学年高中数学人教A版选修12教学案第二章21212演绎推理含答案.docx
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学年高中数学人教A版选修12教学案第二章21212演绎推理含答案
2．1.2 演绎推理
预习课本P30～33，思考并完成下列问题
（1）什么是演绎推理？
它有什么特点？
（2）什么是三段论？
一般模式是什么？
（3）合情推理与演绎推理有什么区别与联系？
[新知初探]
1．演绎推理
（1）概念：
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
（2）特点：
演绎推理是从一般到特殊的推理．
（3）模式：
三段论．
2．三段论
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
“三段论”的结论
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断
“三段论”的表示
①大前提：
M是P；
②小前提：
S是M；
③结论：
S是P
[点睛] 用集合的观点理解三段论
若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.
[小试身手]
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）“三段论”就是演绎推理．（ ）
（2）演绎推理的结论是一定正确的．（ ）
（3）演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．（ ）
答案：
（1）×
（2）× （3）×
2．平行于同一直线的两直线平行，因为a∥b，b∥c，所以a∥c，这个推理称为（ ）
A．合情推理 B．归纳推理
C．类比推理 D．演绎推理
答案：
D
3．正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x2＋1）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x2＋1）是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误的．
答案：
小前提
把演绎推理写成三段论的形式
[典例] 将下列推理写成“三段论”的形式：
（1）向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；
（2）0.33
是有理数；
（3）y＝sinx（x∈R）是周期函数．
[解]
（1）大前提：
向量是既有大小又有方向的量．
小前提：
零向量是向量．
结论：
零向量也有大小和方向．
（2）大前提：
所有的循环小数都是有理数．
小前提：
0.33
是循环小数．
结论：
0.33
是有理数．
（3）大前提：
三角函数是周期函数．
小前提：
y＝sinx（x∈R）是三角函数．
结论：
y＝sinx（x∈R）是周期函数．
用三段论写推理过程的技巧
（1）关键：
用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．
（2）何时省略：
有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提、小前提都省略．
（3）如何寻找：
在寻找大前提时可找一个使结论成立的充分条件作大前提．
[活学活用]
下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（ ）
A．大前提：
无限不循环小数是无理数；小前提：
π是无理数；结论：
π是无限不循环小数
B．大前提：
无限不循环小数是无理数；小前提：
π是无限不循环小数；结论：
π是无理数
C．大前提：
π是无限不循环小数；小前提：
无限不循环小数是无理数；结论：
π是无理数
D．大前提：
π是无限不循环小数；小前提：
π是无理数；结论：
无限不循环小数是无理数
解析：
选B 对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式.
演绎推理在几何中的应用
[典例] 如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求证：
DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
[解]
（1）同位角相等，两直线平行，（大前提）
∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD=∠A，（小前提）
所以DF∥AE.（结论）
（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）
DE∥BA且DF∥EA，（小前提）
所以四边形AFDE为平行四边形．（结论）
（3）平行四边形的对边相等，（大前提）
DE和AF为平行四边形的对边，（小前提）
所以ED=AF.（结论）
几何证明中应用演绎推理的两个关注点
（1）大前提的正确性：
几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提正确，才能得到正确的结论．
（2）大前提可省略：
在几何证明问题中，每一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．
提醒：
在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误．
[活学活用]
如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证：
EF∥平面BCD.
证明：
三角形的中位线平行于底边，大前提
点E，F分别是AB，AD的中点，小前提
所以EF∥BD.结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，
则这条直线与此平面平行，大前提
EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提
所以EF∥平面BCD.结论
演绎推理在代数中的应用
[典例] 已知函数f（x）＝ax＋
（a＞1），求证：
函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数．
[证明] 对于任意x1，x2∈（－1，＋∞），且x1＜x2，若f（x1）＜f（x2），则y＝f（x）在（－1，＋∞）上是增函数．（大前提）
设x1，x2∈（－1，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝ax1＋
－ax2－
＝ax1－ax2＋
－
＝ax1－ax2＋
，
∵a＞1，且x1＜x2，∴ax1＜ax2，x1－x2＜0.
又∵x1＞－1，x2＞－1，∴（x1＋1）（x2＋1）＞0.
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．（小前提）
∴函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数．（结论）
应用演绎推理解决的代数问题
（1）函数类问题：
比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．
（2）导数的应用：
利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．
（3）三角函数的图象与性质．
（4）数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质．
（5）不等式的证明．
[活学活用]
已知函数f（x）＝x2－alnx在区间[1,2]内是增函数，g（x）＝x－a
在区间（0,1]内是减函数，则a＝______.
解析：
f′（x）＝2x－
，依题意f′（x）≥0，x∈[1,2]，
即a≤2x2，x∈[1,2]．
因为上式恒成立，所以a≤2.①
又g′（x）＝1－
，
依题意g′（x）≤0，x∈（0,1]，
即a≥2
，x∈（0,1]．
因为上式恒成立，所以a≥2.②
由①②得a＝2.
答案：
2
层级一 学业水平达标
1．下面说法：
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个D．4个
解析：
选C ①③④都正确．
2．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是（ ）
A．三段论推理B．假言推理
C．关系推理D．完全归纳推理
解析：
选A ∵三角形两边相等，则该两边所对的内角相等（大前提），在△ABC中，AB＝AC，（小前提），∴在△ABC中，∠B＝∠C（结论），符合三段论推理规则，故选A.
3．推理过程“大前提：
__________，小前提：
四边形ABCD是矩形．结论：
四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是（ ）
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
解析：
选B 由三段论的一般模式知应选B.
4．若大前提是：
任何实数的平方都大于0，小前提是：
a∈R，结论是：
a2＞0，那么这个演绎推理出错在（ ）
A．大前提B．小前提
C．推理过程D．没有出错
解析：
选A 要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：
任何实数的平方都大于0，它是不正确的．
5．在证明f（x）＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：
①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f（x）＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f（x）＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是（ ）
A．①④B．②④
C．①③D．②③
解析：
选A 根据三段论特点，过程应为：
大前提是增函数的定义；小前提是f（x）＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f（x）＝2x＋1为增函数，故①④正确．
6．求函数y＝
的定义域时，第一步推理中大前提是
有意义时，a≥0，小前提是
有意义，结论是____________．
解析：
由三段论方法知应为log2x－2≥0.
答案：
log2x－2≥0
7．某一三段论推理，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断，该三段论的另一前提必为________判断．
解析：
根据三段论的特点，三段论的另一前提必为否定判断．
答案：
否定
8．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：
_______________________________________________________________.
小前提：
___________________________________________________________________.
结论：
_____________________________________________________________.
解析：
本题忽略了大前提和小前提．大前提为：
一次函数的图象是一条直线．小前提为：
函数y＝2x＋5为一次函数．结论为：
函数y＝2x＋5的图象是一条直线．
答案：
①一次函数的图象是一条直线 ②y＝2x＋5是一次函数 ③函数y＝2x＋5的图象是一条直线
9．将下列演绎推理写成三段论的形式．
（1）菱形的对角线互相平分．
（2）奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．
解：
（1）平行四边形的对角线互相平分（大前提）；
菱形是平行四边形（小前提）；
菱形的对角线互相平分（结论）．
（2）一切奇数都不能被2整除（大前提）；
75是奇数（小前提）；
75不能被2整除（结论）．
10．下面给出判断函数f（x）＝
的奇偶性的解题过程：
解：
由于x∈R，且
＝
·
＝
＝
＝－1.
∴f（－x）＝－f（x），故函数f（x）为奇函数．
试用三段论加以分析．
解：
判断奇偶性的大前提“若x∈R，且f（－x）＝－f（x），则函数f（x）是奇函数；若x∈R，且f（－x）＝f（x），则函数f（x）是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f（x）满足f（－x）＝－f（x）．层级二 应试能力达标
1．《论语·学路》篇中说：
“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（ ）
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理D．一次三段论
解析：
选C 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
2．有这样一段演绎推理：
“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为（ ）
A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．非以上错误
解析：
选C 用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．
3．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是点B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的（ ）
A．AC⊥β
B．AC⊥EF
C．AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D．AC与α，β所成的角相等
解析：
选D 只要能推出EF⊥AC即可说明BD⊥EF.当AC与α，β所成的角相等时，推不出EF⊥AC，故选D.
4．f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）＋f（x）＜0.对任意正数a，b，若a＜b，则必有（ ）
A．bf（a）＜af（b）B．af（b）＜bf（a）
C．af（a）＜f（b）D．bf（b）＜f（a）
解析：
选B 构造函数F（x）＝xf（x），
则F′（x）＝xf′（x）＋f（x）．
由题设条件知F（x）＝xf（x）在（0，＋∞）上单调递减．
若a＜b，则F（a）＞F（b），即af（a）＞bf（b）．
又f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，
所以bf（a）＞af（a）＞bf（b）＞af（b）．故选B.
5．已知函数f（x）＝a－
，若f（x）为奇函数，则a＝________.
解析：
因为奇函数f（x）在x＝0处有定义且f（0）＝0（大前提），而奇函数f（x）＝a－
的定义域为R（小前提），所以f（0）＝a－
＝0（结论）．解得a＝
.
答案：
6．已知f（1,1）＝1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*），且对任意m，n∈N*都有：
①f（m，n＋1）＝f（m，n）＋2；②f（m＋1,1）＝2f（m,1）给出以下三个结论：
（1）f（1,5）＝9；
（2）f（5,1）＝16；（3）f（5,6）＝26.
其中正确结论为________．
解析：
由条件可知，
因为f（m，n＋1）＝f（m，n）＋2，且f（1,1）＝1，
所以f（1,5）＝f（1,4）＋2＝f（1,3）＋4＝f（1,2）＋6＝
f（1,1）＋8＝9.
又因为f（m＋1,1）＝2f（m,1），
所以f（5,1）＝2f（4,1）＝22f（3,1）＝23f（2,1）
＝24f（1,1）＝16，
所以f（5,6）＝f（5,1）＋10＝24f（1,1）＋10＝26.
故
（1）
（2）（3）均正确．
答案：
（1）
（2）（3）
7．已知y＝f（x）在（0，＋∞）上有意义、单调递增且满足f
（2）＝1，f（xy）＝f（x）＋f（y）．
（1）求证：
f（x2）＝2f（x）；
（2）求f
（1）的值；
（3）若f（x）＋f（x＋3）≤2，求x的取值范围．
解：
（1）证明：
∵f（xy）＝f（x）＋f（y），（大前提）
∴f（x2）＝f（x·x）＝f（x）＋f（x）＝2f（x）．（结论）
（2）∵f
（1）＝f（12）＝2f
（1），（小前提）
∴f
（1）＝0.（结论）
（3）∵f（x）＋f（x＋3）＝f（x（x＋3））≤2＝2f
（2）
＝f（4），（小前提）
函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，（大前提）
∴
解得0＜x≤1.（结论）
8．已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明
＜
.
证明：
因为不等式（两边）同乘以一个正数，不等号不改变方向，（大前提）
b＜a，m＞0，（小前提）
所以mb＜ma.（结论）
因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，（大前提）
mb＜ma，（小前提）
所以mb＋ab＜ma＋ab，即b（a＋m）＜a（b＋m）．（结论）
因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，（大前提）
b（a＋m）＜a（b＋m），a（a＋m）＞0，（小前提）
所以
＜
，即
＜
.（结论）
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