春季学期新版新人教版八年级数学下学期182特殊的平行四边形教案10.docx
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春季学期新版新人教版八年级数学下学期182特殊的平行四边形教案10
特殊的平行四边形、梯形
二.重点、难点:
1.学习重点:
(1)理解矩形、菱形、正方形的特性。
(2)理解等腰梯形的特性。
2.学习难点:
(1)理解几种特殊平行四边形与普通平行四边形的区别与联系。
(2)理解等腰梯形与平行四边形、等腰三角形之间的关系。
【典型例题】
一.矩形:
1.矩形的概念:
有一个内角是直角的特殊的平行四边形,就是矩形,也就是以前常说的长方形。
如图1:
2.矩形的特性:
矩形是平行四边形,因此平行四边形所有的性质,矩形都有,但矩形是特殊的平行四边形。
因此,它还有一些特性。
(1)矩形是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,因此可知矩形有两条对称轴。
(2)矩形的四个角都是直角。
实际上,如图1所示,若∠BAD是直角,由AD//BC知∠ABC是直角,由AB//DC知∠ADC是直角。
同理可知,∠DCB是直角,故矩形四个角都是直角。
(
3)矩形的对角线相等且互相平分。
矩形是平行四边形,故其对角线互相平分。
在图中,矩形的四个角是直角,如果绕着对角线的交点O旋转,会发现将其旋转∠COD的度数,AC与BD将会重合,故其长度相等。
例1.矩形ABCD的两条对角线交于点O,且∠AOD=120°,证明:
AC=2AB。
证明:
在△AOD中,∠AOD=120°,故其补角∠AOB=60°
即有OA=OB
而∠AOB=60°
故△AOB是等边三角形
有OA=OB=AB
故AC=2AO=2AB
3.矩形的识别方法:
(1)如果在一个平行四边形中,能找到一个角是直角,则其是矩形。
如图3,先判定四边形ABCD是平行四边形,再判定其中有一个角是直角。
(2)如果在一个平行四边形中,其对角线相等,则此平行四边形是矩形。
如图3,如果在平行四边形ABCD中,有AC=BD,则平行四边形ABCD是矩形。
(3)如果在一个四边形中,有三个角是直角,则此四边形是矩形。
如图3,如果在四边形ABCD中,∠ABC,∠ADC,∠CBA,∠CBA,∠CDA中
有三个角是直角,则四边形ABCD是矩形。
例2.说明:
平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形是矩形。
分析:
此题应先作图,再写已知,最后说明。
已知:
如图4所示,在平行四边形ABCD中,AE、BF、CN、DM分别是∠DAB、∠A
BC、∠BCD、∠CDA的平分线。
说明:
四边形HGO
K是矩形
解:
在平行四边形ABCD中,AB//CD
所以∠DAB+∠ADC=180°
因为AE、DM是∠DAB、∠ADC的平分线
所以∠1+∠2=90°,所以∠AKD=90°
所以∠OKH=90°
同理,∠AOG=∠CHD=90°
故四边形HGOK是矩形
二.菱形:
1.菱形的概念:
四条边都相等的平行四边形就是菱形,如图5所示,四边形ABCD就是菱形。
菱形即是中心对称图形,也是轴对称图形,对称轴为它的对角线所在的直线,共有两条对称轴。
2.菱形的性质:
(1)菱形的对角线互相垂直平分
如图5所示,在菱形ABCD中,AO=OC,OB=OD,且AC⊥BD。
(2)菱形的两条对角线将其分成四个完全相等的三角形。
如图5所示:
在菱形ABCD中,△ABO、△BCO、△CDO、△ADO是全等的,故四个小三角形的面积也相等。
例3.如图6所示,在菱形ABCD中,∠BAD=2∠B,试说明△ABC是等边三角形。
解:
因为四边形ABCD是菱形,所以AB=BC
又∠B+∠BAD=180°
而∠BAD=2∠B
故∠B=60°
在等腰△ABC中,∠B=60°
故△ABC是等边三角形
3.菱形的识别方法:
(1)用定义识别:
四条边都相等的四边形是菱形。
如图5,如果在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,则四边形ABCD是菱形。
(2)对角线识别:
如果平行四边形的对角线互相垂直平分,则四边形ABCD是菱形。
如图5,在平行四边形ABCD中,如果AC⊥BD,则四边形ABCD是菱形。
(3)有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
如图5,在平行四边形ABCD中,如果AB=AD,或AD=DC,或DC=CB,或CB=AB,则四边形ABCD是菱形。
例4
.如图7,AD是△ABC的角平分线,DE//CA交AB于E,DF//BA交AC于F。
求证:
四边形AEDF是菱形
证明:
在四边形AEDF中,
因DE//AC,故DE//AF
因DF//AB,故DF//AE
所以四边形AEDF是平行四边形
又AD平分∠BAC,∠1=∠2
而AB//DF,知∠1=∠ADF
故∠2=∠ADF
△AFD是等腰三角形,AF=DF
由识别方法3知,四边形AEDF是菱形。
三.正方形:
正方形是以前早就认识的特殊图形,在正方形中,四条边都相等,四个角都是直角,所以正方形可以看作:
有一角
是直角的菱形。
有一组邻边相等的矩形。
它拥有菱形、矩形的一切特性。
正方形既是中心对称图形,又是轴对称图形,它共有四条对称轴。
在正方形中,对角线之间的夹角是90°,对角线与边的夹角是45°。
例5.如图8,四边形ABCD是正方形,延长BC到点E,使CE=AC,连结AE,交CD于F,求∠AFC的度数。
解:
在正方形ABCD中,AC是对角线,故∠ACB=45°
而AC=CE,故∠CAE=∠CEA,且∠CAE+∠CEA=∠BCA=45°
故∠E=22.5°
而∠AFC是△CEF的一个外角
故∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°
四.梯形:
1.定义:
只有一组对边平行的四边形叫梯形,即梯形中有一组对边不平行,两腰相等的梯形是等腰梯形,有一个角是直角的梯形是直角梯形。
实际上,梯形可以看作是由一个平行四边形和一个三角形组合而成。
如图9所示,梯形ABCD可看作由平行四边形ABED和△DEC组合而成。
另外,梯形也可看作是过三角形一边上一点作另一边平行而得到的,如图10。
在△ABC中,DE//BC,可知四边形BCED是梯形。
2.等腰梯形的性质:
(1)等腰梯形同一底边上的两个底角相等。
如图11,在等腰梯形ABCD中,∠BAD=
∠ADC,∠ABC=∠BCD。
(
2)等腰梯形的两条对角线相等。
在图11中,如果四边形ABCD是等腰梯形,则有AC=BD。
例6.如图12,延长等腰梯形ABCD的两腰BA与CD,相交于点E,试说明△EBC和△EAD都是等腰三角形。
解:
因为四边形ABCD是等腰梯形,所以∠B=∠C。
在△EBC中,有EB=EC
因此,△EBC是等腰三角形
又AB=DC
故EB-AB=EC-DC
即EA=ED
故△EAD是等腰三角形
例7.如图13,在等腰梯形ABCD中,AB//DC,CE//DA,已知AB=8,DC=5,DA=6,求△CEB的周长。
解:
因为AB//DC,CE//DA,故四边形AECD是平行四边形
从而CE=DA=CB=6,AE=DC=5
EB=AB-AE=8-5=3
于是△CEB的周长为CE+EB+BC=6+3+6=15
例8.如图14,梯形ABCD中,AD//BC,∠B=50°,∠C=80°,试说明BC-AD=CD。
解:
过点A作AE//DC交BC于E
所以,∠AEB=∠C=80°
又∠B=50°
故∠BAE=180°-50°-80°=50°
∠BAE=∠B,AE=BE
又AD//BC,故AD//EC
四边形ADCE是平行四边形,AD=EC,AE=DC
故BC-AD=BC-EC=BE=AE=DC
[本课小结]
1.本课主要讲解了矩形、菱形、正方形、梯形的特殊性质及矩形、菱形、正方形的识别方法,在整个过程中主要以基础知识为主,希望同学们掌握这些特殊图形的基础知识。
2.本课另外还研究了矩形、菱形、正方形及梯形之间的内在联系与区别,请同学们在学习时引起重视。
【模拟试题】
1.矩形ABCD中对角线AC、BD相交于O,过顶点C作BD的平行线与AD的延长线相交于点E,
试说明△ACE是等腰三角形。
2.如图,菱形ABCD中,AE⊥BC于E,若∠BAE=20°,试求∠EAC的度数。
3.在Rt△ABC中,CF是直角平分线,FD⊥CA于D,FE⊥CB于E,四边形CDFE是什么四边形?
为什么?
4.在梯形ABCD中,AB//CD,AD=BC,延长AB至E,使BE=DC。
求证:
AC=CE
5.从菱形的两条对角线的交点分别向各边作垂线,说明:
连结垂足的四边形是矩形。
【试题答案】
1.
解:
在矩形AB
CD中,AC=DB,故
即
,有∠ODA=∠OAD
同理,∠OCB=∠OBC
又AD/
/CB,∠ADO=∠OBC
故∠ADO=∠DAO
而EC//DB,故∠E=∠ADO
所以∠E=∠DAO=∠EAC
△EAC是等腰三角形
2.
解:
因AE⊥BC,而∠BAE=20°
故在三角形BAE中,∠B=70°
又四边形ABCD是菱形,故BA=BC,∠BAC=∠BCA
又∠BAE=20°
故∠EAC=35°
3.
解:
在四边形CDFE中,
FD⊥CA,故∠FDC=90°
FE⊥CB,故∠FEC=90°
又∠ECD=90°
故四边形FECD是矩形
又CF是∠ECD是角平分线,故
∠ECF=45°,∠CEF=90°
故∠CFE=45°
△CEF是等腰三角形,EC=EF
故四边形EFDC是正方形
4.
证:
在四边形BEDC中,BE=DC,又BE//DC
故四边形BEDC是平行四边形
有CE=BD
而在梯形ABCD中,AD=BC,故BD=AC
所以CE=AC
5.
解:
在菱形ABCD中BD、AC是对角线,故AC平分∠BAD
即∠EAO=∠NAO
又∠AEO=∠ANO=90°
故∠AOE=∠AON
由上面三组角的关系知道,△AON和△AOE对称。
有ON=OE,△EON是等腰三角形
而∠NOP=∠EOP,由三线合一知,OP⊥EN,OA⊥EN
同理:
OC⊥MF,MF//EN
OB⊥EM,OD⊥NF,EM//NF
∴四边形EMFN是平行四边形
而在菱形ABCD中,
由ON=OE的推理知:
OM=OF
故EO
+OF=ON+OM
EF=MN
在平行四边形EFNM中,EF=MN,故其是矩形。