图1图2
A．线段EFB．线段DEC．线段CED．线段BE
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．若扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为__________cm2．
10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m.
11．如图，抛物线yax与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为2
A2,4，B1,1，则关于x的方程ax2bxc0的解为
__________．
n2，n1012．对于正整数n，定义F（n）=，其中f（n）表示n的
f（n），n≥10
首位数字、末位数字的平方和．例如：
F（6）2636，F（123）f123123210．
规定F1（n）F（n）Fk1（n）F（Fk（n））（k为正整数）．例如：
，
F1123F（123）10F（F1（123））F（10）1．23，F21
（1）求：
F2（4）____________，F2015（4）______________；
（2）若F
3m（4）89，则正整数m的最小值是_____________．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
2
13.计算：
120151sin303.14.201
14.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E.求证：
△ACD∽△BCE．
215.已知m是一元二次方程x3x20的实数根，求代数式
B（m1）（m1）1的值．m
16.抛物线y2x平移后经过点A（0,3），B（2,3），求平移后的抛物线的表达式．
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y2x与反比例函数2
yk的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，x
连接BC.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数yk图象上的一点，且满足△OPC与△x
ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
18.如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA
直线CD的垂线，垂足为E．
3
4，BC=8，D是AB中点，过点B作5A
（1）求线段CD的长；
（2）求cosABE的值．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知关于x的一元二次方程mx
（1）求m的取值范围；
（2）若x20，且
2
m2x20有两个不相等的实数根x1,x2．
x1
1，求整数m的值．x2
20.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调研显示，每个档次的日产量及相应
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品．当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？
并求出当天利润的最大值．
21.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．
（1）求证：
直线PC是⊙O的切线；
（2）若ABAD=2，求线段PC的长．
4
22．阅读下面材料：
小明观察一个由11正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：
对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：
（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AECD于F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．
请你帮小明计算：
OC=_______________；tanAOD=_______________；
图1图2图3
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，计算：
tanAOD=_______________．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25小题8分）23.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y
（1）求代数式mn的值；
（2）若二次函数y（x1）的图象经过点B，求代数式
2
k
的图象经过点A（1,4），B（m,n）.x
mn2mn3mn4n的值；
（3）若反比例函数y
32
k
的图象与二次函数x
ya（x1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线
yx的下方，结合函数图象，求a的取值范围.
5
24．如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．
（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；
（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．
①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；
②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．
6
图1
BB图2图3备用图
25.在平面直角坐标系xOy中，设点Px1,y1，Qx2,y2是图形W上的任意两点．
定义图形W的测度面积：
若为图形W的测度面积．
例如，若图形W是半径为1的⊙O．当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1x1x2取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，y1y2取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积Smn4．
x1x2的最大值为m，y1y2的最大值为n，则Smn
（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.
①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=；
（2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD，则此图形测度面积S的最大值为；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．
图3
7
海淀区九年级第一学期期末练习
2015.1
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知:
1.为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可．
2.若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分．
3.评分参考中所注分数,表示考生正确做到步应得的累加分数．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．3；10．24；
11．x12,x21；12．
（1）37，26；（每个答案1分）
（2）6.（2分）
三、解答题：
（本题共30分，每小题5分）
13．（本小题满分5分）
解：
原式1112……………………………………………………………………4分2
1．………………………………………………………………………………5分2
14.（本小题满分5分）
证明：
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC．…………………………………………………………………………1分∴∠ADC=90°．
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°．
∴∠ADC=∠BEC．……………………………………………………………………3分在△ACD和△BCE中，
ACDBCE，ADCBEC，
∴△ACD∽△BCE．……………………………………………………………………5分
15.（本小题满分5分）
解：
由已知，可得m23m20．………………………………………………………1分
∴m223m．………………………………………………………………………2分
8
m211m223m3．………………………………………………5分∴原式=mmm
16.（本小题满分5分）
解一：
设平移后抛物线的表达式为y2xbxc．…………………………………1分
∵平移后的抛物线经过点A（0,3），B（2,3），2
3c,∴………………………………………………………………………3分382bc.
b4,解得…………………………………………………………………………4分c3.
所以平移后抛物线的表达式为y2x4x3．………………………………5分解二：
∵平移后的抛物线经过点A（0,3），B（2,3），
∴平移后的抛物线的对称轴为直线x1.…………………………………………1分∴设平移后抛物线的表达式为y2x1k．………………………………2分∴3221k．.………………………………………………………………3分∴k1．.………………………………………………………………………………4分所以平移后抛物线的表达式为y2x11．………………………………5分
17.（本小题满分5分）
解：
（1）将x2代入y2x中，得y224．
∴点A坐标为（2,4）．………………………………………………………………1分∵点A在反比例函数yk的图象上，x2222
∴k248．……………………………………………………………………2分∴反比例函数的解析式为y8．………………………………………………3分x
（2）P1,8或P1,8．……………………………………………………………5分
18.（本小题满分5分）
解：
（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，sinA
∴AB4，BC=8，5BC810．…………………………………………………………1分sinA5
9
∵△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，∴CD
1
AB5．…………………………………………………………………2分2
（2）解法一：
过点C作CF⊥AB于F，如图．
∴∠CFD=90°．
在Rt△ABC
中，由勾股定理得AC∵CFABACBC，∴CF
6．
A
ACBC24
．………………………………3分AB5
∵BE⊥CE，
∴∠BED=90°．∵∠BDE=∠CDF，
∴∠ABE=∠DCF．………………………………………4分
24CF24
∴cosABEcosDCF．…………………………………5分CD525
解法二：
∵D是AB中点，AB=10，
∴BD∴SBDC
1
AB5．……………………………………………………………………3分21
SABC．2
在Rt△ABC
中，由勾股定理得AC∴SABC
6．
A
1
6824．2
∴SBDC12．
1
∴BECD12．2
∵CD5，
24
∴BE．………………………………………………4分
5
∵BE⊥CE，∴∠BED=90°．
24
BE24
．∴cosABE……………………………………………………5分BD525
四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（本小题满分5分）
10
解：
（1）由已知，得m0且m242mm4m4m20，
2
22
∴m0且m2．…………………………………………………………………2分
（2）原方程的解为x
∴x1或x
m2m2．
2m
2
．…………………………………………………………………3分m
2
∵x20，∴x11，x20．∴m0．
m
∵
x1m
1，∴1．∴m2．
2x2
又∵m0且m2，
∴2m0．……………………………………………………………………4分∵m是整数，∴m1．………………………………………………………5分
20.（本小题满分5分）
解：
（1）y1005x2x410x180x400．……………………………2分
2
（1x10且x为整数）．
（2）∵y10x180x40010x91210．…………………………3分
2
2
又∵1x10且x为整数，
∴当x9时，函数取得最大值1210．…………………………………………4分答：
工厂为获得最大利润，应生产第9档次的产品，当天的最大利润为1210万元．
………………………………………………………………5分
21.（本小题满分5分）
解：
（1）连接OB,OC．
∵AD与⊙O相切于点A，∴FA⊥AD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴FA⊥BC．…………………1分∵FA经过圆心O，
∴OF⊥BC于E，CFBF．
∴∠OEC=90°，∠COF=∠BOF．
∵∠BOF=2∠BAF．∴∠COF=2∠BAF．∵∠PCB=2∠BAF，∴∠PCB=∠COF．
∠OEC=90°∵∠OCE+∠COF=180°，
∴∠OCE+∠PCB=90°，即∠OCP=90°．∴OC⊥PC．
∵点C在⊙O上，∴直线PC是⊙O的切线．………………………………2分
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2．∴BE=CE=1．在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB
，
∴AE
3．…………………………………………………………3分
11
设⊙O的半径为r，则OCOAr，OE3r．
在Rt△OCE中，∠OEC=90°，∴OC2OE2CE2．∴r3r1．
2
2
解得r
5
．…………………………………………………………………………4分3
∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°，
55
OEOC．∴△OCE∽△CPE．∴．∴CECP1CP
5
∴CP．……………………………………………………………………………5分
4
3
22.（本小题满分5分）
（1）如图，线段CD即为所求；……………………1分
（2）OC
，tanAOD=5；……………………3分4
（3）tanAOD=7．…………………………………5分
五、解答题：
（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．（本小题满分7分）解：
（1）∵反比例函数y
B
k
的图象经过点A（1,4），x
4．x
∴k4．………………………………………………………………………1分∴反比例函数的解析式为y∵反比例函数y
4
的图象经过点B（m,n），x
2
∴mn4．………………………………………………………………………2分
（2）∵二次函数y（x1）的图象经过点B（m,n），
∴n（m1）．…………………………………………………………………3分由
（1）得mn4，
∴原式mn（m22m1）2mn4n
2
（4m1）84n
2
4n84n
8．……………………………………………………………………4分
4
（3）由
（1）得反比例函数的解析式为y．
x
令yx，可得x24，解得x2．
12
∴反比例函数y
4
的图象与直线yx交于x
点（2,2），（2,2）．…………………………5分
当二次函数ya（x1）2的图象经过点（2,2）时，可得
a2
当二次函数ya（x1）的图象经过点（2,2）∵二次函数ya（x1）的顶点为（1,0），∴由图象可知，符合题意的a的取值范围是
2
2
0a2或a．…………7分
9
24.（本小题满分7分）
（1）AD+DE=4．……………………………………………………………………………………1分
（2）①补全图形．……………………………………………………………………………………2分解：
设DE与BC相交于点H，连接AE，
交BC于点G，如图．∠ADB=∠CDE=90°，∴∠ADE=∠BDC．在△ADE与△BDC中，
ADBD,
ADEBDC,DEDC,
∴△ADE≌△BDC．……………………………………3分∴AE=BC，∠AED=∠BCD．
DE与BC相交于点H，∴∠GHE=∠DHC．
∴∠EGH=∠EDC=90°．…………………………………………………………………………4分线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF=CB=4，EF//CB．∴AE=EF．CB//EF，∴∠AEF=∠EGH=90°．AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°．∴AF=②AF8sin
EF
…………………5分
cos45
2
．………………………………………………………………………………7分
25.（本小题满分8分）
解：
（1）①1；………………………………………………………………………………1分
②1．………………………………………………………………………………2分
（2）2．…………………………………………………………………………………4分（3）不妨设矩形ABCD的边AB=4，BC=3．由已知可得，平移图形W不会改变其测度
面积S的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上．
13
当顶点A，C都不在x轴上时，如图7．
过A作直线AE⊥x轴于点E，过C作直线CF⊥x轴于点F，过D作直线GH∥x轴，与直线AE，CF分别交于点H和点G，则可得四边形EFGH是矩形．
当点P，Q分别与点A，C重合时，x1x2取得最大值m，且最大值mEF；
当顶点A，B或B，C都在x轴上时，如图5和图6，矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S=12．
………………………………5分
当点P，Q分别与点B，D重合时，y1y2取得最大值n，且最大值nGF．∴图形W的测度面积SEFGF．∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°．∵∠AEB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°．∴∠BAE=∠CBF．
又∵AEBBFC90，∴△ABE∽△BCF．…………………………………6分∴
AEEBAB4
．BFFCBC3
设AE4a,EB4ba0,b0，则BF3a,FC3b，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AEBEAB．∴16a216b216．即a2b21．
∵b
0，∴b易证△ABE≌△CDG．∴CGAE4a．
2
2
2
∴EFEBBF4b3a，GFFCCG3b4a．
∴SEFGF4b3a3b4a12a
12b25ab1225
2
2
1212
122
∴当a
491，即a时，测度面积S
取得最大值1225．…………7分
22∵a
0,b00．∴S12．
∴当顶点A，C都不在x轴上时，S的范围为12S≤综上所述，测度面积S的取值范围是12≤S≤
49．2
49
．………………………………………8分
2
14
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