概率与统计回归教材纠错例题解析.docx
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概率与统计回归教材纠错例题解析
概率与统计
1．随机抽样方法
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．
[问题1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________．
答案 24
解析 由抽样比例可知
＝
，则x＝24.
2．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．
[问题2] （2015·湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：
分钟）的茎叶图如图所示：
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．
答案 4
解析 由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139,151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．
3．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高矩形的中点的横坐标．
[问题3] 某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了40个用户，根据用户满意度的评分制成频率分布直方图（如下），则该地区满意度评分的平均值为________．
答案 77.5
解析 由直方图估计评分的平均值为55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.25＋95×0.15＝77.5.
4．变量间的相关关系
假设我们有如下一组数据：
（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）．线性回归方程
＝
x＋
，
其中
[问题4] 回归直线
＝
x＋
必经过点________．
答案 （
，
）
5．互斥事件的概率公式P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
（1）公式适合范围：
事件A与B互斥．
（2）P（
）＝1－P（A）．
[问题5] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P（A）＝
，P（B）＝
，则出现奇数点或2点的概率之和为________．
答案
6．古典概型
P（A）＝
（其中，n为一次试验中可能出现的结果总数，m为事件A在试验中包含的基本事件个数）．
[问题6] （2015·广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）
A．0.4B．0.6C．0.8D．1
答案 B
解析 5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，结果有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）共10种．恰有一件次品的结果有6种，则其概率为p＝
＝0.6.
7．几何概型
一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为P（A）＝
.此处D的度量不为0，其中“度量”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等．
即P（A）＝
.
[问题7] 在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD—A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为（ ）
A.
B．1－
C.
D．1－
答案 B
解析 记“点P到点O的距离大于1”为A，
P（A）＝
＝1－
.
易错点1 抽样方法理解不准
例1 一个总体中100个个体的编号为0,1,2,3，…，99，并依次按其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果第0组（号码0～9）随机抽取的号码为l，那么依次错位地抽取后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的个位数为l＋k或l＋k－10（如果l＋k≥10）．若l＝6，则所抽取的第5组的号码是________．
易错分析 本题易错点有两个：
一是忽视题中对组号的描述，误以为第一个号码6为第一组的号码导致错误；二是忽视系统抽样号码抽样法则的制定，误以为组距为10，所以每组抽取号码的个位数都为6.所以解决此类问题，一定要根据题中的条件准确进行编号与抽样．
答案 51
解析 由题意，第0组抽取的号码为6，则第一组抽取的号码的个位数为6＋1＝7，所以选17.
因为7＋1＝8，第二组抽取号码的个位数为8，故选28.
因为8＋1＝9，第三组抽取号码的个位数为9，故选39.
因为9＋1＝10≥10,9＋1－10＝0，第四组抽取号码的个位数为0，故选40.
因为0＋1＝1，第五组抽取号码的个位数为1，故选51.
易错点2 统计图表识图不清
例2 如图所示是某公司（共有员工300人）2016年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有______人．
易错分析 解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－（0.02＋0.08＋0.10）×2＝0.60，从而得到员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×[1－（0.02＋0.08＋0.10）×2]＝180（人）的错误答案．
解析 由所给图形，可知员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－（0.02＋0.08＋0.08＋0.10＋0.10）×2＝0.24，所以员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.24＝72（人）
答案 72
易错点3 误解基本事件的等可能性
例3 若将一枚质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________．
易错分析 解本题时易出现的错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，错误地认为基本事件总数为11（点数和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12），或者将点数和为4的事件错误地计算为（1,3）（2,2）两种，从而导致出错．
解析 将先后掷2次出现向上的点数记作点坐标（x，y），则共可得点坐标的个数为6×6＝36，而向上点数之和为4的点坐标有（1,3），（2,2），（3,1），共3个，故先后掷2次，出现向上的点数之和为4的概率P＝
＝
.故填
.
答案
易错点4 几何概型中“测度”确定不准
例4 在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C.
（1）在斜边AB上任取一点M，求AM＜AC的概率；
（2）在∠ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率．
易错分析 本题易出现的问题是混淆几何概型中对事件的度量方式，不注意题中两问中点M生成方式的差异，误以为该题两问中的几何概型都是用线段的长度来度量造成错解．
解
（1）如图所示，AB＝
AC.
由于点M是在斜边AB上任取的，所以点M等可能分布在线段AB上，因此基本事件的区域应是线段AB.
所以P（AM＜AC）＝
＝
.
（2）由于在∠ABC内作射线CM，等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置（如图所示），因此基本事件的区域应是∠ACB，所以P（AM＜AC）＝
＝
＝
.
易错点5 互斥事件概念不清
例5 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互为互斥事件的是________；互为对立事件的是________．
易错分析 对事件互斥意义不明确，对事件的互斥与对立之间的关系不清楚，就会出现错误的判断．对立事件和互斥事件都不可能同时发生，但对立事件必有一个要发生，而互斥事件可能都不发生．所以两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件，但未必是对立事件．
解析 因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝∅，B∪D＝Ω，故B与D互为对立事件．
答案 A与B，A与C，B与C，B与D B与D
1．某学校利用系统抽样的方法，从学校高三年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号，共分50组．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应取的号码是（ ）
A．177B．157
C．417D．367
答案 B
解析 根据系统抽样法的特点，可知抽取出的编号成首项为17，公差为20的等差数列，所以第8组的编号是17＋（8－1）×20＝157.
2．如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（ ）
A．85,84B．84,85
C．86,84D．84,86
答案 A
解析 由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87.
∴平均数为
＝85，众数为84.
3．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 如图所示，
从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A、D，B、E，C、F，共3种，故其概率为
＝
.
4．（2015·福建）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1,0），且点C与点D在函数f（x）＝
的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由图形知C（1,2），D（－2,2），∴S四边形ABCD＝6，S阴＝
×3×1＝
.∴P＝
＝
.
5．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中车速不小于90km/h的约有________辆．（注：
分析时车速均取整数）
答案 300
解析 由图可知，车速大于等于90km/h的车辆未标出频率，而小于90km/h的都标出了，故考虑对立事件．由题图知车速小于90km/h的汽车总数的频率之和为（0.01＋0.02＋0.04）×10＝0.7，所以车速不小于90km/h的汽车总数的频率之和为1－0.7＝0.3.因此在这一时段内通过该站的车速不小于90km/h的汽车有1000×0.3＝300（辆）．
6．春节期间，某销售公司每天销售某种取暖产品的销售额y（单位：
万元）与当天的平均气温x（单位：
℃）有关．现收集了春节期间这个销售公司4天的x与y的数据列于下表：
平均气温（℃）
－2
－3
－5
－6
销售额（万元）
20
23
27
30
根据以上数据，用线性回归的方法，求得y与x之间的线性回归方程
＝
x＋
的系数
＝－
，则
＝________.
答案
解析 由表中数据可得
＝－4，
＝25，所以线性回归方程
＝－
x＋
过点（－4,25），代入方程得25＝－
×（－4）＋
，解得
＝
.
7．如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x，y的值分别为________，________.
答案 6 4
解析
甲＝
＝85，
解得x＝6，由题图可知y＝4.
8．从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是男生或都是女生的概率为______．
答案
解析 设2名男生为A，B,3名女生为a，b，c，则从5名同学中任取2名的方法有（A，B），（A，a），（A，b），…，（b，c），共10种，而这2名同学刚好是一男一女的有（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），共6种，
故所求概率为1－
＝
.
9．已知直线l的方程为ax＋2y－3＝0，且a∈[－5,4]，则直线l的斜率不小于1的概率为________．
答案
解析 直线l的斜率k＝－
，由－
≥1，可得a≤－2.
因为a∈[－5,4]，所以a∈[－5，－2]．
由几何概型的概率计算公式可得所求概率为
P＝
＝
＝
.
10．甲、乙两名骑手骑术相当，他们各自挑选3匹马备用，甲挑选的三匹马分别记为A，B，C，乙挑选的三匹马分别记为A′，B′，C′.已知6匹马按奔跑速度从快到慢的排列顺序依次为：
A，A′，B，B′，C′，C.比赛前甲、乙均不知道这个顺序．规定：
每人只能骑自己挑选的马进行比赛，且率先到达终点者获胜．
（1）若甲、乙二人进行一次比赛，求乙获胜的概率；
（2）若甲、乙二人进行三次比赛，且不能重复使用马匹，求乙获胜次数多于甲的概率．
解
（1）甲、乙二人选取的马匹共有9种搭配方式，胜负情况如下表所示：
胜负情况
甲A
甲B
甲C
乙A′
甲胜
乙胜
乙胜
乙B′
甲胜
甲胜
乙胜
乙C′
甲胜
甲胜
乙胜
所以乙获胜的概率P＝
.
（2）根据题意乙分别骑A′，B′，C′时，甲骑手的马共有6种排列情况与之对应，如下表所示：
①
②
③
甲
A
B
C
甲
A
C
B
甲
B
A
C
乙
A′
B′
C′
乙
A′
B′
C′
乙
A′
B′
C′
乙的胜负
负
负
胜
乙的胜负
负
胜
负
乙的胜负
胜
负
胜
④
⑤
⑥
甲
B
C
A
甲
C
A
B
甲
C
B
A
乙
A′
B′
C′
乙
A′
B′
C′
乙
A′
B′
C′
乙的胜负
胜
胜
负
乙的胜负
胜
负
负
乙的胜负
胜
负
负
以上6种情况，只有③④两种情况乙获胜次数多于甲．
故乙获胜次数多于甲的概率P＝
＝
.
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