）.
标准答案是:
略
8.命题公式
的主析取范式为___（10）___，主合取范式为___（11）___。
（3分）
（1）.
标准答案是:
略
（2）.
标准答案是:
略
9.Ａ上的关系
的自反闭包表达式为___（12）___。
（3
（1）.
标准答案是:
略
10.由n个命题变元可组成___（13）___个不等价的命题公式。
（3分）
（1）.
标准答案是:
略
单选题
11.下列命题公式不是重言式的是_____。
（3分）
（A） Q→（P∨Q）
（B） （P∧Q）→P
（C）
（P∧
Q）
（D）
（
P∧0）
标准答案是：
C
12.设A={a，b，c},B={1，2},作函数f:
A→B, 则不同函数的个数为_____。
（3分）
（A） 2×3
（B） 22
（C） 23
（D） 32
标准答案是：
B
13.设
是A上的偏序，则
是全序为
是良序的_____。
（3分）
（A） 充分条件
（B） 充要条件
（C） 必要条件
（D） 既非充分也非必要条件
标准答案是：
C
14.具有如下定义的代数系统,_____不构成群。
（3分）
（A） G={1,10}*为模11乘
（B） G={1,3,4,5,9}*为模11乘法
（C） G=Q（有理数集）*为普通乘法
（D） G=Q（有理数集）*为普通加法.
标准答案是：
C
15.设集合A={a,b,c},A上的关系R={（a,b）,（a,c）,（b,a）,（b,c）,（c,a）,（c,b）,（c,c）},则R具有关系的_____性质。
（3分）
（A） 自反
（B） 对称
（C） 传递
（D） 反对称
标准答案是：
B
16.设X={1,2,3,4},Y={a,b,c,d},则下列哪个集合表示的是从X→Y的函数_____。
（3分）
（A） {（1.a）,（1,b）（2,c）}
（B） {（1.a）,（2,b）（3,c）}
（C） {（1.a）,（3,a）（2,b）}
（D） {（1.a）,（3,c）（2,b）（4,c）}
标准答案是：
D
问答题
17.一棵树有3个2度结点,2个3度结点,3个4度结点,求其1度结点的个数。
（7分）
标准答案是：
3´2+2´3+3´4+x=2m=2（n-1）=2（3+2+3+x-1）=14+2x,x=10
18.存在既不是对称.也不是反对称的关系。
（5分）
标准答案是：
对。
R={（1,2）（2,1）（1,3）}即是。
19.利用形式演绎法证明：
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S。
（5分）
标准答案是：
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S
（1）P∨R P
（2）ØR→P Q
（1）
（3）P→Q P
（4）ØR→Q Q
（2）（3）
（5）ØQ→R Q（4）
（6）R→S P
（7）ØQ→S Q（5）（6）
（8）Q∨S Q（7）
20.证明在一个可交换的独异点中所有的幂等元的集合构成独异点。
（4分）
标准答案是：
设T是S的幂等元的集合（是S的子集）*可结合,a,b是幂等元是（ab）2=（ab）（ab）=（a（ba）b）=（aa）（bb）=a2b2=ab*是封闭的;而ee=e所以e是幂等元.所以中所有的幂等元的集合构成独异点
21.设图G中的邻接矩阵为A=
，求V1到V3长为3的路的数目。
（7分）
标准答案是：
A3=
3=
V1到V3长为3的路的数目为4
22.良序一定是全序。
（5分）
标准答案是：
对。
{a,b}中有最小元（良序）,故可比较大小（全序）
23.已知A={a,b,c,d,e}，
求ρ的传递闭包。
（7分）
标准答案是：
t（ρ）=
（因为ρ是等价的）
24.如果F存在逆函数,则F不一定为双射。
（5分）
标准答案是：
不对。
a≠b,F（a）=F（b）有F-1F（（a）=F-1F（b） a=b矛盾故为内射；b∈Y存在a∈X F（a）=b（因为F-1（b）=a）故为双射。
25.设某校足球队有球衣38件（38名足球队员）,篮球队有球衣15件,棒球队有球衣20件,三队队员的人数总数为58人,其中有三人同时参加三个队,求同时参加两个队的队员有几人?
（7分）
标准答案是：
如图15+17-x+35-y-z=58 x+y+z=9
填空题
1.设是一个独异点，其中N是自然数集，运算为:
a*b=a+b-8，a0=e，an=an-1*a，若9k=2010,则k=___
（1）___。
（2分）
（1）.
标准答案是:
2002
2.一组学生，用二二扳腕子比赛法来测定臂力的大小，则单位元是___
（2）___。
（2分）
（1）.
标准答案是:
臂力最小的学生
3.每一个良序必为全序，而___（3）___全序必为良序。
（2分）
（1）.
标准答案是:
有限集上的
4.设图G是有6个结点的完全图，则可从G中删去___（4）___条边后使之变成树。
（2分）
（1）.
标准答案是:
10
5.设图G的邻接矩阵为A（如右边）,则从v1到v3的长为2的路有___（5）___条,图G
中长为3的路有___（6）___条。
（2分）
（1）.
标准答案是:
0
（2）.
标准答案是:
38
6.设A＝{1,2,3,4}，则分划B＝{{1，2，3}，{4}}对应的A上的等价关系R＝___（7）___。
（2分）
（1）.
标准答案是:
略
7.设
，
则f是___（8）___射的， 若N为自然数集，
，则f是___（9）___射的．（2分）
（1）.
标准答案是:
双
（2）.
标准答案是:
满.
8. 设S是A,B,C产生的集合，则S＝（A∪B）∩C的最小集的标准形式为___（10）___。
（2分）
（1）.
标准答案是:
略
9. 完全二叉树中，树叶数为nt，则边数m=___（11）___。
（2分）
（1）.
标准答案是:
略
10.设S={a1，a2,…，a8}，Bi是S的子集，由B17表达的子集为___（12）___， 子集{a2,a6,a7}规定为___（13）___。
（2分）
（1）.
标准答案是:
略
（2）.
标准答案是:
略
单选题
11.下列表达式正确的有_____。
（4分）
（A）
（B）
（C）
（D）
标准答案是：
C
12.设集合A中有4个元素,则A上的不同的等价关系的个数为_____。
（4分）
（A） 11个
（B） 14个
（C） 15个
（D） 17个
标准答案是：
C
13.含3个命题变元的具有不同真值的命题公式的个数为_____（4分）
（A） 32
（B） 23
（C） 28
（D） 33
标准答案是：
C
14.在有n个结点的连通图G中其边数_____。
（4分）
（A） 最多有n-1条
（B） 至少有n-1条
（C） 最多有n条
（D） 至少有n条.
标准答案是：
B
15.R是实数集合,运算*为:
a*b=a+|b|，则S=是_____。
（4分）
（A） 代数系统
（B） 群
（C） 半群
（D） 独异点
标准答案是：
A
判断题
16.设A,B是二集合，则
。
（2分）
标准答案是：
错误
17.有限集合A上的内射函数是一个双射函数。
（2分）
标准答案是：
正确
18.设Q为有理数集，Q上运算*定义为
，则是半群。
（2分）
标准答案是：
正确
19.设P，Q是两个命题，当且仅当P，Q的真值均为T时，
的值为T。
（2分）
标准答案是：
错误
20.欧拉图中的任意结点的度数为偶数（2分）
标准答案是：
正确
问答题
21.设X={1,2,3,4,5}，X上的关系R={<1,1>,<1,2>,<2,4>,
<3,5>,<4,2>}，求R的传递闭包t（R）（10
标准答案是：
t（R）=
={（1,1）（1,2）（1,4）（2,4）（3,5）（2,2）（4,4）（4,2）}.
22.已知
，
为模7乘法。
试说明
是否构成群?
是否为循环群？
若是，生成元是什么？
（10分）
标准答案是：
既构成群，又构成循环群，其生成元为3，5。
因为：
的运算表为：
（下表）
1） 由运算表知， 封闭；
2） 可结合（可证明）
3）1为单位元；
4）1-1=1；2-1=4；3-1=5；4-1=2；5-1=3；6-1=6
综上所述，
构成群。
31=3；32=2；33=6；34=4；35=5；36=1
所以，3为其生成元，3的逆元5也为其生成元。
故 为循环群。
23.如图给出的赋权图表示六个城市
及架起城市间联接
通讯线路的预测造价,试给出一个设计方案使得各城市间能够通讯且总造价最小，并计算出最小总造价。
（10分）
标准答案是：
要设计一个方案使各城市间能够通讯且总造价最小，即要求该图连通、无回路、边权之和最小的子图即最小生成树，由避圈法或破圈法可得：
其最小生成树为：
其树权即最小造价为：
1+2+3+5+7=18。
24.假设英文字母，a，e，h，n，p，r，w，y出现的频率分别为12%，8%，15%，7%，6%，10%，5%，10%，求传输它们的最佳前缀码，并给出happynewyear的编码信息。
（10分）
标准答案是：
根据权数构造最优二叉树：
传输它们的最佳前缀码如上图所示，happynewyear的编码信息为：
10011010101010011101110100001111011000
附：
最优二叉树求解过程如下：
25.设P1,P2,…,Pn是命题变元，形如
的命题
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