数学课堂教学设计研究.docx
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数学课堂教学设计研究
数学课堂教学设计研究
人民教育出版社中学数学室 章建跃
一、教育观与教学设计
众所周知，我国数学课程一直都在改革，数学教育的观念、课程、教材、教学、评价等的变革一刻也没有停止过。
实际上，教育需要随着社会发展对人才需求的变化而不断进行改革。
改革开放之初，百废待兴，提出的发展思路是有重点地发展：
科技发展“有所为有所不为”，经济发展“一部分人先富起来”，办经济特区，追求GDP的高速增长。
与此相适应，在教育上，提出加速培养高层次的、急需的人才，办重点中学、重点大学。
在评价一个学校、一个老师的时候，基本上是升学率作为唯一的指标。
这样的发展思路，从当时的环境、条件来看是正确而有效。
但是随着改革的深入，逐渐暴露出它的问题，即这种发展观不全面，经济发展了，物质生活好了，但环境被破坏了，资源被浪费、消耗了，是一种“竭泽而渔”式的发展。
这种状况已经到了相当严重的地步。
于是，现在提出“科学的发展观”，强调人与自然的和谐发展，强调全面、可持续发展。
对于教育来讲，则要构建学习型社会，强调人的终身学习与发展。
一段时间以来，为了追求升学率，教学中不惜加班加点，搞机械重复训练，消耗学生大量的时间、精力和体力，牺牲学生其它的兴趣爱好。
这种做法在短时间内能够提高考试分数，但学生的心理健康、知识结构、能力结构乃至道德水平等都出现或多或少的问题，而且缺乏发展后劲。
中学（特别是重点中学）的升学率显然是一个重要的指标，就像经济建设中的GDP指标一样。
但社会发展到今天，基础教育的性质在发生变化，由“双重任务”演变为“提高国民素质、面向大众”，“为学生的终身发展奠定基础”的教育。
所以，树立以学生为本的教育观是时代发展的要求。
以学生为本的教育观，本质与核心是“以学生的发展为本”，而且应当是全面的、和谐的、可持续的发展。
这就要求教师在教学中，不仅要看到所教的学科知识，而且要看到相应的知识在学生发展中起什么作用，在提高人的知识水平的同时，提高他的素质，丰富他的精神世界。
“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想，对教师的专业化水平提出了高要求。
只以升学率为评价指标时，教师可以只考虑如何提高考试分数，许多老师的做法是，从各种参考书上选一些题目，编辑起来，让学生去练习。
其中虽有很多“功夫”，例如题目与高考的要求是否适应等，但从“全面”“和谐”“可持续”的要求来看，差距不言而喻。
在“以学生为本”教育观下，对教学质量的内涵要有与时俱进的认识，即要把学生得到全面、和谐、可持续发展作为衡量教学质量的根本标准。
另外，为了体现以学生的发展为本，就要研究学生的身心发展规律，思考学习与发展的关系，研究学生是如何学习的，等等。
对于课堂教学，只有经过精心设计的教学对学生的发展才会产生优质、高效的促进作用。
二、教学设计的内涵
教学设计就是为达到教学目标，教师对课堂教学的过程与行为所进行的系统规划。
主要解决两个问题：
（1）教什么：
教学目标的设计，包括显性目标和隐性目标。
基于对教学内容、学生情况的分析。
（2）怎样教：
教学手段的选择、教学过程的设计。
基于对教学资源、学生和教师自身情况的分析。
教学为什么要设计？
有许多理由，但下面两点大概是最重要的。
1．由学校教育的性质决定的。
我们知道，学校教育的目的是使学生的身体和心理获得发展。
心理发展包括智力发展和个性特征（情感、意志、性格等）的发展。
智力发展包括观察力、记忆力、想象力、思维力的发展，其中最主要的是学生思维能力的发展。
就智力发展而言，只有科学的、规律性的知识和有目的、有计划、有指导的启发式教学，才能真正产生作用。
无数事实证明，学生智力的发展，既不能脱离科学的、系统的知识传授和技能训练，又必须在传授知识和训练技能中有意识地加以培养。
掌握“双基”与发展智力是密切相关但又不是同步的，教学中必须有意识地把发展智力（核心是发展思维能力）作为重要任务。
也就是说，学生智力的发展是在“双基”教学中经过有意识培养而实现的。
这里，“有意识”的含义就是“教学需要设计”。
顺便提及，正因为学生的智力发展需要有意识地培养，所以教师在教学中的主导作用是不能否定的。
把教师定位在“数学活动的组织者、引导者、合作者”，否定了教师的主导地位，是不正确的。
2．实现教学过程科学化的需要，其深层次的目的就是提高教学质量和效益──使学生以尽量少的投入（时间、精力等），获得尽量多的收获。
教学过程科学化体现了对教师的专业化要求，这就是说，就像医生看病开处方、律师开业打官司一样，当教师也是需要专门的职业训练、有特殊的职业要求的。
会加减乘除就可以教数学的现象是不能允许的。
对教学设计的专门要求是教师专业化的重要体现。
如何提高教学质量和效益？
实践中的偏差是：
视学生为被动接受的容器，无视学生接受能力而任意拔高教学要求，片面加大知识传授的总量，以此作为学生学习收获的增值途径。
但是，任意拔高要求，搞注入式教学，只能导致学生死记硬背，学习效果不会好，因此也就谈不上什么学习效益了。
更何况教学目标不仅是知识，还有思维、能力、理性精神等其他东西。
教学设计的基础是对学生如何学习的准确把握。
在研究学生知识、技能、思维、能力等是如何发展的问题时，除了认真考察知识、能力等的内涵外，必须深入考察它们是如何被学生获得的，即要对“学什么”和“如何学”这两个问题进行科学分析。
三、关于教学目标的思考
我们知道，教学目标是教学目的的系统化、具体化，是教学活动每一阶段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的标准。
因此，教学目标几乎成了全部教学设计的依据，其地位是相当重要的。
从前面的论述可以看到，准确制定教学目标是提高教学质量和效益的前提，教学目标应当全面、合理，要体现个性差异。
另外，既然是一种“质量标准”，那么教学目标必须是可观测的。
对于教学目标问题，国内外都有大量研究。
如布鲁姆、加涅等的研究都非常著名。
从有利于指导教学的角度考虑，我们认为将教学目标按层级分类是比较合适的：
第一层级，主成分以记忆因素为主要标志，培养的是以记忆为主的基本能力，目标测试应当看基本事实、方法的记忆水平，标准是：
获得的知识量以及掌握的准确性。
第二层级，主成分以理解因素为主要标志，培养的是以理解为主的基本能力，目标测试看能否顺利地解决常规性、通用性问题，包括能否满意地解决综合性问题。
这里，解决问题的前提是理解，是对知识的实质性领会以及经过自己的检验因而具有广泛迁移性的领会。
标准是：
运用知识的水平，如正确性、灵活性、敏捷性、深刻性等。
第三层级，主成分以探究因素为主要标志，培养的是以评判为主的基本能力，目标测试看能否对解决问题的过程进行反思，即检验过程的正确性、合理性及其优劣。
标准是思维的深刻性、批判性、全面性、独创性。
数学教学目标应当反映数学学科特点。
为了使目标更加具体、实用，应当结合当前的教学内容陈述教学目标，阐述清楚经过教学，学生将会有哪些变化，会做哪些以前不会做的事，以使目标成为有效教学的依据，防止教学中的“见木不见林”，同时为检查学习效果提供依据。
例如：
在探索直线与平面垂直的位置关系的过程中，掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，体会几何推理证明的思考方法、基本规则和严谨性，发展空间想象力和逻辑思维能力；
在掌握用图解法求最优解的基本方法的过程中，体会线性规划的基本思想，培养数学应用意识。
下面从对比的角度再看两个例子。
例1理解函数单调性概念。
这一陈述中，“理解”的含义不清，难以作为判断学生是否已经“理解”的标准。
实际上，“理解”的基本含义是学生能用概念作出判断。
因此可以改述为：
能给出增函数、减函数的具体例证和图象特征；能用函数单调性定义判断一个函数的单调性。
在教学目标的陈述中，“了解”“理解”“掌握”“灵活应用”的区分并不容易，需要教师经过较长时间有意识的经验积累。
例2掌握一元二次方程根的判别式。
这个陈述中，没有对“掌握”的内涵给出具体界定，容易引起歧义。
例如会陈述判别式还是能写出具体方程的判别式？
是否对判别式的来龙去脉要清楚？
等等。
用判别式判断一个含字母系数的一元二次方程的解的情况（综合应用）与用判别式判断一个具体方程是否有解（单一应用）是不一样的。
一般地，对于根的判别式这样的重要数学概念，应当对目标进行分解。
例如可以作如下表述：
（1）在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，掌握判别式的结构和作用；
（2）能用判别式判断一个一元二次方程是否有解；
（3）能用判别式讨论一个含字母系数的一元二次方程的解；
（4）能灵活应用判别式解决其他情境中的问题。
数学教学科学化，从制定教学目标上看，一要全面，二要具有可操作性。
这是建立在对教学内容、学生数学学习规律的准确把握基础上的，需要有对细节的不断追求。
制定目标的水平是衡量教师专业化水平的重要标志。
从当前的实际情况看，许多教师对自己所教的数学内容并没有一个清晰的“目标分类细目结构图”，有的甚至对数学知识结构图也是模糊不清的。
简言之，教师的数学素养和对数学教材的理解水平都有很大的提高空间，这是提高教师素质急需解决的问题。
当前，一个值得注意的问题是，教学目标“高大全”，一堂数学课所承载的目标太重。
有的甚至是“假大空”，目标“远大”、空洞，形同虚设。
例如：
培养学生的数学思维能力和科学的思维方式；
培养学生勇于探索、创新的个性品质；
体验数学的魅力，激发爱国主义热情；等等。
四、教学设计的基本原则
教学涉及可以区分为立足于教师主导为主的设计和立足于学生自主活动为主的设计。
无论是哪种设计，都需要遵循如下一些原则。
1．激发动机与兴趣──情意原则。
如何组织和指导学生，才能使他们以最大的热情、最佳的精神状态投入数学学习？
这是一个需要认真考虑的问题。
激发动机与兴趣是一个老生常谈的问题，老师们常常觉得“没招”。
这个问题的解决，如下三个方面值得关注：
（1）问题性：
创设问题情境，以问题引导学习，形成认知冲突，激发求知欲，激活思维。
同时，通过“追问”等方式，使学生的这种心理倾向保持在一个适度状态。
（2）思维最近发展区内的学习任务：
采取有步骤地设置思维障碍等方法，铺设恰当的认知阶梯，呈现与学生思维最近发展区相适应的学习任务，可以激发学生的学习热情。
不过，一个班级那么多学生，学习基础千差万别，设置的学习任务要适应个别差异，也是一个难题，需要教师的智慧。
上述两方面有内在联系。
提问的关键是要把握好“度”，要做到“导而弗牵，强而弗抑，开而弗达”。
这是课堂教学的关键，也是衡量教师教学水平的关键之一。
（3）使用“反馈──调节”机制：
学习任务难易不当，都不利于学生保持高水平学习热情。
应通过教学反馈，及时发现问题，通过调整设问方式，增加提示信息或进一步设置障碍等方法调整学习任务的难度。
例3“三角函数诱导公式”教学中几种提问的比较。
（1）你能利用圆的几何性质推导出三角函数的诱导公式吗？
（2）α的终边、α+180°的终边与单位圆的交点有什么关系？
你能由此得出sinα与sin（α+180°）之间的关系吗？
（3）我们可以通过查表求锐角三角函数值，那么，如何求任意角的三角函数值呢？
能否将任意角的三角函数转化为锐角三角函数？
（4）问题情境：
三角函数与（单位）圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系。
圆有很好的对称性：
以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径为对称轴的轴对称图形。
你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论一下终边与角α的终边关于原点、x轴、y轴以及直线y=x对称的角与角α的关系以及它们的三角函数之间的关系？
问题
（1）过于宽泛，没有对“圆的几何性质”与“三角函数”两者的关系作任何说明，指向不明，学生“够不着”；
问题
（2）过于具体，学生只要按照问题提出的步骤进行操作就能获得答案，思考力度不够；
问题（3）与当前学习任务没有关系，“功利”而且肤浅，没有思想内涵，与诱导公式的本质相去甚远，不能导致探究诱导公式的思维活动。
问题（4）体现了如下特点：
从沟通联系、强调数学思想方法的角度出发，在学生思维的“最近发展区”内，提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题，所以具有适切性、联系性、思想性，可以直接导致学生探究、发现诱导公式的思维活动。
2．教学内容结构化，保持思想方法的一致性──结构原则。
结构化教学内容具有如下特点：
（1）核心知识（基本概念及由内容所反映的数学思想方法）为联结点，精中求简，易学、好懂、能懂、会用，能切实减轻学生负担；
（2）形成概念的网络系统，联系通畅，便于记忆与检索；
（3）具有自我生长的活力，容易在新情境中引发新思想和新方法。
有上述理由，所以在考虑课程、教材和教学改革时，“结构化”值得关注。
在教学设计中，专家教师与新手教师的重要差别在于教学内容的组织。
优秀教师通过深入钻研大纲、教材，对教材的整体把握准确，对各部分内容的地位及其内在逻辑关系了如指掌，他们对数学问题的深层结构很敏感，他们习惯于按问题答案所涉及的数学概念、原理对问题进行分类；他们掌握并善于运用能揭示知识本质的典型材料，能从学生的现状出发重新组织教材，能自然地将学过的知识融入新情景，以旧引新，以新固旧。
在对学生进行“双基”训练时也是紧紧围绕这种逻辑关系，有计划地设置障碍，使知识得到前后呼应。
总之，优秀教师能根据教材和学生特点，使课堂教学呈现精当的层次序列（优秀教师的这种能力，显然是以他的学科功底、教育心理理论修养以及教学经验的积累为基础的）。
所以，知识结构化是教学设计应遵循的一个重要原则。
根据结构化原则，教学设计中应当做到：
（1）教学目标明确，削支强干，重点突出，集中精力于核心内容。
（2）教学内容安排注重层次结构，张弛有序，循序渐进。
由浅入深，由易到难，先简后繁，先单一后综合。
（3）每堂课都围绕一个中心论题而展开和深化，精心组织相关的数学成分，使相应的核心概念或重要思想成为一个有机整体，相关的数学术语、定义、符号、概念、技能等因素都得到仔细的展开；课与课之间建立精当的序列关系，保持知识的连贯性，思想方法的一致性。
易错、易混淆的问题有计划地复现和纠正，使知识得到螺旋式的巩固和提高。
例4，平面向量的结构化设计。
我们知道，位置是空间最基本原始的概念。
空间中由A到B的有向线段
就是A，B两点所标记的两个位置之间的差别的具体化描述。
位移向量（自由向量）则是一个将这种“位置差别”加以定量化的基本几何量，其本质内涵是
的方向与长度，也就是当两个有向线段为同向平行且相等时，两者所表达的位移向量定义为相等。
与物理学中的位移合成类似，在此基础上，可以通过位移向量的合成定义向量的加法。
与数及其运算类似，在定义向量的加法的基础上，可以定义向量的减法和数乘运算。
从几何角度考察向量运算，则有如下结果：
一个点A、一个方向e可以定性刻画一条直线；引进向量数乘运算ke，那么直线上每一个点X就可以定量表示为k1e；
一个点A、两个不平行的方向e1，e2在“原则”上确定了平面（定性刻画）；引入向量的加法运算e1+e2，那么平面上每一个点X就可以定量表示为k1e1+k2e2。
同样地，引进向量的数量积的定义
a·b=|a|·|b|·cosα，
几何中讨论的长度、角度、面积等就转化为对向量的表达和运算。
另一方面，从代数的角度考虑，引进一个量及其运算就自然要考察其运算律。
而从对运算律的几何含义的考察中发现，空间的基本性质和几何的基本定理都能有系统地转换成向量代数中的运算律。
例如：
向量加法的定义植根于空间的平行性。
在欧氏几何中，关于平行的基本定理就是平行四边形各种特征性质之间的转换，而平行四边形定理所转换而得者，就是向量加法的交换律；
相似放缩是欧氏空间的特色，这也就是向量的数乘运算的来源。
而关于相似形的基本定理，即相似三角形定理，用向量数乘运算来表达就是数乘分配律；
关于长度和角度的基本定理，即勾股定理和余弦定理，可以用向量的数量积来有效地计算，而数量积本身又有一套十分简明有力的运算律，特别是分配律。
“本质上，数量积的分配律是勾股定理的提升和精简所得，也可以说是勾股定理代数化的最佳形式”。
根据上述分析，我们可以这样来构建平面向量教学的结构系列：
（1）借助位移、有向线段引入向量概念；
（2）借助位移的合成定义向量的加法运算，再类比数的减法、乘法运算引进向量的减法运算和数乘运算；
（3）考察向量运算的几何意义，运算律及其几何含义；
（4）从度量长度、角度等的需要出发，引入向量的数量积概念，考察其几何意义，运算律；
（5）与解析法建立联系，考察向量的分解（平面向量基本定理）及坐标表示，并考察在坐标表示下的一些基本问题（向量运算的坐标表示，向量度量关系的坐标表示，等等）。
概念是知识结构化的关键。
概念按照从具体形象到表象再到抽象的等级排列，概念的拥有量、抽象水平以及使用概念的灵活性是一个认知行为的基本要素。
可以说，课堂教学是形成概念序列的思维活动。
因此，从结构化角度加强概念教学，使学生形成逻辑关系清晰、联系紧密的概念序列，对于掌握知识、发展能力是至关重要的。
下列做法值得关注：
（1）概念教学遵循从具体到抽象的原则，采取“归纳式”，让学生经历从典型、丰富的具体事例中概括概念本质的活动，而不是给出概念定义，举例说明，练习巩固；
（2）正确、充分地提供概念的各种变式；
（3）适当应用反例，罗列一些似是而非、容易产生错误的对象让学生辨析，是促进学生认识概念的本质、确定概念的外延的有效手段；
（4）在概念的系统中学习概念，使学生有机会从不同角度认识概念，建立概念的“多元联系表示”，这不仅便于发挥知识的结构功能，使概念具有“生长活力”，有益于知识的获得、保持和应用，而且对发展学生的概括能力有特殊意义；
（5）精心设计练习，在应用中强化概念间的联系，巩固概念网络，加深概念理解。
3．“两个过程”有机整合，精心设计概括过程──过程原则。
“两个过程”就是数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程。
改进教师的教学方式和学生学习方式是时代发展的要求。
把改革的基点放在使全体学生都能独立思考上，使讲授式教学与活动式教学相结合，接受式学习和发现式学习相结合，形成互补，从而使学生被动接受的局面得到改变。
这里，“结合”“互补”都是在“两个过程”的有机整合中，不断引导学生的概括活动实现的。
贯彻过程原则，必须做好两个还原。
第一个是还原知识的原发现过程，这就要求我们在教学设计中思考数学知识结构的建立、推广和发展过程；数学概念的产生过程；解题思路的探索过程；数学思想方法的概括过程；等等。
第二个是学生思维过程的还原，这就要求我们在教学设计中，为学生构建一条“从具体到抽象，由此及彼、由表及里，从个别到一般，从片面到全面”的思维通道。
有了这两个还原，概括过程的主导思路也就明确了，以这条思路为依据设置问题情景，引导学生开展类比、猜想、特殊化和推广等思维活动，使他们经历概括过程。
显然，强调“过程性”的核心是强调教学过程的思想性，使学生在课堂中有高度的思维参与，经历实质性的数学思维过程。
在设计概括过程时，如下措施值得注意：
（1）通过分析“两个过程”，明确概括过程的主导思路，围绕这条思路确定猜想和发现的方案；
（2）在把概括的结论具体化的过程中，推动对概念细节的认识；
（3）通过变式、反思、系统化，建立概念的联系，形成概念体系；
（4）强调类比、特殊化、推广等具有普适性的逻辑思考方法的应用。
具体的，我们可以尝试以科学认识的形成与发展途径为参照设计概括过程：
（1）创设问题情境，引起学生对新知识的注意与思考；
（2）开展观察、试验、类比、猜想、归纳、概括、特殊化、一般化等活动，形成假设；
（3）利用已有知识进行推理论证活动，检验假设，获得新知识，并纳入到已有认知结构中；
（4）新知识的应用，加深理解（理在用中方知妙），建立相关知识的联系，巩固新知识。
例5不等式基本性质的猜想、证明和应用。
知识的发生发展过程：
从等式到不等式；在运算过程中的“不变性”。
思维的过程：
类比等式的基本性质得到关于不等式基本性质的猜想，并以实数大小的基本事实为依据进行推理论证。
因此，概括过程的主导思路是：
类比等式的基本性质猜想不等式的基本性质，以实数大小的基本事实为依据进行证明或证伪。
教学设计思路如下：
（1）引导学生回忆规定实数大小方法（顺序公理，数形结合）；
（2）引导学生认识实数大小的基本事实的本质和作用（实数大小比较归结为统一的与0的大小比较或判断差的符号问题）；
（3）引导学生回忆等式基本性质的获得过程及其基本思想（考察运算中的不变性）；
（4）引导学生类比等式的基本性质提出一些不等式的基本性质的猜想；
（5）尝试用实数大小的基本事实证明性质；
（6）辨析不等式的基本性质（与等式问题比较，考察异同；不同语言表述性质；等等）；
（7）尝试从基本性质出发，得出一些新的结论（如a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；a＞b＞0，则
＞
＞0；等等）；
（8）概括思想方法（与实数性质、等式性质的联系性；在数与运算的系统中考察关于实数大小的基本定理；等等）。
4．强调“反馈—调节”机制的应用，有效监控教学活动──调控原则。
任何有计划的活动都需要有一个调控机制，这样才能使活动目标有效达成，否则是“脚踩西瓜皮，滑到哪里算哪里”。
为了使教学活动维持在最佳状态，追求教学的高效益，“反馈—调节”机制的使用是必须的。
实际上就是通过及时调控，始终使学生在自己的思维“最近发展区”内活动。
在“反馈—调节”机制的使用中，非常重要的是学生自我监控的参与，因此这是一个涉及“元认知”的问题，对于提高学生的数学能力，特别是思维能力是至关重要的。
自我监控能力的培养是一个重要但未被重视的问题。
反馈信息要注重差异，调节则要有意识地采取分化性措施。
在课堂教学设计中，下面几个方面值得考虑：
（1）给不同需求的学生提供不同类别的专门帮助；
（2）布置可选择的作业集合，满足不同学生的不同需求；
（3）认真考虑学生的个人爱好，机智地将其纳入课堂教学。
五、课堂教学结构的选择
在课堂教学设计中，需要根据教学内容和教学条件，选择适当的课堂教学结构。
应当说，课堂教学结构并不能一概而论，原因是教学条件复杂多样，学生之间存在个性差异，教学内容也千差万别。
因此在教育理论研究中，课堂教学结构历来是风格各异、流派纷呈。
不同的教学流派主张的课堂教学结构往往各有千秋。
当前要防止千篇一律的“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的结构模式，应当注意探索教学结构多样化的途径。
从扎实搞好“双基”教学，提高学生数学能力，逐步发展学生探索数学规律的能力，培育理性精神的要求出发，我们认为下面的课堂教学结构具有普适性，它包括有层次的五个环节。
1．创设问题情境，明确学习目标。
以问题为教学的出发点，激发学生的好奇心和学习兴趣，使学生产生“看个究竟”的冲动。
学习目标一定要让学生非常清楚地知道，只有这样才能使学生把握学习方向。
一般的，学习目标中，掌握数学概念的内涵（知识点），领悟概念所反映的数学思想方法，建立相关知识的联系，学会数学地思考与表达等，应当成为基本内容，最重要的是要形成数学的思维方式。
2．指导学生开展尝试活动。
（1）在学习目标的指引下，通过适当的问题引导学生回忆已有的相关知识。
新的学习建立在已有学习基础上。
许多时候，建立已有知识之间的联系就是学习目标。
例如，用向量法研究平面几何问题、解析几何问题，涉及到几何的各种概念，平行、垂直、相似等各种关系，长度、角度、面积、体积等各种度量，以及向量的有关知识，这些都是学生已经具备的，要学习的就是它们之间的联系。
新的学习要成功，不仅要具备前
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