数学分析11教学大纲.docx
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数学分析11教学大纲
《数学分析11》课程教学大纲
一课程说明
1.课程基本情况
课程名称：
数学分析11
英文名称：
MathematicalAnalysis
课程编号：
2411203
开课专业：
数学与应用数学专业
开课学期：
第1学期
学分/周学时：
6/6
课程类型：
专业基础课
2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）
《数学分析11》是数学专业的基础学科，是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程，以一元微分学为基本内容，是学生学习分析学系列课程及其后继课程的重要基础，在第1学期开设。
本课程的教学，对锻炼和提高学生的思维能力，培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法有重要的意义，它不仅关系到能否学好后续课程，对学生未来的发展也将产生重大影响。
3．本课程的教学目的和任务
本课程是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、实变函数论、概率论、拓扑学、泛函分析等后继课程的阶梯，也为深入理解中学数学打下必要的基础。
与中学数学的许多内容，如实数系、函数、方程、不等式、极值、面积、体积、弧长等有着密切的联系。
通过本课程的学习，使学生掌握一元函数微分学内容，为学习数学分析2、数学分析3及分析学系列课程（复变函数、实变函数、微分方程、泛函分析等）及其后继课程打好基础，并自然地渗透对学生进行逻辑和数学抽象的特殊训练，达到如下目的：
1、使学生对极限思想和方法有较深刻的认识，培养学生的辩证唯物主义观点；
2、使学生正确理解数学分析的基本概念，牢固地掌握数学分析中的基本理论和基本方法，逐步提高他们抽象思维和逻辑推理的能力，培养他们熟练的演算技能和初步应用的能力，为进一步学习其它课程打下基础。
3、通过对贯穿数学分析始终的极限思想和方法的教学，使学生弄清不变与变，有限与无限，特殊与一般的辩证关系，进一步培养他们的辩证唯物主义史观。
4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求
本课程是高等院校数学系的数学与应用数学专业的一门重要基础课，它的任务是使学生获得极限论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识。
它一方面为后继课程如微分方程、复变函数、微分几何、实变函数、泛函分析、概率论等基础课及有关选修课提供所需的基础。
同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。
学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习、研究和应用都具有关键性的作用。
通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
5．教学时数及课时分配
章（专题）
主要内容
学时数（16周）
总学时
理论
习题
第一部分
变量与函数
6
4
2
第二部分
极限与连续
30
24
6
第三部分
关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质
18
14
4
第四部分
导数与微分
20
16
4
第五部分
微分学基本定理及导数的应用
22
18
4
合计
96
二教材及主要参考书
1.复旦大学数学系陈传璋等编，《数学分析》（上、下册），第三版，高等教育出版社，2007年4月.
2.华东师大数学系编，《数学分析》（上、下册），第三版，高等教育出版社，2001年6月.
3.刘玉琏等编，《数学分析》（上、下册），第五版，高等教育出版社，2008年4月.
4.菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，《微积分学教程》，人民教育出版社，1954年.
5.卢丁著，赵慈庚，蒋铎译，《数学分析原理》，高等教育出版社，1979年.
6.林源渠，方企勤编，《数学分析解题指南》，北京大学出版社，2003年11月.
7.吉米多维奇编，费定晖编审，郭大均主审，《数学分析习题集题解》（一，二，三，四，五，六），山东科学技术出版社，1980年12月.
8.苏维宜，《近代分析引论》，北京大学出版社，2000年1月.
三教学方法和教学手段说明
本课程以讲授法为主，在理论讲授中应注重理论与实践的结合，要注重已有的基础理论知识在设计算法中进行分析、改进的常用方法的传授，对较抽象的理论知识传授要尽量做到深入浅出。
微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，具体在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。
教学过程中除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。
另外，还可以采用多媒体教学手段、结合具体的应用实例，组织和指导学生进行研究，讨论，探求最佳算法的学习方式。
四成绩考核办法
本课程是一门考试课程，考核以笔试为主,闭卷。
主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。
成绩考核办法按学校教务处的相关规定执行。
五教学内容
第一部分变量与函数（6学时）
一、教学目的
1、深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见述语；
2、弄清函数，复合函数和反函数的概念；
3、了解函数的几种表示法；
4、掌握初等函数的概念，掌握基本初等函数的简单性质及图像。
二、教学重点
本章重点为函数的概念及其有关的性质。
三、教学难点
本章难点是反函数、分段函数的定义及应用。
四、讲授要求
1、使学生理解函数的概念。
学会函数的定义域、表达式及函数值。
会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数的图像；
2、使学生理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性，会判断函数的类型；
3、使学生理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程；
4、使学生掌握初等函数的概念，掌握基本初等函数的简单性质及图像。
五、讲授要点
1、函数的概念函数的定义，函数的表示法，分段函数；
2、函数的简单性质单调性，奇偶性，有界性，周期性；
3、复合函数反函数的概念，反函数的图像；
4、函数的四则运算与复合运算；
5、基本初等函数类幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数；
6、初等函数的概念；
7、会建立简单实际问题的函数关系式。
第二部分极限与连续（30学时）
一、教学目的
1、透彻理解数列极限的概念；
2、能够用
用语处理极限问题；
3、能运用定义，四则运算，极限存在判别法，柯西准则，判别极限的存在性，熟练地求数列极限；
4、牢固掌握函数极的概念及基本性质；
5、理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；
6、掌握两个重要极限，并熟练运用；
7、理解并掌握无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数极限；
8、深刻理解和掌握函数连续性的概念和连续函数的概念；
9、弄清间断的概念及其分类；
10、掌握初等函数的连续性；
8、理解一致连续的概念及性质。
9、掌握闭区间上连续函数的性质有界性定理、最大值与最小值定理、介值性定理；
11、熟练掌握函数在连续点的局部性质和闭区间上连续函数的性质；
二、教学重点
1、数列极限的定义、性质及计算；
2、函数极限的概念、性质及计算；
3、函数连续性的概念；
8、一致连续的概念及性质。
9、闭区间上连续函数的性质有界性定理、最大值与最小值定理、介值性定理；
10、熟练掌握函数在连续点的局部性质和闭区间上连续函数的性质；
三、教学难点
1、数列极限的
定义及柯西准则以及柯西准则和海涅定理的运用；
2、函数极限的“
”定义与“
”定义；
3、闭区间上连续函数的性质有界性定理、最大值与最小值定理、介值性定理。
四、讲授要求
1、熟练掌握数列极限的严格定义，能用数列极限的严格定义解决有关问题和证明极限的存在性；
2、掌握数列极限的性质，单调有界定理，迫敛性定理，理解海涅定理，柯西收敛原理证明极限的存在性；
3、熟练掌握函数极限（左极限、右极限）、无穷小量、无穷大量的严格定义，极限与左右极限的关系，能用函数极限的严格定义解决有关问题和证明极限的存在性，能正确叙述极限不存在的严格定义并能正确理解；
4、熟练掌握函数极限的性质，熟练地用四则运算性质，两个重要极限来计算函数极限；
5、理解无穷小无穷大及其阶的比较；
6、熟练掌握函数连续、左右连续、区间上函数连续、间断点及其分类等概念，会求初等函数、分段函数的间断点及其分类，会用函数的连续性求极限；
7、熟练掌握函数在连续点的局部性质；
8、闭区间上连续函数的性质有界性定理、最大值与最小值定理、介值性定理；
9、理解一致连续的概念及性质；
10、熟练掌握函数在连续点的局部性质和闭区间上连续函数的性质。
五、讲授要点
1、函数当
趋向
时的极限的概念和
定义，函数当
趋向
时的极限的概念和
定义单侧极限的概念和
定义；
2、极限与单侧极限的关系；
3、函数极限的性质唯一性、有界性、保号性、保不等式性、四则运算定理；
4、函数极限存在的条件单调有界定理、函数极限存在的柯西准则、夹逼定理、函数极限存在的归结原则；
5、两个重要的极限；
6、无穷小量与无穷大量无穷小量阶的概念，无穷小量阶的比较；
7、函数连续的概念函数在一点处连续的定义；左连续与右连续函数在一点处连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类；
8、函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算、复合函数连续性、反函数的连续性；
9、初等函数的连续性。
10、闭区间上连续函数的性质有界性定理、最大值与最小值定理、介值性定理；
11、理解一致连续的概念及性质。
12、熟练掌握函数在连续点的局部性质和闭区间上连续函数的性质；
第三部分关于实数的基本定理及闭区间上连
续函数性质（18学时）
一、教学目的
1、掌握实数的基本性质和确界原理，建立起实数集确界的概念；
2、掌握连续性的几个基本定理,及一致连续性的概念；
3、能正确叙述和应用闭区间上连续函数的性质；
4、能够证明闭区间上连续函数的基本性质。
二、教学重点
实数完备性基本定理的证明和应用。
三、教学难点
实数完备性基本定理的证明和应用。
四、讲授要求
1、了解实数的基本性质和确界原理，建立实数集确界的概念；
2、掌握实数连续性的几个基本定理,及一致连续性的概念；
3、能够证明闭区间上连续函数的基本性质。
五、讲授要点
1、理解区间套定理,聚点定理,致密性定理,有限覆盖定理的条件和结论,了解各定理的证明思路；
2、闭区间上连续函数性质的证明思路和证明方法。
3、一致连续性的概念及闭区间上连续函数的基本性质。
第四部分导数与微分（20学时）
一、教学目的
1、掌握导数与微分的概念,了解其几何意义；
2、能熟练地运用导数运算性质与求导法则（特别是复合函数求异法则）求函数的导数；
3、能求函数的高阶导数。
二、教学重点
导数与微分的概念及其计算。
三、教学难点
求复合函数导数。
四、讲授要求
1、理解导数的概念及其几何意义，可导性与连续性的关系，掌握运用定义求函数在一点处的导数；
2、熟练掌握可导与连续的关系；
3、熟练掌握求导运算的四则运算法则，复合函数求导法则及初等函数求导公式；会求参数方程所决定函数的导数；会求平面曲线的切线方程和法线方程；理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数，熟记几个重要基本函数的高阶导数公式；
4、理解函数微分的概念；了解一阶微分形式的不变性；熟练掌握微分法则，掌握微分与可导的关系，熟练掌握求一阶微分，会求高阶微分；会用微分进行近似计算；
5、掌握反函数、隐函数、对数函数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法，掌握求分段函数的导数。
五、讲授要点
1、导数的概念导数的定义左导数右导数导数的几何意义与物理意义可导与连续的关系；
2、求导法则与导数的基本公式导数的四则运算反函数的导数导数的基本公式；
3、求导方法复合函数的求导法隐函数的求导法对数求导法由参数方程确定的函数的求导法求分段函数的导数；
4、微分，微分的定义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式的不变性；
5、高阶导数的概念，高阶导数的定义，高阶导数的计算。
第五部分微分学基本定理及导数的应用（22学时）
一、教学目的
1.掌握中值定理的内容与证明；
2.掌握中值定理，熟悉它的某些应用；
3.能够把某些函数按泰勒公式展开；
4.能熟练地用罗必达法则求不定式的极限。
二、教学重点
中值定理与泰劳公式。
三、教学难点
用辅助函数解决问题的方法。
四、讲授要求
1、理解罗尔中值定理、格朗日中值定理、柯西中值定理它们的几何意义，掌握用它们证明根的存在性和简单的不等式；
2、熟练掌握用洛必达法则求“
“
”型未定式的极限的方法、会用洛必达法则求“
”、“
”、“
”、“
”、“
”型未定式的极限的方法；
3、熟练掌握利用导数判定函数单调性及求函数单调增、减区间的方法，会用函数的单调性证明简单不等式；
4、理解函数极值的概念,掌握求函数的极值和最值的方法，并会解简单的应用问题；
5、掌握判断曲线的凹凸性，掌握求曲线的拐点；
6、会求曲线的的渐近线；
7、会作简单函数的图形；
8、理解函数的泰勒公式，掌握泰勒公式的拉格朗日型余项，知道积分型余项和柯西余项掌握几个基本初等函数的泰勒公式。
五、讲授要点
1、中值定理：
罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；
2、洛必达法则；
3、函数增减性的判定法；
4、函数的极值与极值点、最大值与最小值；
5、曲线的凹凸性、拐点；
6、曲线的渐近线；
7、能画一般函数的图象；
8、泰勒公式。
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