数学新学案同步精致讲义选修21苏教版第1章 常用逻辑用语 131 Word版含答案.docx
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数学新学案同步精致讲义选修21苏教版第1章常用逻辑用语131Word版含答案
§1.3全称量词与存在量词
1.3.1量词
学习目标1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法.
知识点一全称量词、全称命题
思考观察下面的两个语句,思考下列问题:
P:
m≤5;
Q:
对所有的m∈R,m≤5.
(1)上面的两个语句是命题吗?
二者之间有什么关系?
(2)常见的全称量词有哪些?
(至少写出五个).
答案
(1)语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.
(2)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等.
梳理全称量词与全称命题
全称量词
所有、任意、一切、每一个
符号
∀x
全称命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x,有p(x)成立”,可用符号简记为“∀x∈M,p(x)”
知识点二存在量词、存在性命题
思考观察下面的两个语句,思考下列问题:
P:
m>5;
Q:
存在一个m∈Z,m>5.
(1)上面的两个语句是命题吗?
二者之间有什么关系?
(2)常见的存在量词有哪些?
(至少写出五个)
答案
(1)语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.
(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
梳理存在量词与存在性命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃x
存在性命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x,使p(x)成立”,可用符号简记为“∃x∈M,p(x)”
特别提醒:
在存在性命题中,量词不可以省略;在有些全称命题中,量词可以省略.
1.“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.(×)
2.全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.(√)
3.全称命题中一定含有全称量词,存在性命题中一定含有存在量词.(×)
类型一判断命题的类型
例1将下列命题用“∀”或“∃”表示.
(1)实数的平方是非负数;
(2)方程ax2+2x+1=0(a<1)至少存在一个负根;
(3)若直线l垂直于平面α内任一直线,则l⊥α.
考点量词与命题
题点全称(存在性)命题的符号表示
解
(1)∀x∈R,x2≥0.
(2)∃x<0,ax2+2x+1=0(a<1).
(3)若∀a⊂α,l⊥a,则l⊥α.
反思与感悟判断一个语句是全称命题还是存在性命题的步骤
(1)判断此语句是否为命题.
(2)看命题中是否含有量词,并判断该量词是全称量词还是存在量词.
(3)对不含或省略量词的命题,要根据命题涉及的实际意义进行判断.
跟踪训练1判断下列命题是全称命题还是存在性命题.
(1)若a>0且a≠1,则对任意x,ax>0;
(2)对任意实数x1,x2,若x1<x2,则tanx1<tanx2;
(3)存在实数T,使得|sin(x+T)|=|sinx|;
(4)存在实数x,使得x2+1<0.
解
(1),
(2)含有全称量词“任意”,是全称命题.(3),(4)含有存在量词“存在”,是存在性命题.
类型二判断命题的真假
例2判断下列命题的真假.
(1)∀x∈R,x2-x+1>
;
(2)∃α,β,cos(α-β)=cosα-cosβ;
(3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数;
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示;
(5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.
考点全称(存在性)命题的真假性判断
题点全称(存在性)命题真假的判断
解
(1)真命题,∵x2-x+1-
=x2-x+
=
2+
≥
>0,
∴x2-x+1>
恒成立.
(2)真命题,例如α=
,β=
,符合题意.
(3)真命题,函数f(x)=0既是偶函数又是奇函数.
(4)假命题,如:
边长为1的正方形的对角线长为
,它的长度就不是有理数.
(5)假命题,因为该方程的判别式Δ=-31<0,故无实数解.
反思与感悟1.要判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x,使得p(x)不成立,那么这个全称命题就是假命题.
2.要判定存在性命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在性命题就是假命题.
跟踪训练2判断下列命题的真假.
(1)有一些奇函数的图象过原点;
(2)∃x∈R,2x2+x+1<0;
(3)∀x∈R,sinx+cosx≤
.
考点全称(存在性)命题的真假性判断
题点全称(存在性)命题真假的判断
解
(1)该命题中含有“有一些”,是存在性命题.如y=x是奇函数,其图象过原点,故该命题是真命题.
(2)该命题是存在性命题.
∵2x2+x+1=2
2+
≥
>0,
∴不存在x∈R,使2x2+x+1<0.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称命题.
∵sinx+cosx=
sin
≤
恒成立,
∴对任意实数x,sinx+cosx≤
都成立,故该命题是真命题.
类型三全称命题、存在性命题的应用
例3
(1)若命题p:
存在x∈R,使ax2+2x+a<0,求实数a的取值范围;
(2)若不等式(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立,求实数m的取值范围.
解
(1)由ax2+2x+a<0,得a(x2+1)<-2x,
∵x2+1>0,∴a<-
=-
,
当x>0时,x+
≥2,∴-
≥-1,
当x<0时,x+
≤-2,∴-
≤1,
∴-
的最大值为1.
又∵∃x∈R,使ax2+2x+a<0成立,
∴只要a<1,∴a的取值范围是(-∞,1).
(2)①当m+1=0即m=-1时,2x-6<0不恒成立.
②当m+1≠0,则
由
得
即
综上,m<-
.
反思与感悟有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用,注意二者的区别.
跟踪训练3已知命题p:
“∃x∈R,sinx<m”,命题q:
“∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立”,若p∧q是真命题,求实数m的取值范围.
考点简单逻辑联结词的综合应用
题点由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
解由于p∧q是真命题,则p,q都是真命题.
因为“∃x∈R,sinx<m”是真命题,所以m>-1.
又因为“∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立”是真命题,
所以Δ=m2-4<0,解得-2<m<2.
综上所述,实数m的取值范围是(-1,2).
1.下列命题是全称命题的个数为________.
①任意一个自然数都是正整数;
②有的等差数列也是等比数列;
③四边形的内角和是360°.
答案2
解析①③是全称命题.
2.下列命题中,不是全称命题的是________.(填序号)
①任何一个实数乘以0都等于0;
②自然数都是正整数;
③每一个向量都有大小;
④一定存在没有最大值的二次函数.
答案④
解析④是存在性命题.
3.已知函数f(x)=|2x-1|,若命题“存在x1,x2∈[a,b]且x1f(x2)”为真命题,则下列结论一定成立的是________.(填序号)
①a≥0;②a<0;③b≤0;④b>1.
答案②
解析函数f(x)=|2x-1|的图象如图所示.
由图可知f(x)在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数,∴要满足存在x1,x2∈[a,b]且x1f(x2)为真命题,则必有a<0.
4.存在性命题“∃x∈R,|x|+2≤0”是________命题.(填“真”“假”)
答案假
解析不存在任何实数,使得|x|+2≤0,所以是假命题.
5.若命题“∃x∈R,x2+mx+2m-3<0”为假命题,则实数m的取值范围是________.
答案[2,6]
解析由已知得“∀x∈R,x2+mx+2m-3≥0”为真命题,则Δ=m2-4×1×(2m-3)=m2-8m+12≤0,解得2≤m≤6,即实数m的取值范围是[2,6].
1.判断全称命题的关键:
一是先判断是不是命题;二是看是否含有全称量词.
2.判定全称命题的真假的方法:
定义法:
对给定的集合的每一个元素x,p(x)都为真,则全称命题为真;代入法:
在给定的集合内找出一个x,使p(x)为假,则全称命题为假.
3.判定存在性命题真假的方法:
代入法,在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真,则存在性命题为真,否则命题为假.
一、填空题
1.下列命题为存在性命题的是________.(填序号)
①奇函数图象关于原点对称;
②有些实数的平方是0;
③末位数字为偶数的整数能被2整除;
④有一个向量a,其方向不能确定.
答案②④
解析依据存在性命题概念知,只有②④符合题意.
2.下列四个命题:
①没有一个无理数不是实数;②空集是任何一个非空集合的真子集;③1+1<2;④至少存在一个整数x,使得x2-x+1是整数.其中是真命题的为________.(填序号)
答案①②④
解析①所有无理数都是实数,为真命题;
②显然为真命题;
③显然不成立,为假命题;
④取x=1,能使x2-x+1=1是整数,为真命题.
3.下列全称命题中真命题的个数为________.
①负数没有对数;
②对任意的实数a,b,都有a2+b2≥2ab;
③二次函数f(x)=x2-ax-1与x轴恒有交点;
④∀x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.
答案3
解析①②③为真命题.
4.下列命题:
①偶数都可以被2整除;②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等;③正四棱锥的侧棱长相等;④有的实数是无限不循环小数;⑤有的菱形是正方形;⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________,即是存在性命题又是真命题的是________.(填序号)
答案①②③④⑤
解析①是全称命题,是真命题;
②是全称命题,是真命题;
③是全称命题,即任意正四棱锥的侧棱长相等,是真命题;
④含存在量词“有的”,是存在性命题,是真命题;
⑤是存在性命题,是真命题;
⑥是存在性命题,是假命题,因为任意三角形内角和为180°.
5.下列存在性命题是假命题的是________.(填序号)
①存在x∈Q,使2x-x3=0;
②存在x∈R,使x2+x+1=0;
③有的素数是偶数;
④有的有理数没有倒数.
答案②
解析对于任意的x∈R,x2+x+1=
2+
>0恒成立.
6.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x1满足关于x的方程2ax+b=0,则下列命题中为假命题的是________.(填序号)
①∃x∈R,f(x)≤f(x1);
②∃x∈R,f(x)≥f(x1);
③∀x∈R,f(x)≤f(x1);
④∀x∈R,f(x)≥f(x1).
答案③
解析∵x1是方程2ax+b=0的解,
∴x1=-
,
又∵a>0,
∴f(x1)是y=f(x)的最小值,
∴f(x)≥f(x1)恒成立.
7.已知命题p:
∀x∈R,x2+2x-a>0.若p为真命题,则实数a的取值范围是________.
答案(-∞,-1)
解析由题意得Δ=4+4a<0,解得a<-1.
8.∀x∈R,函数y=lg(mx2-4mx+m+3)有意义,则实数m的取值范围是________.
答案[0,1)
解析由题意得不等式mx2-4mx+m+3>0对任意x∈R都成立,
当m=0时,显然成立,当
即当0所以实数m的取值范围是[0,1).
9.已知命题“∃x∈R,x2+ax-4a<0”为假命题,则实数a的取值范围为________.
答案[-16,0]
解析由题意可知“∀x∈R,x2+ax-4a≥0”为真命题,
∴Δ=a2+16a≤0,解得-16≤a≤0.
10.已知命题“∃x∈R,使2x2+(a-1)x+
≤0”是假命题,则实数a的取值范围是________.
答案(-1,3)
解析原命题的否定为∀x∈R,2x2+(a-1)x+
>0,
由题意知,原命题的否定为真命题,则Δ=(a-1)2-4×2×
<0,则-211.已知命题p:
“∀x∈[0,1],a≥ex”,命题q:
“∃x∈R,x2+4x+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是________.
答案[e,4]
解析由命题“p∧q”是真命题,得命题p,q都是真命题.因为x∈[0,1],所以ex∈[1,e],所以a≥e;∃x∈R,x2+4x+a=0,即方程x2+4x+a=0有实数根,所以Δ=42-4a≥0,解得a≤4,即实数a的取值范围为[e,4].
二、解答题
12.判断下列命题是否为全称命题或存在性命题,若是,用符号表示,并判断其真假.
(1)存在一条直线,其斜率不存在;
(2)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解;
(3)存在实数x,使得
=2.
解
(1)是存在性命题,用符号表示为“∃直线l,l的斜率不存在”,是真命题.
(2)是全称命题,用符号表示为“∀a,b∈R,方程ax+b=0都有唯一解”,是假命题.
(3)是存在性命题,用符号表示为“∃x∈R,
=2”,是假命题.
13.已知命题p:
“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:
“∃x∈R,x2+2ax+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.
解由“p且q”是真命题,知p为真命题,q也为真命题.
若p为真命题,则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立,
所以a≤1.
若q为真命题,则关于x的方程x2+2ax+2-a=0有实根,
所以Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2.
综上,实数a的取值范围为{a|a≤-2或a=1}.
三、探究与拓展
14.有下列四个命题:
p1:
∃x∈(0,+∞),
x<
x;
p2:
∃x∈(0,1),
x>
x;
p3:
∀x∈(0,+∞),
x>
x;
p4:
∀x∈
,
x<
x.
其中为真命题的是________.
考点量词与命题
题点全称(存在性)命题的真假性判断
答案p2,p4
解析因为幂函数y=xα(α>0)在(0,+∞)上是增函数,所以命题p1是假命题;因为对数函数y=logax(0<a<1)是减函数,所以当x∈(0,1)时,0<logx
<logx
,所以0<
<
,即
x>
x,所以命题p2是真命题;因为函数y=
x在(0,+∞)上单调递减,所以有0<y<1,当x∈(0,1]时,y=
x≥0,当x∈(1,+∞)时,y=
x<0,所以命题p3是假命题;因为函数y=
x在
上单调递减,所以有0<y<1,而函数y=
x在
上的函数值y>1,所以命题p4是真命题.
15.已知f(t)=log2t,t∈[
,8],若命题“对于函数f(t)值域内的所有实数m,不等式x2+mx+4>2m+4x恒成立”为真命题,求实数x的取值范围.
考点全称命题的真假性判断
题点恒成立求参数的取值范围
解由题意知f(t)∈
.
由题意知,令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4=(x-2)m+(x-2)2,
当x=2时,g(m)=0,显然不等式不成立,所以x≠2,
则g(m)>0对任意m∈
恒成立,
所以
即
解得x>2或x<-1.
故实数x的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).