冲量动量定理教案.docx

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冲量动量定理教案

动量定理

1.动量

（1）定义：

运动物体的质量和速度的乘积叫做动量，p=mv

动量的单位：

kg·m/s.

（2）物体的动量表征物体的运动状态，其中的速度为瞬时速度，通常以地面为参考系.

（3）动量是矢量，其方向与速度v的方向相同.

两个物体的动量相同含义：

大小相等，方向相同.

（4）注意动量与动能的区别和联系：

动量、动能和速度都是描述物体运动的状态量；

动量是矢量，动能是标量；

动量和动能的关系是：

p2＝2mEk.

2.动量的变化量

（1）Δp=pt－p0.

（2）动量的变化量是矢量，其方向与速度变化Δv的方向相同，与合外力冲量的方向相同，跟动量的方向无关.

（3）求动量变化量的方法：

①定义法Δp=pt－p0=mv2－mv1；

②动量定理法Δp=Ft.

3.冲量

（1）定义：

力和力的作用时间的乘积，叫做该力的冲量

I=Ft，冲量的单位：

N·s.

（2）冲量是过程量，它表示力在一段时间内的累积作用效果.

（3）冲量是矢量，其方向由力的方向决定.如果在作用时间内力的方向不变，冲量的方向就与力的方向相同.

（4）求冲量的方法：

①定义法I=Ft（适用于求恒力的冲量）；

②动量定理法I=Δp.

4、动量定理

（1）物体所受合外力的冲量，等于这个物体动量的增加量，这就是动量定理.

表达式为：

Ft＝

或Ft＝

（2）动量定理的研究对象是单个物体或可视为单个物体的系统.

当研究对象为物体系时，物体系总动量的增量等于相应时间内物体系所受的合外力的冲量.

所谓物体系总动量的增量是指系统内各物体的动量变化量的矢量和.

所谓物体系所受的合外力的冲量是指系统内各物体所受的一切外力的冲量的矢量和，而不包括系统内部物体之间的相互作用力（内力）的冲量；这是因为内力总是成对出现的，而且它们的大小相等、方向相反，其矢量和总等于零.

（3）动量定理公式中的F是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力.它可以是恒力，也可以是变力.

当合外力为变力时，F应该是合外力对作用时间的平均值.

说明：

①在打击和碰撞问题中，物体之间的相互作用力的很大，大小变化很快，作用时间短，这种作用力通常叫冲力，冲力的本质是弹力.

②当冲力比其他力大得多时，可以忽略其他力，把冲力作为公式中的F，但是我们必须清楚这只是一种近似的处理方法.

③从物理意义上讲，公式中的F应该是合力，而不是冲力.

（4）动量定理公式中的FΔt是合外力的冲量，也可以是外力冲量的矢量和，是使研究对象动量发生变化的原因.

在所研究的物理过程中：

如果各个外力的作用时间相同，求合外力的冲量时，可以先按矢量合成法则求所有外力的合力，然后再乘以力的作用时间；也可以先求每个外力在作用时间内的冲量，然后再按矢量合成法则求所有外力冲量的矢量和；

如果作用在研究对象上的各个力的作用时间不相同，就只能求每个力在相应时间内的冲量，然后再求所有外力冲量的矢量和.

（5）动量定理中mv2－mv1是研究对象的动量增量，是过程末态动量与初态动量的差值（矢量减法）.式中“－”号是运算符号，与正方向的选取无关.

（6）动量定理中的等号（=），表明合外力的冲量与研究对象的动量增量的数值相等，方向一致，单位相同，但绝不能认为合外力的冲量就是动量的增量.

合外力的冲量是引起研究对象的运动状态改变的外来因素，而动量的增量则是研究对象受外力冲量后所导致的必然结果.

（7）FΔt=Δmv是矢量式，在应用动量定理时，应该遵循矢量运算的平行四边形法则.也可以采用正交分解法，把矢量运算转化为标量运算.

假设用Fx（或Fy）表示合外力在x（或y）轴上的分量，vx0（或vy0）和vx（或vy）表示物体的初速度和末速度在x（或y）轴上的分量，则

FxΔt=mvx－mvx0

FyΔt=mvy－mvy0

上述两式表明，合外力的冲量在某一坐标轴上的分量等于物体动量的增量在同一坐标轴上的分量.

方向处理方法：

在写动量定理的分量方程式时，对于已知量，凡是与坐标轴正方向同向者取正值，凡是与坐标轴正方向反向者取负值；对未知量，一般先假设为正方向，若计算结果为正，说明实际方向与坐标轴正方向一致，若计算结果为负，说明实际方向与坐标轴正方向相反.

（8）牛顿定律跟动量定理的关系

根据F＝ma得

F＝ma＝m

=

即F＝

.

这是牛顿第二定律的另一种表达形式：

合外力F等于物体动量的变化率

.

5、疑难突破

1.Δp＝p′－p指的是动量的变化量，不要理解为是动量。

Δp的方向可以跟初动量的方向相同（同一直线，动量增大）；

可以跟初动量的方向相反（同一直线，动量减小）；

也可以跟初动量的方向成某一角度。

但动量变化量（p′－p）的方向一定跟合外力的冲量的方向相同.

2.

（1）应用动量定理I=Δp求变力的冲量的方法：

如果物体受到变力的作用，则不能直接用Ft求变力的冲量，而应求出该力作用下物体动量的变化Δp，等效代换变力的冲量I=Δp.

（2）应用Δp=F·Δt求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化：

在曲线运动中，速度方向时刻在变化，求动量的变化（Δp=p2－p1）需要应用矢量运算方法，比较麻烦。

如果作用力是恒力，可以求出恒力的冲量等效代换动量的变化.

如平抛运动中动量的变化问题.

思考：

以初速度v0平抛出一个质量为m的物体，求抛出后t秒内物体的动量变化。

答案：

Δp=Ft=mgt，方向竖直向下

3.用动量定理解题的基本思路

（1）明确研究对象和研究过程.

研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的系统.

系统内各物体可以是保持相对静止的，也可以是相对运动的.

研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段.

（2）进行受力分析.

只分析研究对象以外的物体施给研究对象的力.

所有外力之和为合外力.

研究对象内部的相互作用力（内力）会改变系统内某一物体的动量，但不影响系统的总动量，因此不必分析内力.

如果在所选定的研究过程中的不同阶段中物体的受力情况不同，就要分别计算它们的冲量，然后求它们的矢量和.

（3）规定正方向.

由于力、冲量、速度、动量都是矢量，在一维的情况下，列式前要先规定一个正方向，和这个方向一致的矢量为正，反之为负.

（4）写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量（或各外力在各个阶段的冲量的矢量和）.

（5）根据动量定理列式求解.

典型问题1掌握求恒力和变力冲量的方法。

恒力F的冲量求法：

直接根据I=Ft求

变力的冲量求法：

由动量定理或F-t图线与横轴所夹的面积来求。

例1.1质量为m的小球由高为H倾角为θ光滑斜面顶端，无初速滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？

解：

力的作用时间都是

力的大小依次是mg、mgcosθ和mg.sinθ，所以它们的冲量依次是：

特别要注意：

该过程中弹力虽然不做功，但对物体有冲量。

例1.2一个物体同时受到两个力F1、F2的作用，F1、F2与时间t的关系如图1所示，如果该物体从静止开始运动，经过t=10s，F1、F2以及合力F的冲量各是多少？

解：

经过t=10s后,F1的冲量I1=10×10/2=50N.S

F2的冲量I2=－50N.S,

合力F的冲量为0.

例1.3一质量为100g的小球从0.80m高处自由下落到一厚软垫上．若从小球接触软垫到小球陷至最低点经历了0.2s，则软垫对小球的冲量为________．（取g=10m/s2，不计空气阻力）．

解:

小球从高处自由下落到软垫陷至最低点经历了两个过程，从高处自由下落到接触软垫前一瞬间，是自由下落过程，接触软垫前一瞬间速度由：

求得

.

接触软垫时受到软垫向上作用力N和重力G（=mg）作用，规定向下为正，由动量定理：

（mg-N）t=0-m

故：

在重物与地面撞击问题中，是否考虑重力，取决于相互作用力与重力大小的比较，此题中N=0.3N，mg=0.1N，显然在同一数量级上，不可忽略．

若二者不在同一数量级，相差极大，则可考虑忽略不计（实际上从同一高度下落，往往要看撞击时间是否极短，越短冲击力越大）．

F－t图上的“面积”表示冲量：

冲力和平均力的冲量相等的理解。

如图：

例1.4、如果物体所受空气阻力与速度成正比,。

当以速度v1竖直上抛后,又以速度v2返回出发点。

这个过程共用了多少时间?

解：

如图所示，作出上升阶段和下降阶段的v-t图线，图中蓝色线所示。

上升和下降阶段加速度都是减少的。

图线下方的“面积”表示位移的大小，即s1=s2=h。

由于阻力与速度大小成正比，在图中作出f-t图线（图中红色线所示），则图线下方的面积一定相等，而此“面积”表示上升阶段和下降阶段阻力的冲量大小，故有If1=-If2。

取向下为正方向，对全过程由动量定理可得:

mgt=m（v1+v2），解得t=（v1+v2）/g

点评：

该题是利用物理图象解题的范例，运用物理图象解题形象直观，使解题过程大大简化。

例1.5跳伞运动员从2000m高处跳下，开始下落过程未打开降落伞，假设初速度为零，所受空气阻力与下落速度大小成正比，最大降落速度为vm=50m/s。

运动员降落到离地面s=200m高处才打开降落伞，在1s内速度均匀减小到v1=5.0m/s，然后匀速下落到地面，试求运动员在空中运动的时间。

解：

整个过程中，先是变加速运动，接着匀减速，最后匀速运动，作出v—t图线如图

（1）所示。

由于第一段内作非匀变速直线运动，用常规方法很难求得这1800m位移内的运动时间。

考虑动量定理，将第一段的v—t图按比例转化成f—t图，如图

（2）所示，则可以巧妙地求得这段时间。

设变加速下落时间为t1，利用动量定理得：

s1=1800m

又匀速运动时mg=kvm，得

代入第一式得：

∴

第二段1s内：

所以第三段时间:

空中的总时间：

问题2掌握求动量及动量变化的方法

求动量的变化要用平行四边形定则或动量定理。

例2.1一个质量为m=40g的乒乓球自高处落下，以速度

=1m/s碰地，竖直向上弹回，碰撞时间极短，离地的速率为

=0.5m/s。

求在碰撞过程中，乒乓球动量变化为多少？

解：

取竖直向下为正方向，乒乓球的初动量为：

乒乓球的末动量为：

乒乓球动量的变化为：

=

负号表示

的方向与所取的正方向相反，即竖直向上。

例2.2、以初速度v0平抛出一个质量为m的物体，抛出后t秒内，物体的动量变化是多少？

解：

因为合外力就是重力，所以Δp=Ft=mgt

例2.3、一粒钢珠从静止状态开始自由下落,然后陷人泥潭中。

若把在空中下落的过程称为过程Ⅰ，进人泥潭直到停止的过程称为过程Ⅱ,则（）

A、过程I中钢珠的动量的改变量等于重力的冲量

B、过程Ⅱ中阻力的冲量的大小等于过程I中重力的冲量的大小

C、I、Ⅱ两个过程中合外力的总冲量等于零

D、过程Ⅱ中钢珠的动量的改变量等于零

解：

根据动量定理可知,在过程I中,钢珠从静止状态自由下落.不计空气阻力,小球所受的合外力即为重力,因此钢珠的动量的改变量等于重力的冲量,选项A正确;过程I中阻力的冲量的大小等于过程I中重力的冲量的大小与过程Ⅱ中重力的冲量的大小之和,显然B选项不对;在I、Ⅱ两个过程中,钢珠动量的改变量各不为零.且它们大小相等、方向相反，但从整体看，钢珠动量的改变量为零,故合外力的总冲量等于零,故C选项正确,D选项错误。

因此，本题的正确选项为A、C。

问题3应用动量定理求力

例3.1一个质量为m=2kg的物体,在F1=8N的水平推力作用下,从静止开始沿水平面运动了t1=5s,然后推力减小为F2=5N,方向不变,物体又运动了t2=4s后，撤去外力,物体再经过t3=6s停下来。

求物体在水平面上所受的摩擦力。

解：

规定推力的方向为正方向

在物体运动的整个过程中,物体的初动量P1=0,末动量P2=O

跟据动量定理有：



即

解得



由例可知,合理选取研究过程，能简化解题步骤,提高解题速度。

本题也可以用牛顿运动定律求解。

同学们可比较这两种求解方法的简繁情况。

.

例3.2质量是60kg的建筑工人，不慎从高空跌下，由于弹性安全带的保护作用，最后使人悬挂在空中．已知弹性安全带缓冲时间为1.2s.安全带长5m.求安全带所受的平均冲力．

（g=10m／s2）

解：

人下落为自由落体运动，下落到底端

时的速度为：

取人为研究对象，在人和安全带相互作用的过程中，人受到重力mg和安全带给的冲力F，取F方向为正方向，由动量定理得：

Ft=mV—mV0

所以

（方向竖直向下）

注意：

动量定理既适用于恒力作用下的问题，也适用于变力作用下的问题．如果是在变力作用下的问题，由动量定理求出的力是在t时间内的平均值．

例3.3、“蹦极”是一项勇敢者的运动，如图5－1－1所示，某人用弹性橡皮绳拴住身体自高空P处自由下落，在空中感受失重的滋味.若此人质量为60kg，橡皮绳长20m，人可看成质点，g取10m/s2，求：

图5－1－1

（1）此人从点P处由静止下落至橡皮绳刚伸直（无伸长）时，人的动量为_______；

（2）若橡皮绳可相当于一根劲度系数为100N/m的轻质弹簧，则此人从P处下落到_______m时具有最大速度；

（3）若弹性橡皮绳的缓冲时间为3s，求橡皮绳受到的平均冲力的大小.

解：

（1）人从高空落下，先在重力作用下做自由落体运动，弹性橡皮绳拉直后除受到重力外还受到橡皮绳的弹力F作用.

自由落体运动的时间为t1=

=

s=2s

自由落体运动的末速度为v=gt1=20m/s

此时他的动量为p=mv=1200kg·m/s.

（2）当他到达平衡位置时，速度最大，则kx=mg

平衡位置时橡皮绳伸长量为x=6m,他从P处下落了26m.

（3）对人从开始下落到速度减为零的全过程，由动量定理得mg（t1+t2）－Ft2=0

解得F=1000N

根据牛顿第三定律得，橡皮绳受到的平均冲力大小为1000N.

4、求解曲线运动问题

例4.1如图2所示，以Vo＝10m／s的初速度、与水平方向成300角抛出一个质量m＝2kg的小球．忽略空气阻力的作用，g取10m／s2．求抛出后第2s末小球速度的大小．

解：

小球在运动过程中只受到重力的作用，在水平方向做匀速运动，在竖直方向做匀变速运动，竖直方向应用动量定理得：

Fyt=mVy-mVy0

所以mgt=mVy-（-mV0.sin300）

解得Vy=gt-V0.sin300=15m/s.

而Vx=V0.cos300=

第2s未小球的速度大小为：

注意：

动量定理不仅适用于物体做直线运动的问题，而且也适用物体做曲线运动的问题，在求解曲线运动问题中，一般以动量定理的分量形式建立方程，即：

Fxt=mVx-mVx0

Fyt=mVy-mVy0

例4.2从高为H的平台上，同时水平抛出两个物体A和B，已知它们的质量mB=2mA，抛出时的速度vA=2vB，不计空气阻力，它们下落过程中动量变化量的大小分别为ΔpA和ΔpB，则

A.ΔpA=ΔpBB.ΔpA=2ΔpB

C.ΔpB=4ΔpAD.ΔpB=2ΔpA

解：

由t=

知tA=tB，由动量定理知Δp=mgt，故ΔpB=2ΔpA.答案：

D

例4.3、质量为m的小球用长为R的细绳的一端系住，在水平光滑的平面内绕细绳的另一端做匀速圆周运动，速率为v，向心力F＝m

.求半周期内向心力的冲量。

解：

在半个周期的冲量不等于m

·

因为向心力是个变力（方向时刻在变）.

在半个周期的始、末线速度方向相反，动量的变化量是2mv，根据动量定理可知，向心力在半个周期的冲量大小也是2mv，方向与半个周期的开始时刻线速度的方向相反.

5、求解流体问题

例5.1某种气体分子束由质量m=5.4X10-26kg，速度V＝460m/s的分子组成，各分子都向同一方向运动，垂直地打在某平面上后又以原速率反向弹回，如分子束中每立方米的体积内有n0＝1.5X1020个分子，求被分子束撞击的平面所受到的压强．

解：

设在△t时间内射到某平面S的上的气体的质量为ΔM，则：

取ΔM为研究对象，受到的合外力等于平面作用到气体上的压力F

以V方向规定为正方向，由动量定理得:

-FΔt=ΔMV-（-ΔMV）

解得平均冲力为：

平面受到的压强P为：

注意：

处理有关流体（如水、空气、高压燃气等）撞击物体表面产生冲力（或压强）的问题，可以说非动量定理莫属．

解决这类问题的关键是选好研究对象，一般情况下选在极短时间△t内射到物体表面上的流体为研究对象

例5.2、自动称米机已被许多粮店广泛使用。

买者认为：

因为米落到容器中时有向下的冲力而不划算。

卖者认为：

当预定米的质量数满足时，自动装置即刻切断米流，此刻尚有一些米仍在空中，这些米是多给买者的，因而双方争执起来，究竟对哪方更划算呢？

解：

设米粒的流量为d（kg/s），它是恒定的。

自动装置能即刻在出口处切断米流，米流在出口处速度很小可视为零。

若切断米流后，盛米容器中静止的那部分米的质量为m1kg,空中还在下落的米的质量为m2kg。

极短时间Δt内落在静止的米堆上的一部分米的质量Δm=dΔt。

设Δm落在米堆上之前的速度为V，经过Δt后静止，其受力如图13所示。

取向上为正方向，由动量定理得：

（F-Δmg）Δt=0-（-ΔmV）

即F=dV+gdΔt

设米从自动装置出口处落到静止部分米表面所用的时间为t，则V=gt

由空中部分米的质量m2=dt,可得dV=dgt=m2g

即F=m2g+Δmg.

根据牛顿第三定律得F/=F，

称米机读数为M=m1+m2+Δm

可见，称米机读数已包含了静止在袋中部分的质量m1，也包含了尚在空中的下落的米流的质量m2，还包含了刚落至米堆的一小部分的质量Δm,

即自动称米机是准确的。

不存在谁划不划算的问题。

例5.3高压采煤水枪出水口的截面积为S，水的射速为v，射到煤层上后，水速度为零.若水的密度为ρ，求水对煤层的冲力.

解：

从水枪中射出的水是连续的，这样对解题极为不便，为使连续的水像物体一样，我们可以取一小段时间的水进行研究.

射到煤层上的水，在较短时间速度变为零，煤一定对水（水为研究对象）产生了力的作用，此力为变力，因此可以由动量定理来求出煤对水的平均作用力，即冲力，由牛顿第三定律就知道水对煤的作用力.

由水流算出Δt内水的质量，以Δt时间内的水为研究对象，由动量定理列方程，求煤对水的力，再由牛顿第三定律求水对煤的力.

设在Δt时间内，从水枪射出的水的质量为Δm，

则Δm＝ρSvΔt.

以Δm为研究对象，它在Δt时间内动量变化为：

Δp=Δm（0－v）=－ρSv2Δt

设FN为水对煤层的冲力，FN′为煤层对水的反冲力，以FN′的方向为正方向，

对水利用动量定理（忽略水的重力）得：

FN′Δt=Δp＝－ρv2SΔt

解得：

FN′=－ρSv2

根据牛顿第三定律知FN=－FN′，所以FN=ρSv2.

说明：

这是一类变质量（或连续流体）问题，对这类问题的处理，一般要选取一段时间的流体为研究对象，然后表示出所选研究对象的质量，分析它的受力及动量的变化，根据动量定理列方程求解.

例5.4国产水刀—超高压数控万能水切割机以其神奇的切割性能在北京国际展览中心举行的第五届国际机床展览会上引起轰动，它能切割40mm厚的钢板、50mm厚的大理石等材料.

水刀就是将普通的水加压，使其从口径为0.2mm的喷嘴中以800m/s～1000m/s的速度射出的水流.我们知道任何材料承受的压强都有一定限度，下表列出了一些材料所能承受的压强限度.

A．橡胶

5×107Pa

B．花岗石

1.2×108Pa～2.6×108Pa

C．铸铁

8.8×108Pa

D．工具钢

6.7×108Pa

设想有一水刀的水流横截面积为S，垂直入射的速度v＝800m/s，水流与材料接触后，速度为零，且不附着在材料上，水的密度ρ＝1×103kg/m3，则此水刀不能切割上述哪些材料？

解：

以射到材料上的水量Δm为研究对象，以其运动方向为正方向，由动量定理得：

pSΔt＝－ρSvΔtv

p＝－ρv2＝－6.4×108Pa

由表中数据可知：

不能切割C、D.

例5.5、如下图所示，光子具有动量，每个光子的动量p=mv=h/λ（式中h为普朗克常量，λ为光子的波长）.当光照射到物体表面上时，不论光被物体吸收还是被物体表面反射，光子的动量都会发生改变，因而对物体表面产生一种压力，称为光压.

下图是列别捷夫设计的用来测量光压的仪器.

图中两个圆片中，a是涂黑的，而b是光亮的.当光线照射到a上时，可以认为光子全部被吸收，而当光线照射到b上时，可以认为光子全部被反射.分别用光线照射在a或b上，由于光压的作用，都可以引起悬丝的旋转，旋转的角度可以借助于和悬丝一起旋转的小平面镜M进行观察.

（1）如果用一束强光同时照射a、b两个圆片，光线的入射方向跟圆片表面垂直，悬丝将向哪个方向偏转？

为什么？

（2）已知a、b两个圆片的半径都为r，两圆心间的距离是d.现用频率为

的激光束同时垂直照射a、b两个圆片，单位时间内垂直于光传播方向的单位面积上通过的光子个数为n,光速为c,求由于光压而产生的作用力分别为多大.

解：

（1）a向外b向里转动（从上向下看逆时针转动）

对时间t内照到圆片上的光子用动量定理：

Ft=（ntS）Δmv，

照到a上的每个光子的动量变化是mv，而照到b上的每个光子的动量变化是2mv；

因此光子对b的光压大.

（2）分别对单位时间内照射到a、b上的光子用动量定理，有：

Fa=nπr2h

/c

Fb=nπr22h

/c

答案：

（1）a向外b向里转动（从上向下看逆时针转动）

（2）Fa=nπr2h

/cFb=nπr22h

/c

例5.6科学家设想在未来的航天事业中用太阳帆来加速星际宇宙飞船．按照近代光的粒子说，光由光子组成，飞船在太空中张开太阳帆，使太阳光垂直射到太阳帆上，太阳帆面积为S，太阳帆对光的反射率为100﹪，设太阳帆上每单位面积每秒到达n个光子，每个光子的动量为p，如飞船总质量为m，求飞船加速度的表达式。

如太阳帆面对阳光一面是黑色的，情况又如何？

解：

∴

；

6、对系统应用动量定理

系统的动量定理就是系统所受合外力的冲量等于系统总动量的变化。

若将系统受到的每一个外力,系统内每一个物体的速度均沿坐标系x轴和y轴分解，

则系统的动量定理的数学表达式如下：

，

对于不需求解系统内部各物体间相互作用力的问题，采用系统的动量定理求解将会使求解简单、过程明确。

例6.1、如图3所示，质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直公路上以加速度a匀加速前进，当速度为V0时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。

若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？

解：

以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力始终为

初状态动量为（M+m）V0,末状态拖车的动量为零,该过程经历时间为t=V0/μg

全过程对系统用动量定理可得：

注意：

这种方法只能用在拖车停下之前。

因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，因此合外力大小不再是

例6.2如图4所示，矩形盒B的质量为M，放在水平面上，盒内有一质量为m的物体A，A与B、B与地面间的动摩擦因数分别μ1、μ2，开始时二者均静止。

现瞬间使物体A获取一向右且与矩形盒B左、右侧