基于MATLAB软件的电磁场的可视化研究.docx

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基于MATLAB软件的电磁场的可视化研究

基于MATLAB软件的电磁场的可视化研究

摘要

电磁场理论是一门研究电磁现象的科学，而同时电磁场又具有抽象，不好描述等特点，为了能让电磁场能够被更好地研究，就必须使其可视化，让其能够直观的展现。

MATLAB软件对于研究电磁场可视化能起到非常大的帮助，对于电磁场研究也有很重要的意义。

本文主要采用MATLAB软件的两种方法来实现电磁场的可视化，其中一用编程M语言的方式实现电偶极子的电磁场可视化，二是利用MATLAB软件的PDE工具来实现电机内部磁场的可视化仿真，PDE工具本身就具有解决复杂偏微分方程的功能，而且有各种应用模式，只要你选择电磁场应用模式，就可以用来解决电磁场问题。

MATLAB提供的图形用户界面（GUI）的偏微分方程数值求解工具主要有菜单和工具栏两部分，可以交互式地实现偏微分方程数学模型的几何模型建立，边界条件设定，三角形网格剖分和加密，偏微分方程类型设置，参数给定，方程求解和结果图形展示，利用此工具就能直观，快速，准确，形象的实现偏微分方程的数值求解，从而实现电磁场的可视化。

本文还间接描述了电磁场问题的计算方法，比如解析法，数值法，数值计算中的有限差分法和有限单元法以及其中所用到的一些公式，还有MATLAB在电磁场问题研究的重要性。

关键词：

电磁场；MATLAB；PDE；电偶极子；电机；可视化

ResearchonvisualizationofelectromagneticfieldbasedonMATLABsoftware

ABSTRACT

Electromagneticfieldtheoryisthestudyofelectromagneticphenomenainscience,electromagneticfieldandabstractatthesametime,whichdescribesthecharacteristics,inordertostudyontheelectromagneticfieldcanbebetter,itisnecessarytovisualizationmakesittoaVisualdisplay.MATLABsoftwareforstudyingelectromagneticfieldvisualizationcanplayaverybigrole,electromagneticresearchhasaveryimportantmeaning.

ThismainusedMATLABsoftwareoftwospeciesmethodtoachievedelectricmagneticfieldVisualization，whichawithprogrammingmlanguageofwayachievedelectricevenverychildofelectricmagneticfieldVisualization,theotheroneisusingMATLABsoftwareofPDEtoolstoachievedmotorinternalmagneticfieldofVisualofsimulation,PDEtoolsitselfhassolutioncomplexpartialondifferentialequationoffeatures,andhasvariousapplicationmode,aslongasyouselectelectromagneticfieldapplicationmode,whichcanusedtosolutionelectricmagneticfieldproblem.MATLABprovidesofgraphicsuserinterface（GUI）ofpartialdifferentialequationnumericalsolutiontoolsmainhasmenuandtoolsbartwopart,caninteractivetoachievedpartialdifferentialequationmathematicsmodelofgeometrymodelestablished,borderconditionsset,trianglenetworkcellsprofilepointsandencryption,partialdifferentialequationtypeset,parametergiven,equationsolutionandresultsgraphicsshow,usingthistoolsonintuitive,fast,accurate,imageofachievedpartialdifferentialequationofnumericalsolution,toachievedelectricmagneticfieldofVisualization.

Alsoindirectdescriptionofthecalculationmethodofelectromagneticfieldproblems,suchasanalytical,numericalmethods,numericalcalculationandfiniteelementmethodandfinitedifferencemethodinwhich

Keywords：

Electromagneticfields;MATLAB;PDE;electricdipole;electricmotor;Visualization

第一章绪论

1.1研究背景:

MATLAB是美国mathworks公司于80年代推出的大型数学软件，通过多年的升级换代，现在已发展成为集数值计算、符号计算、可视化功能以及诸多的工具箱为一体的大型科学计算软件，它已广泛应用于科研院所、工程技术等各个部门，并成为大学生、研究生必备的工具软件。

电磁学是物理学的一个分支，是研究电场和电磁的相互作用现象。

电磁学从原来互相独立的两门科学（电学、磁学）发展成为物理学中一个完整的分支学科，主要是基于电流的磁效应和变化的磁场的电效应的发现。

这两个实验现象，加上麦克斯韦关于变化电场产生磁场的假设，奠定了电磁学的整个理论体系，发展了对现代文明起重大影响的电工和电子技术。

针对电磁场学习理论性强、概念抽象等特点，利用Matlab强大的数值计算和图形技术，通过具体实例进行仿真，绘制相应的图形，使其形象化，便于对其的理解和掌握。

将Matlab引入电磁学中，利用其可视化功能对电磁学实验现象进行计算机模拟，可以提高学习效率于学习积极性，使学习效果明显。

它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案。

Matlab是一款非常好的数学应用软件，它在数学应用领域如自动化，电子，电力及机械领域有着非常大的应用。

同样，用matlab分析电磁学，能使复杂的问题大大简化，对阐述相关原理能起到很大的作用。

物理实验需要有相应的配套设备及实验环境。

一方面，一些实验设备比较复杂并且昂贵，限制了实验的普及应用；另一方面,有些实验环境是很难满足的，甚至根本不能满足。

另外，有些实验是不能直接观察的，或者只能观察到实验对象的局部，如电场、磁场、力场中的分布问题等。

Matlab是美国MathWorks公司开发的一套高性能的数值计算和可视化软件.它是一种以矩阵运算为基础的交互式程序语言，其应用范围涵盖了当今几乎所有的工业应用与科学研究领域，集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体。

其丰富的库函数和各种专用工具箱，将使用者从繁琐的底层编程中解放出来。

此外Matlab更强大的功能还表现在其有大量的工具箱（Toolbox），如：

控制系统、数值模拟、信号处理及偏微分方程等工具箱。

因此Matlab已成为大学教育和科学研究中必不可少的工具。

Matlab具有丰富的计算功能和科学计算数据的可视化能力，特别是应用偏微分方程工具箱在大学物理电磁学等各类物理场的数值仿真中具有无比的优势。

1.2电磁场问题数值解法及原理

麦克斯韦方程组是电磁场理论的基础，也是电磁场数值分析的出发点。

它包括法拉第定律，安培定律，高斯电通定律和高斯磁通定律。

它的微分形式为：

（1-1）

在任何电磁场的某点处，电位移的散度等于该处自由电荷的体密度（有源场）

（1-2）

电场强度的旋度，等于该处

对

变化率之负值

（1-3）

磁感应强度之散度恒为零。

（无源场）

（1-4）

磁场强度的旋度等于该处的传导电流密度与位移电流密度之矢量和

式中

：

磁场强度；

：

电通密度；

：

电场强度；

：

磁感应强度；

：

传导电流密度；

哈密顿算子，在平面中

。

（1-1）式为法拉第电磁感应定律，表明变化的磁场可以激发电场；（1-2）式为安培环路定律，表明传导电流能产生磁场，随时间变化的电场也会激发磁场；（1-3）式为高斯定理，表明电荷是电场的源，电力线的方向始于正电荷，终止于负电荷；（1-4）式为磁通连续性定理，表明穿过任何一个表面的磁通是连续的，揭示了磁场与电场的一项重要区别[10]。

1.3数值分析法的种类

电磁场问题数值计算一般有有限差分法和有限元法。

有限差分法是以差分原理为基础的一种数值方法，它把电磁场连续域内的问题变为离散系统的问题，即用各离散点上的数值解来逼近连续场域内的真实解，因而，它是一种近似的计算方法，根据目前计算机的容量和速度，它对许多问题都可以得到足够高的计算精度。

有限差分法应用于电磁场边值问题的求解时，首先将求解场域分为很多网格和节点，并用差商代替微商，然后，使场域中的偏微分方程转化成以各节点的电位或磁势为未知量的差分方程组（线性代数方程组），左后，解该方程组便可得到各离散节点待求的电位或磁势的数值解。

该数值解是近似解，但逼近场域的真实解。

而且，如果离散化的点选择得足够密的话，解的误差就能减小到可接受的程度。

而所有的电磁场问题都是用标量或矢量偏微分方程来表示的，因此，能用它来求解各种媒质中随空间和时间变化的电场与磁场。

有限单元法是以变分原理和剖分插值为基础的一种数值计算方法。

在早期，广泛用于拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中，因此，有限元法可用于任何微分方程描述的各类物理场，同样也适合于时变场，非线性场以及复杂介质中的电磁场求解。

有限元法之所以有着非常强大的生命力和广阔的应用前景，主要在于方法本身有如下优点:

（1）有限元法采用物理上离散与分片多项式插值的原理，因此具有对材料，边界，激励的广泛适用性；

（2）有限元法基于变分原理，将数理方程求解变成代数方程组的求解，因此非常简易；

（3）有限元法采用矩阵形式和单元组装方法，其各环节易于标准化，程序通用性强，且有较高的计算精度，便于编制程序和维护，适用于制作商业软件；

（4）国际学术界对有限元法的理论，计算技术以及各方面的应用做了大量的工作许多问题有现成的程序，可用的商业软件相对较多。

第二章MATLAB仿真软件

2.1MATLAB概述

MATLAB是美国MathWorks公司开发的计算软件，是目前国际上最流行的科学与工程计算的软件。

它集数值分析，矩阵计算，信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便的界面友好的用户环境，与其它计算机语言相比，MATLAB更简洁和智能化，适合科技专业人员的思维方式和书写习惯，使得编程和调试效率大大提高。

MATLAB里有若干个工具箱，可以实现数值分析，优化，统计，偏微分方程数值解，自动控制，信号处理，图像处理等若干个领域的计算和图形显示。

它将不同数学分支的算法以函数的形式分类成库，使用时直接调用这些函数并赋予实际参数就可以解决问题，快速而且准确。

该软件有以下几大特点：

一是功能强大。

MATLAB具有强大的数值计算，图形处理和符号运算功能，编程语法简单，用简单的指令就可以完成大量的计算与图形处理，计算结果可视化。

二是操作页面简单，一看就懂，一用就会。

MATLAB使用常用的数学表达式与标准的教科书相近，贴近人们的思维习惯。

默认使用复数与矩阵，计算速度快。

三是开放性强。

MATLAB大部分指令的程序是开放的，用户可以模仿和修改。

四是有大量的不同领域的专用工具箱，如控制系统，信号处理，图像处理，系统辨识，模糊集合，神经元网络，小波分析及偏微分方程等工具箱，用户还可以开发自己的专用工具箱。

2.2MATLAB操作界面

图2-1操作界面窗口

这个窗口包含有命令窗口,工作目录窗口，和指令记录窗口，当前工作窗口和当前工作路径窗口等五个窗口。

要使五个窗口都显现，可以依次逐层单击操作界面窗口中的菜单View\Desktop\FivePanel；

2.3M文件及程序设计

图2-2文件操作界面

由MATAB的命令或函数构成的文本文件称为M文件，以.m为拓展名。

在MATLAB中带有一个编辑器可以编辑M文件。

M文件有多种形式，即命令文件（script）和函数文件（function）。

凡是说明性的文字都用%开头。

2.4PDE工具

2.4.1方程类型

微分方程工具箱（PDEToolbox）提供了研究和求解空间二维偏微分方程问题的一个强大而又灵活实用的环境。

PDEToolbox的功能包括：

（1）设置PDE（偏微分方程）定解问题，即设置二维定解区域、边界条件以及方程的形式和系数；

（2）用有限元法（FEM）求解PDE数值解；

（3）解的可视化。

PDEToolbox求解的基本方程有椭圆型方程、抛物型方程、双曲型方程、特征值方程、椭圆型方程组以及非线性椭圆型方程。

椭圆型方程：

（2-1）

椭圆型方程：

（2-2）

其中

是平面有界区域，c,a,f以及未知数u是定义在

上的实（或复）函数。

抛物型方程：

（2-3）

双曲型方程：

（2-4）

特征值方程：

（2-5）

其中d是定义在

上的复函数，

是待求特征值。

在抛物型方程和双曲型方程中，系数c,a,f和d可以依赖于时间t。

可以求解非线性椭圆型方程：

（2-6）

其中c,a,f可以是未知函数u的函数。

还可以求解如下PDE方程组:

（2-7）

利用命令行可以求解高阶方程组。

对于椭圆型方程，可以用自适应网格算法，还能与非线性解结合起来使用。

另外，对于Poission方程还有一个矩形网格的快速求解器。

2.4.2边界条件

（1）Dirichlet条件：

（2-8）

（2）Neumann条件：

（2-9）

其中

是

的边界

上的单位外法向量，

和

是定义在

上的函数。

对于特征值问题仅限于齐次条件：

和

。

对于非线性情形．系数

和

可以依赖于u；对于抛物型方程和双曲型方程，系数可以依赖于时间t。

对于方程组情形，边界条件为

（1）Dirichlet条件：

（2-10）

（2）Neumann条件：

（2-11）

（2-12）

（3）混合边界条件为:

（2-13）

（2-14）

（2-15）

其中

的计算要使得Dirichlet条件满足。

在有限元法中，Dirichlet条件也称为本质边界条件，Neumann条件称为自然边界条件。

2.4.3如何使用PDE工具

1．定解问题的设置：

简单的办法是在PDETool上直接使用图形用户界面（GUl）。

设置定解问题包括三个步骤：

（1）Draw模式：

使用CSG（几何结构实体模型）对话框画几何区域，包括矩形、圆、椭圆和多边形，也可以将它们组合使用。

（2）Boundary模式：

在各个边界段上给出边界条件，

（3）PDE模式：

确定方程的类型、系数c，a，f和dc。

也能够在不同子区域上设置不同的系数（反映材料的性质）。

2.解PDE问题

用GUI解PDE问题主要经过下面两个过程（模式）

（1）Mesh模式；生成网格．自动控制网格参数。

（2）Solve模式：

对于椭圆型方程还能求非线性和自适应解。

对于抛物型和双曲型力程．设置初始边值条件后能求出给定t时刻的解。

对于特征值问题，能求出给定区间内的特征值；求解后可以加密网格再求解。

3.使用Toolbox求解非标准的问题

对于非标准的问题。

可以用PDEToo1box的函数。

或者用FEM（有限元法）求解更为复杂的问题。

4.计算结果的可视化

从GUI能够使用Plot模式实现可视化。

可以使用Color,Height和Vector等作图。

对于抛物型和双曲型方程，还可以生成解的动画。

这些操作通过命令行都很容易实现。

5.应用领域

在应用界面提供了丁如下应用领域

．结构力学——平面应力问题

．结构力学——平面应变问题

．静电场问题

．静磁场问题

第三章电偶极子的仿真

3.1电偶极子的定义

一个实体，它在距离充分大于本身几何尺寸的一切点处产生的电场强度都和一对等值异号的分开的点电荷所产生的电场强度相同。

电偶极子（electricdipole）是两个相距很近的等量异号点电荷组成的系统。

电偶极子的特征用电偶极距P=lq描述，其中l是两点电荷之间的距离，l和P的方向规定由－q指向+q。

电偶极子在外电场中受力矩作用而旋转，使其电偶极矩转向外电场方向。

电偶极矩就是电偶极子在单位外电场下可能受到的最大力矩，故简称电矩。

如果外电场不均匀，除受力矩外，电偶极子还要受到平移作用。

电偶极子产生的电场是构成它的正、负点电荷产生的电场之和。

3.2电偶极子理论分析

图

（1）表示中心位于坐标系原点上的一个电偶极子，它的轴线与Z轴重合，两个点电荷q和-q间的距离为L。

此电偶极子在场点P处产生的电位等于两个点电荷在该点的电位之和，即

（3-1）

其中

与

分别是q和-q到P点的距离。

图3-1电偶极子示意图

一般情况下，我们关心的是电偶极子产生的远区场，即负偶极子到场点的距离r远远大于偶极子长度L的情形，此时可以的到电偶极子的远区表达式

（3-2）

可见电偶极子的远区电位与

成正比，与

的平方成反比，并且和场点位置矢量

与

轴的夹角

有关。

为了便于描述电偶极子，引入一个矢量P，摸P=qL，方向由-q指向q，称之为此电偶极子的电矩矢量，简称为偶极矩，记作

P=qL（3-3）

此时（3-2）以写成

（3-4）

电偶极子的远区电场强度可由（3-4）梯度得到。

因电位

只是坐标

和

的函数，于是有

（3-5）

从（3-4）和（3-5）可以看到，电偶极子电场分别与

的平方和

的三次方成反比。

因此，其电位和场强随距离

的下降比单个点电荷更为迅速，这是由于两个点电荷q和-q的作用在远区相互抵消的缘故。

根据（4）式，电偶极子的等电位面方程可由

为定值得到。

将电力线微分方程写成球坐标形式，并注意此时电场只有

和

两个分量，有

（3-6）

把电场表达式（5）带入上式，得

（3-7）

解上式得

（3-8）

式（3-8）区场的电力线方程。

图3-2电偶极子

为常数的平面内（8）式取不同的常数所对应的等电位线和等电力线。

图3-2电偶极子的电力线与等位线

需要说明的是图中准确的只是电力线的形状，电力线的疏密并不严格与场强成正比，只是疏的地方场强小些，密的地方场强大些而已。

3.3电偶极子仿真过程

3.3.1电偶极子的电场分布

打开matlab软件中，新建一个M文件，将下列程序输入进去，然后保存并运行

图3-3M语言编辑界面

clear;clf;q=2e-6;k=9e9;a=1.5;b=-1.5;x=-6:

0.6:

6;y=x;

[X,Y]=meshgrid（x,y）;%设置坐标网点

rp=sqrt（（X-a）.^2+（Y-b）.^2）;rm=sqrt（（X+a）.^2+（Y+b）.^2）;

V=q*k*（1./rp-1./rm）;%计算电势

[Ex,Ey]=gradient（-V）;%计算场强

AE=sqrt（Ex.^2+Ey.^2）;Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE;%场强归一化，使箭头等长

cv=linspace（min（V（:

））,max（V（:

））,49）;%产生49个电位值

contourf（X,Y,V,cv,'k-'）%用黑实线画填色等位线图

title（'\fontname{隶书}偶极子的场','fontsize',20）,

holdon

quiver（X,Y,Ex,Ey,0.7）%第五输入宗量0.7使场强箭头长短适中。

plot（a,b,'wo',a,b,'w+'）%用白线画正电荷位置

plot（-a,-b,'wo',-a,-b,'w-'）%用白线画负电荷位置

xlabel（'x'）;ylabel（'y'）,holdoff%绘制图形

仿真结果如下图所示：

图3-4电偶极子仿真结果图

仿真结果分析:

图形中白色的相互对称的为电偶极子，黑色斜线为y=x对称轴，黑色填充线为等位线，蓝色箭头表示为等量电场强度矢量，场强走向为由正电偶极子指向负电偶极子，颜色深浅表示电势大小，颜色越蓝表示电势越小，颜色越红表示电势越大，由图可知，明显，离正电偶极子越近电势越大，离负电偶极子越近，电势越小，箭头疏密表示场强大小。

3.3.2电偶极子辐射场电磁场仿真

背景与意义：

对于一个带电体来说，如果正负电荷呈电偶分布，正、负电荷的重心不重合，那么讨论这种带电体的电场时，可以把它模拟成两个相距很近的等量异号的点电荷+q和−q，这样的带电系统称为电偶极子。

实际生活中电偶极子的例子随处可见，例如，在研究电解质极化时，采用重心模型描述后电解质分子可等效为电偶极子；在电磁波的发射和吸收中电子做周期性运动形成振荡电偶极子；生物体所有的功能和活动都以生物电的形式涉及到电偶极子的电场等，当天线长度l远小于波长时，它的辐射就是电偶极辐射。

因此，研究电偶极子在空间激发的电场问题具有重要意义。

我们主要讨论宏观电荷系统在其线度远小于波长情形下的辐射问题。

基本内容介绍：

计算辐射场的一般公式：

（3-9）

（3-10）

（3-11）

电偶极子辐射：

我们研究展开式的第一项

（3-12）

先看电流密度体积分的意义。

电流是有运动的带电粒子组成的。

设单位体积内有个带电荷为,速度为的粒子，则它们各自对电流密度的贡献为，因此

（3-13）

其中求和符号表示对各类带电粒子求和。

上式也等于对单位体积内的所有带电粒子的qv求和。

因此

（3-14）

式中求和符号表示对区域内所有带电粒子求