解析浙江省超级全能生届高三第一次联考数学试题.docx
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解析浙江省超级全能生届高三第一次联考数学试题
“超级全能生”2020高考浙江省9月联考
数学
注意事项：
1．本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的。
1.记全集
，集合
，集合
，则
（）
A.
B.Ø
C.
D.
【答案】C
【分析】
先解一元二次不等式和指数不等式，再求补集与交集.
【详解】由
得
或
，由
得
，则
，所以
，故选C.
【点睛】本题考查集合的运算、解一元二次不等式和指数不等式，其一容易把交集看作并集，概念符号易混淆；其二求补集时要注意细节.
2.已知复数
（
为虚数单位），则复数z的模长等于（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】
先化简复数z,利用模长公式即可求解.
【详解】化简易得
，所以
，故选A.
【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，了解复数的基本概念、运算和共轭复数的概念、模长是解答本题的关键.
3.若实数
满足约束条件
则
的最大值为（）
A.-2B.12
C.-4D.8
【答案】B
【分析】
作出可行域,平移目标函数即可求解.
详解】如图中阴影部分所示（含边界），显然当目标函数
经过点
时有最大值12，故选B.
【点睛】本题考查线性规划，准确作出可行域是解答本题的关键.
4.在同一直角坐标系中，函数
，
（
且
）的图象可能是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】
本题考查函数的图象,以指数函数的底数
与1的大小分情况讨论，由指数函数图象与y轴的交点即可得出b的大小，从而能判断出二次函数图象的正误.
【详解】对
和
分类讨论，当
时，对应A,D:
由A选项中指数函数图象可知，
，A选项中二次函数图象不符，D选项符合；当
时，对应B,C:
由指数函数图象可知，
，则B，C选项二次函数图象不符，均不正确，故选D.
【点睛】本题易错在于函数图象的分类，从指数函数分类易正确得到函数图象.
5.已知直线
，平面
满足
，
，则“
”是“
”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据面面垂直的判定定理进行判断.
【详解】当
时，
，则可知
；反之当
时，
与
中的
不一定平行，故选A.
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理.若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．
6.已知随机变量
满足下列分布列，当
且不断增大时，（）
0
1
2
A.
增大，
增大
B.
减小，
减小
C.
增大，
先增大后减小
D.
增大，
先减小后增大
【答案】C
【分析】
由分布列可知，随机变量
服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断.
【详解】由题意可知，随机变量
满足二项分布，即
，易得
，所以当
且不断增大时，
增大，
先增大后减小.故选C.
【点睛】本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.
7.已知双曲线
右焦点为
，左顶点为
，右支上存在点
满足
，记直线AB与渐近线在第一象限内的交点为
，且
，则双曲线的渐近线方程为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】
根据题意依次求出
点的坐标，求出直线
的方程，联立渐近线求出点
的横坐标，利用向量关系即可得出关系式，进而可求出渐近线方程.
【详解】易知
，
，得直线
，联立渐近线
，得
，又
，所以
，得
，又
，所以
，所以双曲线的渐近线方程为
，故选D.
【点睛】本题考查双曲线的渐近线.当双曲线的标准方程为
时，渐近线方程为
；
当双曲线的标准方程为
时，渐近线方程为
.
8.已知函数
，e是自然对数的底数，存在
（）
A.当
时，
零点个数可能有3个
B.当
时，
零点个数可能有4个
C.当
时，
零点个数可能有3个
D.当
时，
零点个数可能有4个
【答案】C
【分析】
首先将
的零点转化为两个图象的交点，利用以直代曲的思想可以将
等价为
，根据穿针引线画出草图，即可判断.
【详解】将
看成两个函数
的交点，利用以直代曲，可以将
等价看成
，利用“穿针引线”易知
时图象如图，所以当
时最多有两个交点，当
时最多有三个交点.故选C.
【点睛】本题考查函数的零点,函数零点个数的3种判断方法
（1）直接求零点：
令
，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：
利用定理不仅要求函数在区间
上是连续不断的曲线，且
，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：
画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
9.三棱柱
中，
平面
，动点
在线段
上滑动（包含端点），记
与
所成角为
，
与平面
所成线面角为
，二面角
为
，则（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
根据题意找出这三个角，分别在直角三角形中表示出这三个角对应的三角函数值，将角的大小比较转化为线段长度的大小比较即可.
【详解】过点
作
于
，则
，过点
作
于
，连接
，则
过点
作
于
，连接
，则
．
所以
，
，
，
由
可知
（
位于
处等号成立），由
可知
（当
为直角时，等号成立），故选B.
【点睛】本题主要考查线线角、线面角、二面角，本题也可以直接用线线角最小角定理（线面角是最小的线线角）和线面角最大角定理（二面角是最大的线面角）判断.
10.已知函数
若函数
的零点个数为2，则（）
A.
或
B.
C.
或
D.
【答案】D
【分析】
由
，可知当
时，
的图象可由
的图象沿
轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数
的图象，将
的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可.
【详解】如图，可得
的图象.令
，当
时，不符合题意；当
时，得
，若
，则满足
可得
；若
，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当
时，因为
，所以在
上有两个交点，不合题意舍去，当
时，则需
解得
，故选D.
【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.
二、选择题：
本大题共7小題，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
把答案填在题中的横线上。
11.《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右书中对一些特殊的柱体、锥体有特定的命名。
例如，将长方体切制成两个一模一样的三角柱体称之为“堑堵”。
若某一个“哲堵”的三视图如图所示，则该柱体的外接球表面积是_________________。
【答案】
【分析】
根据题意可知，该“堑堵”的外接球即为相应长方体的外接球，长方体的长宽高分别为2,1，1，即可求出外接球的半径.
【详解】由该“堑堵”的三视图可知其外接球即为相应长方体的外接球，长方体的长宽高分别为2,1，1，所以外接球直径
，则该柱体的外接球表面积
.
【点睛】本题考查三棱柱的外接球的表面积.长方体、正方体的外接球的直径即为体对角线.
12.已知
对任意
恒成立，则
__________；若
，则
_________________。
【答案】
（1）.
（2）.9
【分析】
利用
将问题转化为二项式的问题，然后利用二项式的通项分别表示出即可求解.
【详解】令
，则
，则
，
∵
，故
，即
，解得
.
【点睛】本题考查二项式定理,二项展开式的项和系数的关系是易错点.
13.已知单位向量
夹角为60°，
______________，
的最小值为_________.
【答案】
（1）.
（2）.
【分析】
利用定义求向量数量积，再根据模的平方求模
【详解】
，
，
所以
的最小值为
.
【点睛】本题考查平面向量的数量积。
求向量的模：
利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①
或
.
②
.
③若
则
.
14.在
中，
为
中点，若
，则
________，
________________。
【答案】
（1）.
（2）.
【分析】
利用中线与向量的关系，即可求出
的值，然后利用余弦定理求出
的值，利用正弦定理即可求解.
【详解】由
为
中点可得，
所以
解得
，由余弦定理可得
由正弦定理可得
即
，解得
.
【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，正弦定理
;余弦定理
15.将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字组成没有重复数字的八位数，要求7与8相邻，且任意相邻两个数字奇偶不同，这样的八位数的个数是________。
【答案】504
【分析】
根据题意分为两类，由于7与8相邻，所以先排1,2,3,4,5,6，再用插空法将“7，8”或“8，7”插入即可.
【详解】先将数字分成两类：
“奇偶奇偶奇偶奇偶”与“偶奇偶奇偶奇偶奇”.若是第一类，则1，2，3，4，5，6有
种排列，再将“7，8”或“8，7”插空进前后7个空位中去;第二类同理，数量一样，故有
个.
【点睛】本题考查排列组合.对问题的正确分类是解答本题的关键，本题易错在分类情形的掌握.
16.设
是椭圆
一个焦点，点
，若椭圆上存在点
满足
，则椭圆离心率的取值范围是_____________。
【答案】
【分析】
设椭圆上焦点为E,利用椭圆定义可得
，即可得
，若点
三点不共线即构成三角形，则
，若点
三点共线，则
，即可求出
的范围，进一步可求出离心率的范围.
【详解】设椭圆的上焦点
，由椭圆的定义可知
，又
，所以
，又
，所以
，得
，以椭圆的离心率
.
【点睛】本题考查椭圆的定义和几何性质,涉及圆锥曲线上的点与焦点的距离问题往往利用定义解决.
17.已知数列
，满足
.若
则
的最小值是___________，若
，且存在常数
，使得任意
，则
的取值范围是______________.
【答案】
（1）.
（2）.
【分析】
第一空：
令
将问题转化为函数问题,则
表示点
与原点连线的斜率，观察图象即可求解.第二空：
将问题转化为当
则
，结合二次函数的最值以及翻折后图象列式即可求解.
【详解】
（1）令
，
，
表示点
与原点连线的斜率，因为
，所以
，由于
为
最高点，所以
最小，等于
.
（2）当
时，显然存在；当
时，由
，则
，由
图象可知，使得任意
成立，则需
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