完整版因式分解的常用方法方法最全最详细.docx
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完整版因式分解的常用方法方法最全最详细
因式分解的常用方法
第一部分：
方法介绍
因式分解：
因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主
要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等
因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，
可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：
将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
、提公因式法.:
ma+mb+mc=m（a+b+c）
、运用公式法•
222
（ab）（bc）（ca）0
三、分组分解法•
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
amanbmbn
分析：
从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公
式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：
原式=（am
an）
n）
（bmb（mn
bn）
■
每组之间还有公因式!
=a（m
）
=（m
n）（a
b）
例2、
分解因式
2ax
10ay5by
bx
解法一：
第一、二项为
•组；
解法二：
第一、四项为一组；
第三、四项为-
一组。
第二、三项为一组。
解
:
原
式
=
（2ax1
0ay）
（5by
bx）原
=（2axbx）
（10ay
5by）
=2a（x5y）
b（x
5y）
=x（2a
b）5y（2ab）
=（x
5y）（2a
b）
=（2a
b）（x5y）
练习：
分解因式
2
1、a
ab
acbc
2、
xyxy1
（二）
分组后能直接运用公式
例3、
分解因式
2x
2
y
axay
式
分析：
若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解:
原式：
=（x2
y2）
（ax
ay）
=（x
y）（x
y）
a（xy）
=（x
y）（x
ya）
例4、分解因式：
2a
2ab
b2
2c
解:
原式：
=（a2
2ab
b2）
2c
=（a
b）2
2c
=（abc）（abc）
综合练习：
（1）
3x
223
xyxyy
（2）
2ax
bx2bx
axab
（3）
2
x
6xy
22
9y16a8a1
（4）
2a
6ab12b
9b24a
（5）
4a
2a3
2a
9
（6）
4a2
x4a2y
.2.2
bxby
（7）
2
x
2xy
xz
2
yzy
（8）
2a
2ab22b2ab1
（9）
y（y
2）
（m
1）（m1）
（10）（a
c）（ac）
b（b2a）
（
11
）
a2（b
c）b2（ac）
c2（a
b）
2abc
（12）
3a
b3
c3
3abc
四、十字相乘法•
（一）二次项系数为1的二次三项式
2
直接利用公式x（pq）xpq（xp）（xq）进行分解。
特点：
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）—次项系数是常数项的两因数的和。
思考：
十字相乘有什么基本规律？
例.已知0vaW5，且a为整数，若2x23xa能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.
解析：
凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求b24ac>0而且是一个完全平方数。
于是98a为完全平方数，a1
2
例5、分解因式：
x5x6
分析：
将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2X3=（-2）x（-3）=1X6=（-1）x（-6），从中可以发现只有2X3
的分解适合，即2+3=5。
12
22
解：
x5x6=x（23）x2313
=（x2）（x3）1X2+1X3=5
用此方法进行分解的关键：
将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数
的代数和要等于一次项的系数。
（-1）+（-6）=-7
（三）二次项系数为1的齐次多项式
29
例8、分解因式：
a8ab128b
分析：
将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相
乘法进行分解。
1><8b
1-16b
8b+（-16b）=-8b
解：
a28ab128b2=a2[8b（16b）]a8b（16b）
=（a8b）（a16b）
22
练习8、分解因式
（1）x3xy2y
2222
（2）m6mn8n（3）aab6b
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
综合练
乐习
10、（1
）8x67x31
（2）
12x2
11xy
15y2
（3）
（x
y）2
3（xy）10
（4）（a
b）2
4a
4b3
（5）
2
xy
25x2
y6x2
2
（6）m4mn
4n2
3m
6n2
（7）
x2
4xy
4y22x4y
3（8）5（ab）2
23（a2
b2
）10（a
b）2
（9）
4x2
4xy
6x3yy2
10（10）12（xy）2
!
11（x
2
y
2）2（x
y）2
思考:
分解
乍因式：
abcx2（a2b2
c2）xabc
五、换元法。
（1）、换单项式
632
例1分解因式x+14xy+49y.
分析：
注意到x6=（x3）［若把单项式x3换元，设x3=m，则x6=m2,
原式变形为
+7y）
22
m+14my+49y=（m+7y）
（2）、换多项式
222
例2分解因式（x+4x+6）+（x+6x+6）+x.
分析：
本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分
_一2一22、一换元，设x+6=m，贝Ux+4x+6=m+4x，x+6x+6=m+6x，原式变形为
222222
（m+4x）（m+6x）+x=m+10mx+24x+x=m+10mx+25x
222
=（m+5x）=（x+6+5x）
222
=[（x+2）（x+3）]=（x+2）（x+3）.
以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”•当
然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元
22
法”.比如，设x+4x+6=m，贝Ux+6x+6=m+2x，原式变形为
22222222
m（m+2x）+x=m+2mx+x=（m+x）=（x+4x+6+x）=（x+5x+6）
222
=[（x+2）（x+3）]=（x+2）（x+3）.
另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被
1称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算.对于本例，设m=-
22222
[（x+4x+6）+（x+6x+6）]=x+5x+6，贝Ux+4x+6=m-x,x+6x+6=m+x,
22222222
（m+x）（m-x）+x=m-x+x=m=（x+5x+6）=[（x+2）（x+3）]
22
=（x+2）（x+3）.
例3分解因式（x-1）（x+2）（x-3）（x+4）+24.
分析：
这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，
2
使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组，最高项都是x，常数项
不相等，所以只能设法使一次项相同.因此，把（x-1）（x+2）（x-3）（x+4）分组
22
为[（x-1）（x+2）][（x-3）（x+4）]=（x+x-2）（x+x-12），从而转化成例2形式加以解决.
1222
我们采用“均值换元法”，设m=2[（x+x-2）+（x+x-12）]=x+x-7，则
22、一
x+x-2=m+5,x+x-2=m-5，原式变形为
2222（m+5）（m-5）+24=m-25+24=m-仁（m+1）（m-1）=（x+x-7+1）（x+x
-7-1）
222
=（x+x-6）（x+x-8）=（x-2）（x+3）（x+x-8）.
（3）、换常数
2
例1分解因式x（x+1）-2003X2004X.
分析：
此题若按照一般思路解答，很难奏效•注意到2003、2004两
个数字之间的关系，把其中一个常数换元•比如，设m=2003，则2004=m+1.于是，原式变形为
222
x（x+1）-m（m+1）x=x[x（x+1）-m（m+1）]=x（x+x-m-m）
22
=x[（x-m）+（x-m）]=x[（x+m）（x-m）+（x-m）]=x（x-m）（x+m+1）=x（x-2003）（x+2003+1）=x（x-2003）（x+2004）.
22
例13、分解因式
（1）2005x2（200521）x2005
2
（2）（x1）（x2）（x3）（x6）x
22
解：
（1）设2005=a，则原式=ax（a1）xa
=（ax1）（xa）
=（2005x1）（x2005）
（2）型如abede的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
222
原式=（x7x6）（x5x6）x
22
设x5x6A，则x7x6A2x
•••原式=（A2x）Ax2=A22Axx2
=（Ax）2=（x26x6）2
2
练习13、分解因式
（1）（x
xy
22
y）
4xy（x2
y2）
（2）
（x2
3x
2）（4x
28x3）
90
（3）
（a2
1）2
（a2
22
5）4（a
3）
432
例14、分解因式
（1）2xx6xx2
观察：
此多项式的特点一一是关于仝的降幕排列，每一项的次数依次少1，
并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：
提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
22112211
解：
原式=x（2xx62）=x2（x2）（x）6
xxxx
•••原式
设x
2=x
1
x
2（t
t,则x2
1
2
x
6=x2
t2
2t2
2
22；
）t
t
10
2=x
2t
5t
2=
x22x2
5
1
x—
2
x
x
=x•
•2x
2
5x•
1
-x—
2:
=2x
25x
2x2
x
x
=（x
1）
2（2x
1）（x
2）
（2）
x
44x3
x2
4x
1
解:
原式
2=x
（x2
4x
1-
4）;
2
=x
2x
1
2
4x
x
x
x
设x
1
y，
则x
21
2
2
-y
2
x
x
••原式
2=x
（y2
4y
3）=
x2（y
1）（y
3）
2=x
（x
1
1）（x
-3）=x2
x
1x2
3x1
x
x
练习
14
、
（1）
6x
47x3
36x2
7x
6
（2）
4x
2‘
2xx1
2（x
x2）
2x
1
x
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式
（1）x33x24
解法
1——
拆项。
解法
2—
添项。
原式
3=x
13x2
3
原式=
3：
x
3x2
4x
4x
4
=
（x
1）（x2x
1）
3（x
1）（x1）
=
x（x：
23x
4）
（4x
4）
=
（x
1）（x2x
1
3x
3）
=
x（x
1）（x
4）
4（x
1）
=
（x
1）（x24x
4）
=
（x
1）（x2
4x
4）
=
（x
1）（x2）2
=
（x
1）（x
2）2
963
（2）xxx3
963
解：
原式=（x1）（x1）（x1）
6
=（x1）（xx1）（x1）（x1）（x1）
6
=（x1）（xx1x11）
263
=（x1）（xx1）（x2x3）
练习
15、
分解因式
（1）
3x
9x
8
（2）
（x1）4
（x2
1）2（x
1）4
（3）
4x
7x2
1
（4）
x4x2
2ax
1a2
（5）
4x
4y
（xy）4
（6）
2a2b2
2a2c2
2b2c2
a4b4c4
例16、分解因式x2分析：
原式的前3项必定可分为解：
设
•/（x
七、待定系数法。
Q2
（2）如果xax
bx8有两个因式为
x
1和x2，求a
b的值
（1）分析：
前两项可以分解为
（x
y）（x
y）
故此多项式分解的形式必
为（xy
a）（x
y
b）
解：
设x2
2
ymx
5y6
=（x
y
a）（x
yb）
则x2
2
ymx
5y6
2=x
2
y
（a
b）x（ba）y
ab
ab
m
a2a2
比较对应的系数可得：
ba
5
，解得
:
b3或b3
ab
6
m1m1
5y6能分解因式，并分
mx
o
2
2例17、
（1）当m为何值时，多项式x
解此多项式。
•••当m1时，原多项式可以分解；
当m1时，原式=（xy2）（xy3）;
当m1时，原式=（xy2）（xy3）
（2）分析：
x3ax2bx8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如xc的一次二项式。
解:
设x
3ax2bx8=（x
1）（x
2）（xc）
则x
3ax2bx8=x3
（3
c）x2（2
3c）x2c
a3c
a7
•••b23c
解得
b14,
2c8
c4
•ab=21
练习17、
（1）
分解因式x23xy
10y2
x9y
2
（2）
分解因式x23xy
2y2
5x7y
6
（3）
2
已知：
x2xy
3y2
6x14y
p能分解成两个一次因式
之积，求常数p并且分解因式。
（4）
k为何值时，x2
2xy
ky23x
5y2能分解成两个一次
因式的乘积，并分解此多项式。
第二部分：
习题大全经典一:
一、填空题
式。
3
2分解因式：
m-4m=.
22
3、分解因式：
x-4y=.
2
4、分解因式：
x4x4=
5、将xly"分解因式的结果为（x?
+y）（x+y）（x-y），贝Un的值
为.
6、若xy5，xy6，则x2yxy2=2x22y2=。
二、选择题
7、多项式15m3n25m2n20m2n3的公因式是（）
A、
5mnb、5m2n2C
5m2n
D、5mn2
8、
下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）
a3a3a29
a2b2abab
A、
B、
3
2
m2m3mm2
C、
a4a5aa45
D、
m
10.
下列多项式能分解因式的是（
）
22_222
（A）x-y（B）x+1（C）x+y+y（D）x-4x+4
11
2
•把（x—y）—（y—x）
分解因式为（
）
A.
（x—y）（x—y—1）
B.
（y—x）
（X—y—1）
C.
（y—x）（y—x—1）
D.
（y—x）
（y—x+1）
12•下列各个分解因式中正确的是（）
222
A•10abc+6ac+2ac=2ac（5b+3c）
222
B.（a—b）—（b—a）=（a—b）（a—b+1）
C.x（b+c—a）—y（a—b—c）—a+b—c=（b+c—a）（x+y—1）
D.（a—2b）（3a+b）—5（2b—a）2=（a—2b）（11b—2a）
k应为（）
2
13.若k-12xy+9x是一个完全平方式，那么
—22
A.2B.4C.2yD.4y
三、把下列各式分解因式：
五、解答题
20、如图，在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长
b=3.33cm的正方形。
求纸片剩余部分的面积。
d45cm，外径D75cm长I3m。
利用分解因式计算浇制一节这样
的管道需要多少立方米的混凝土？
（
⑴x21x1x1
⑵x41x21x1x1
⑶x81x41x21x1x1
⑷x161x81x41x21x1x1
⑸
1.通过基本思路达到分解多项式的目的
例1.分解因式x5x4x3x2x1
分析：
这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把
x5x4x3和x2x1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取
公因式后，再进一步分解；也可把x5x4，x3x2，x1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：
原式（x5x4x3）（x2x1）
322
x（xx1）（xx1）
32
（x1）（x2x1）
22
（x1）（x2x1）（x2x1）
解二：
原式=（x5x4）（x3x2）（x1）
x4（x1）x2（x1）（x1）
（x1）（x4x1）
（x1）[（x42x21）x2]
22
（x1）（xx1）（xx1）
2.通过变形达到分解的目的
例1.
分解
因式x3
3x
24
解一:
将3x2拆成
2x2
2
x，
则有
原式
3x
2x2
（x2
4）
2x
（x2）
（x
2）（x
2）
（x
2）（x2
x
2）
（x
1）（x
2）2
解二：
将常数4拆成13，则有
原式x31（3x23）
（x1）（x2x1）（x1）（3x3）
2
（x1）（x4x4）（x1）（x2）2
3.在证明题中的应用
例：
求证：
多项式（x24）（x210x21）100的值一定是非负数
分析：
现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：
（x24）（x210x21）100
（x
2）（x
2）（x
3）（x
7）
100
（x
2）（x
7）（x
2）（x
3）
100
（x2
5x
14）（x2
5x
6）
100
设yx25x，则
原式（y14）（y6）100y28y16（y4）2
无论y取何值都有（y4）20
（x24）（x210x21）100的值一定是非负数
4.因式分解中的转化思想
例：
分解因式：
（a2bc）3（ab）3（bc）3
分析：
本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：
设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B
原式（AB）3A3B3
322333
A3AB3ABBAB
22
3A2B3AB2
3AB（AB）
3（ab）（bc）（a2bc）
说明：
在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”
中考点拨
例1.在ABC中，三边a,b,c满足a216b2c26ab
求证：
ac2b
222
a+b，b+c与
是很重要的。
10bc0
证明：
a16bc6ab10bc0
22
即（a3b）（c5b）0
（a8bc）（a2bc）0a
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