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完整版因式分解的常用方法方法最全最详细
因式分解的常用方法
第一部分:
方法介绍
因式分解:
因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式,主
要有提公因式法,公式法,十字相乘法,分组分解法,换元法等
因式分解的一般步骤是:
(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,
可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;
(2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法;。
注意:
将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
、提公因式法.:
ma+mb+mc=m(a+b+c)
、运用公式法•
222
(ab)(bc)(ca)0
三、分组分解法•
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:
amanbmbn
分析:
从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公
式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
解:
原式=(am
an)
n)
(bmb(mn
bn)
■
每组之间还有公因式!
=a(m
)
=(m
n)(a
b)
例2、
分解因式
2ax
10ay5by
bx
解法一:
第一、二项为
•组;
解法二:
第一、四项为一组;
第三、四项为-
一组。
第二、三项为一组。
解
:
原
式
=
(2ax1
0ay)
(5by
bx)原
=(2axbx)
(10ay
5by)
=2a(x5y)
b(x
5y)
=x(2a
b)5y(2ab)
=(x
5y)(2a
b)
=(2a
b)(x5y)
练习:
分解因式
2
1、a
ab
acbc
2、
xyxy1
(二)
分组后能直接运用公式
例3、
分解因式
2x
2
y
axay
式
分析:
若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。
解:
原式:
=(x2
y2)
(ax
ay)
=(x
y)(x
y)
a(xy)
=(x
y)(x
ya)
例4、分解因式:
2a
2ab
b2
2c
解:
原式:
=(a2
2ab
b2)
2c
=(a
b)2
2c
=(abc)(abc)
综合练习:
(1)
3x
223
xyxyy
(2)
2ax
bx2bx
axab
(3)
2
x
6xy
22
9y16a8a1
(4)
2a
6ab12b
9b24a
(5)
4a
2a3
2a
9
(6)
4a2
x4a2y
.2.2
bxby
(7)
2
x
2xy
xz
2
yzy
(8)
2a
2ab22b2ab1
(9)
y(y
2)
(m
1)(m1)
(10)(a
c)(ac)
b(b2a)
(
11
)
a2(b
c)b2(ac)
c2(a
b)
2abc
(12)
3a
b3
c3
3abc
四、十字相乘法•
(一)二次项系数为1的二次三项式
2
直接利用公式x(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。
特点:
(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)—次项系数是常数项的两因数的和。
思考:
十字相乘有什么基本规律?
例.已知0vaW5,且a为整数,若2x23xa能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a.
解析:
凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求b24ac>0而且是一个完全平方数。
于是98a为完全平方数,a1
2
例5、分解因式:
x5x6
分析:
将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2X3=(-2)x(-3)=1X6=(-1)x(-6),从中可以发现只有2X3
的分解适合,即2+3=5。
12
22
解:
x5x6=x(23)x2313
=(x2)(x3)1X2+1X3=5
用此方法进行分解的关键:
将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数
的代数和要等于一次项的系数。
(-1)+(-6)=-7
(三)二次项系数为1的齐次多项式
29
例8、分解因式:
a8ab128b
分析:
将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相
乘法进行分解。
1><8b
1-16b
8b+(-16b)=-8b
解:
a28ab128b2=a2[8b(16b)]a8b(16b)
=(a8b)(a16b)
22
练习8、分解因式
(1)x3xy2y
2222
(2)m6mn8n(3)aab6b
(四)二次项系数不为1的齐次多项式
综合练
乐习
10、(1
)8x67x31
(2)
12x2
11xy
15y2
(3)
(x
y)2
3(xy)10
(4)(a
b)2
4a
4b3
(5)
2
xy
25x2
y6x2
2
(6)m4mn
4n2
3m
6n2
(7)
x2
4xy
4y22x4y
3(8)5(ab)2
23(a2
b2
)10(a
b)2
(9)
4x2
4xy
6x3yy2
10(10)12(xy)2
!
11(x
2
y
2)2(x
y)2
思考:
分解
乍因式:
abcx2(a2b2
c2)xabc
五、换元法。
(1)、换单项式
632
例1分解因式x+14xy+49y.
分析:
注意到x6=(x3)[若把单项式x3换元,设x3=m,则x6=m2,
原式变形为
+7y)
22
m+14my+49y=(m+7y)
(2)、换多项式
222
例2分解因式(x+4x+6)+(x+6x+6)+x.
分析:
本题前面的两个多项式有相同的部分,我们可以只把相同部分
_一2一22、一换元,设x+6=m,贝Ux+4x+6=m+4x,x+6x+6=m+6x,原式变形为
222222
(m+4x)(m+6x)+x=m+10mx+24x+x=m+10mx+25x
222
=(m+5x)=(x+6+5x)
222
=[(x+2)(x+3)]=(x+2)(x+3).
以上这种换元法,只换了多项式的一部分,所以称为“局部换元法”•当
然,我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元,就成了“整体换元
22
法”.比如,设x+4x+6=m,贝Ux+6x+6=m+2x,原式变形为
22222222
m(m+2x)+x=m+2mx+x=(m+x)=(x+4x+6+x)=(x+5x+6)
222
=[(x+2)(x+3)]=(x+2)(x+3).
另外,还可以取前两个多项式的平均数进行换元,这种换元的方法被
1称为“均值换元法”,可以借用平方差公式简化运算.对于本例,设m=-
22222
[(x+4x+6)+(x+6x+6)]=x+5x+6,贝Ux+4x+6=m-x,x+6x+6=m+x,
22222222
(m+x)(m-x)+x=m-x+x=m=(x+5x+6)=[(x+2)(x+3)]
22
=(x+2)(x+3).
例3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.
分析:
这道题的前面是四个多项式的乘积,可以把它们分成两组相乘,
2
使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组,最高项都是x,常数项
不相等,所以只能设法使一次项相同.因此,把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组
22
为[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]=(x+x-2)(x+x-12),从而转化成例2形式加以解决.
1222
我们采用“均值换元法”,设m=2[(x+x-2)+(x+x-12)]=x+x-7,则
22、一
x+x-2=m+5,x+x-2=m-5,原式变形为
2222(m+5)(m-5)+24=m-25+24=m-仁(m+1)(m-1)=(x+x-7+1)(x+x
-7-1)
222
=(x+x-6)(x+x-8)=(x-2)(x+3)(x+x-8).
(3)、换常数
2
例1分解因式x(x+1)-2003X2004X.
分析:
此题若按照一般思路解答,很难奏效•注意到2003、2004两
个数字之间的关系,把其中一个常数换元•比如,设m=2003,则2004=m+1.于是,原式变形为
222
x(x+1)-m(m+1)x=x[x(x+1)-m(m+1)]=x(x+x-m-m)
22
=x[(x-m)+(x-m)]=x[(x+m)(x-m)+(x-m)]=x(x-m)(x+m+1)=x(x-2003)(x+2003+1)=x(x-2003)(x+2004).
22
例13、分解因式
(1)2005x2(200521)x2005
2
(2)(x1)(x2)(x3)(x6)x
22
解:
(1)设2005=a,则原式=ax(a1)xa
=(ax1)(xa)
=(2005x1)(x2005)
(2)型如abede的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
222
原式=(x7x6)(x5x6)x
22
设x5x6A,则x7x6A2x
•••原式=(A2x)Ax2=A22Axx2
=(Ax)2=(x26x6)2
2
练习13、分解因式
(1)(x
xy
22
y)
4xy(x2
y2)
(2)
(x2
3x
2)(4x
28x3)
90
(3)
(a2
1)2
(a2
22
5)4(a
3)
432
例14、分解因式
(1)2xx6xx2
观察:
此多项式的特点一一是关于仝的降幕排列,每一项的次数依次少1,
并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法:
提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。
22112211
解:
原式=x(2xx62)=x2(x2)(x)6
xxxx
•••原式
设x
2=x
1
x
2(t
t,则x2
1
2
x
6=x2
t2
2t2
2
22;
)t
t
10
2=x
2t
5t
2=
x22x2
5
1
x—
2
x
x
=x•
•2x
2
5x•
1
-x—
2:
=2x
25x
2x2
x
x
=(x
1)
2(2x
1)(x
2)
(2)
x
44x3
x2
4x
1
解:
原式
2=x
(x2
4x
1-
4);
2
=x
2x
1
2
4x
x
x
x
设x
1
y,
则x
21
2
2
-y
2
x
x
••原式
2=x
(y2
4y
3)=
x2(y
1)(y
3)
2=x
(x
1
1)(x
-3)=x2
x
1x2
3x1
x
x
练习
14
、
(1)
6x
47x3
36x2
7x
6
(2)
4x
2‘
2xx1
2(x
x2)
2x
1
x
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式
(1)x33x24
解法
1——
拆项。
解法
2—
添项。
原式
3=x
13x2
3
原式=
3:
x
3x2
4x
4x
4
=
(x
1)(x2x
1)
3(x
1)(x1)
=
x(x:
23x
4)
(4x
4)
=
(x
1)(x2x
1
3x
3)
=
x(x
1)(x
4)
4(x
1)
=
(x
1)(x24x
4)
=
(x
1)(x2
4x
4)
=
(x
1)(x2)2
=
(x
1)(x
2)2
963
(2)xxx3
963
解:
原式=(x1)(x1)(x1)
6
=(x1)(xx1)(x1)(x1)(x1)
6
=(x1)(xx1x11)
263
=(x1)(xx1)(x2x3)
练习
15、
分解因式
(1)
3x
9x
8
(2)
(x1)4
(x2
1)2(x
1)4
(3)
4x
7x2
1
(4)
x4x2
2ax
1a2
(5)
4x
4y
(xy)4
(6)
2a2b2
2a2c2
2b2c2
a4b4c4
例16、分解因式x2分析:
原式的前3项必定可分为解:
设
•/(x
七、待定系数法。
Q2
(2)如果xax
bx8有两个因式为
x
1和x2,求a
b的值
(1)分析:
前两项可以分解为
(x
y)(x
y)
故此多项式分解的形式必
为(xy
a)(x
y
b)
解:
设x2
2
ymx
5y6
=(x
y
a)(x
yb)
则x2
2
ymx
5y6
2=x
2
y
(a
b)x(ba)y
ab
ab
m
a2a2
比较对应的系数可得:
ba
5
,解得
:
b3或b3
ab
6
m1m1
5y6能分解因式,并分
mx
o
2
2例17、
(1)当m为何值时,多项式x
解此多项式。
•••当m1时,原多项式可以分解;
当m1时,原式=(xy2)(xy3);
当m1时,原式=(xy2)(xy3)
(2)分析:
x3ax2bx8是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如xc的一次二项式。
解:
设x
3ax2bx8=(x
1)(x
2)(xc)
则x
3ax2bx8=x3
(3
c)x2(2
3c)x2c
a3c
a7
•••b23c
解得
b14,
2c8
c4
•ab=21
练习17、
(1)
分解因式x23xy
10y2
x9y
2
(2)
分解因式x23xy
2y2
5x7y
6
(3)
2
已知:
x2xy
3y2
6x14y
p能分解成两个一次因式
之积,求常数p并且分解因式。
(4)
k为何值时,x2
2xy
ky23x
5y2能分解成两个一次
因式的乘积,并分解此多项式。
第二部分:
习题大全经典一:
一、填空题
式。
3
2分解因式:
m-4m=.
22
3、分解因式:
x-4y=.
2
4、分解因式:
x4x4=
5、将xly"分解因式的结果为(x?
+y)(x+y)(x-y),贝Un的值
为.
6、若xy5,xy6,则x2yxy2=2x22y2=。
二、选择题
7、多项式15m3n25m2n20m2n3的公因式是()
A、
5mnb、5m2n2C
5m2n
D、5mn2
8、
下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()
a3a3a29
a2b2abab
A、
B、
3
2
m2m3mm2
C、
a4a5aa45
D、
m
10.
下列多项式能分解因式的是(
)
22_222
(A)x-y(B)x+1(C)x+y+y(D)x-4x+4
11
2
•把(x—y)—(y—x)
分解因式为(
)
A.
(x—y)(x—y—1)
B.
(y—x)
(X—y—1)
C.
(y—x)(y—x—1)
D.
(y—x)
(y—x+1)
12•下列各个分解因式中正确的是()
222
A•10abc+6ac+2ac=2ac(5b+3c)
222
B.(a—b)—(b—a)=(a—b)(a—b+1)
C.x(b+c—a)—y(a—b—c)—a+b—c=(b+c—a)(x+y—1)
D.(a—2b)(3a+b)—5(2b—a)2=(a—2b)(11b—2a)
k应为()
2
13.若k-12xy+9x是一个完全平方式,那么
—22
A.2B.4C.2yD.4y
三、把下列各式分解因式:
五、解答题
20、如图,在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中,挖去一个边长
b=3.33cm的正方形。
求纸片剩余部分的面积。
d45cm,外径D75cm长I3m。
利用分解因式计算浇制一节这样
的管道需要多少立方米的混凝土?
(
⑴x21x1x1
⑵x41x21x1x1
⑶x81x41x21x1x1
⑷x161x81x41x21x1x1
⑸
1.通过基本思路达到分解多项式的目的
例1.分解因式x5x4x3x2x1
分析:
这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把
x5x4x3和x2x1分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取
公因式后,再进一步分解;也可把x5x4,x3x2,x1分别看成一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。
解一:
原式(x5x4x3)(x2x1)
322
x(xx1)(xx1)
32
(x1)(x2x1)
22
(x1)(x2x1)(x2x1)
解二:
原式=(x5x4)(x3x2)(x1)
x4(x1)x2(x1)(x1)
(x1)(x4x1)
(x1)[(x42x21)x2]
22
(x1)(xx1)(xx1)
2.通过变形达到分解的目的
例1.
分解
因式x3
3x
24
解一:
将3x2拆成
2x2
2
x,
则有
原式
3x
2x2
(x2
4)
2x
(x2)
(x
2)(x
2)
(x
2)(x2
x
2)
(x
1)(x
2)2
解二:
将常数4拆成13,则有
原式x31(3x23)
(x1)(x2x1)(x1)(3x3)
2
(x1)(x4x4)(x1)(x2)2
3.在证明题中的应用
例:
求证:
多项式(x24)(x210x21)100的值一定是非负数
分析:
现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数。
证明:
(x24)(x210x21)100
(x
2)(x
2)(x
3)(x
7)
100
(x
2)(x
7)(x
2)(x
3)
100
(x2
5x
14)(x2
5x
6)
100
设yx25x,则
原式(y14)(y6)100y28y16(y4)2
无论y取何值都有(y4)20
(x24)(x210x21)100的值一定是非负数
4.因式分解中的转化思想
例:
分解因式:
(a2bc)3(ab)3(bc)3
分析:
本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观察a+2b+c的关系,努力寻找一种代换的方法。
解:
设a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B
原式(AB)3A3B3
322333
A3AB3ABBAB
22
3A2B3AB2
3AB(AB)
3(ab)(bc)(a2bc)
说明:
在分解因式时,灵活运用公式,对原式进行“代换”
中考点拨
例1.在ABC中,三边a,b,c满足a216b2c26ab
求证:
ac2b
222
a+b,b+c与
是很重要的。
10bc0
证明:
a16bc6ab10bc0
22
即(a3b)(c5b)0
(a8bc)(a2bc)0a