BiiBjjBjiBij。
b和c是三个矢量，试证明:
b
b
b
[a,b,c]2
aia
aib
aiC
a1
a2
a3
a1
证:
因为
ba
bibi
bc
b1
b2
bs
a2
ca
Cibi
CC
C1
C2
C3
a3
所以
a
ia
aib
ac
a1
a2
a3
a1
bi
det
ba
bib
biC
det（
b1
b2
b3
a2
b2
ca
Cib
CC
C1
C2
c
a3
b3
aa
ab
ac
aiai
abi
aiCi
a1
a2
a3
即得
ba
bb
bc
bai
bbi
bici
b
b2
b3
ca
cb
cc
cai
cbi
CiCi
C1
C2
C3
b2
b3
Ci
c2
a2
a3
b、c和d是四个矢量，证明:
bi
Ci
C2
C3
a1a2a3
a〔dC1
b1b2b3
a?
b?
C2
C1C2C3
a3b3C3
2.4设a、
（ab）（cd）（ac）（bd）（ad）（bc）证明：
（ab）（cd）
bi
b2
b3
C2
C3
[a,b,c]2。
2.5设有矢量Uue。
原坐标系绕z轴转动求矢量U在新坐标系中的分量。
答案：
U1
U1cos
U2sin
U2
U1sin
U2cos
U3
U3。
角度，得到新坐标系，如图2.4所示。
试
2.6设有二阶张量TTje
ej。
当作和上题相同的坐标变换时，试求张量
T在新坐标系
中的分量Tii、T12、Ti3和T33。
提示：
坐标变换系数与上题相同。
答案：
T1
T11T22
T1T22cos2
2
2
T2T21
T2T21
T2
--cos2
2
2
T3
T13cos
Esin，
T33
T33。
T12T2i
-—sin2
2
T—Ti
2_
sin2
2.7设有3'个数Aii2in，对任意口阶张量Bjij2jm，定义
Ciii2inj1j2jm
Aiii2i
Bjij2
jm
iii2injij2
jm
m阶张量，试证明
Aii2in是n阶张量。
证：
为书写简单起见，取n2，m2，则
2.8设A为二阶张量，试证明IAtrA
证：
2.9设a为矢量，A为二阶张量，试证明：
（1）
aA
（ATa）T，
（2）Aa
（aAT）T
证:
（1）
（ATa）T
（Ajieiej
ake）
（Ajieiakejknen）
（Ajiakejknei
en）T
Ajnakejkie
en
akekAjnej
ena
A。
证:
（2）
（aAT）T
2.10已知张量T具有矩阵
123
[T]456
789
求T的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。
解：
2.11已知二阶张量T的矩阵为
310
[T]130
001
求T的特征值和特征矢量。
解：
2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：
AImm，Bmnnm
其中，和是实数，m和n是两个相互垂直的单位矢量。
解：
因为
Am（Imm）m（）m，
所以m是A的特征矢量，是和其对应的特征值。
设a是和m垂直的任意单
位矢量，则有
Aa（Imm）aa
所以和m垂直的任意单位矢量都是A的特征矢量，相应的特征值为，显然是特
n），
n），8=e2es
征方程的重根。
e2+e3）
则有
mT（e2+e3），nT（e2+e3）
上面定义的ei是相互垂直的单位矢量。
张量B可以表示成
B0e1ee2e2+e3e3
所以，三个特征值是1、0和—1,对应的特征矢量是e3、&和e2。
2.13设a和b是矢量，证明:
（1）
（a）
（a）
2
a
（2）
（ab）
b（a）a
（b）a（
b）b（
a）
证：
（
1）
（2）
2.14设a
2
x2yze1
2xz3e2xz:
2e3，求w
1（a
a）及其轴向矢量。
解：
w»（a
a）
1
2[（x
2z2z3）ei
e2（x2y
z2）e1
e3（2z3x2z）e2&
6xz2e2e3（z2x2y）e3ei6xz2®氏］
由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量
37a占［6xz2ei（x2yz2）e2（2z3x2z）q］。
2.15设S是一闭曲面，r是从原点0到任意一点的矢径，试证明：
⑴若原点O在S的外面，积分n^dS0;r3
S
⑵若原点O在S的内部，积分njldS4。
S「3
证：
⑴当r0时，有
（勺一（勺0⑼
r3Xir3
因为原点在S的外面，上式在S所围的区域V中处处成立，所以由高斯公式得
（r?
）dv0。
⑵因为原点在S的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为a的球面S完
全在S的内部。
用V表示由S和S所围的区域，在V中式（b）成立，所以
在S上,
背dS*）dV0
SV
S0
S^dS
r/a，于是
isdS4
2.16设fye（x2xz）e2xy*,试计算积分（f）ndS。
式中S是球面
S
x2y2z2a2在xy平面的上面部分.
解：
用c表示圆x2y2a2,即球面x2y2z2a2和xy平面的交线。
由Stokes公式得
（f）ndS蜒drydxxdy0。
Scc
AVV*
第二早
3.1
设r是矢径、u是位移,
求Q%，并证明:
dr
Ui,j
=1时，型％是一个可逆
dr
的二阶张量。
解:
坐北屯i
drdrdr
di%
dr
3.2
坐可逆。
dr
设位移场为
称张量
u
（u
Ar，这里的A是二阶常张量，即A和r无关。
求应变张量&、反对u）/2及其轴向矢量
1（AAT），Q1（AAT），
£、
3.3
1
ue；
2
Ajkejekxel
1
—Ajkejmem
2jj
设位移场为uA
（1）变形前的直线在变形后仍为直线；
ek
11
iie—AjkQmemki—A；ejmem
22
这里的A是二阶常张量，且ui,j=1。
请证明:
Iu的行列式就是书中的式（3.2），当u,j=1时，这一行列式大于零，所以
（2）变形前的平面在变形后仍然是一个平面；
（3）变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。
证：
（1）方向和矢量a相同且过矢径为ro的点的直线方程可以写成
rtaro
其中t是可变的参数。
变形后的矢径为
⑵
%rurAr（IA）r
用IA点积式
（1）的两边，并利用式
（2）,得
%t（IA）a（IA）ro
上式也是直线方程，所表示的直线和矢量所以变形前的直线变形后仍然是直线。
（IA）a平行，过矢径为（IA）ro的点。
⑵因为s,j=1，所以IA可逆。
记B（IA）1，则
r（IA）1%B%（3）
变形前任意一个平面的方程可以表示成
arc（4）
其中a是和平面垂直的一个常矢量，c是常数。
将式（3）代入式（4），得
（aB）%c（5）
上式表示的是和矢量aB垂直的平面。
所以变形前的平面在变形后仍然是平面。
（3）变形前两个平行的平面可以表示成
arC1，arC2
变形后变成
（aB）%C1，（aB）%C2
仍是两个平行的平面。
3.4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。
答案：
能；能。
3.5设位移场为uAr，其中A是二阶常张量，n和m是两个单位矢量，它们之间的夹角为。
求变形后的减小量。
1
答案：
n（AAt）mctg（nAnmAm）。
sin
3.6设n和m是两个单位矢量，drndr和rmr是两个微小的矢量，变形前它们所张的平行四边形面积为Adrr，试用应变张量把变形时它的面积变化率
A/A表示出来，其中A是面积变形前后的改变量。
解：
变形后，dr和r变成
dr%dredr®dr，%r&r®r
对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得
d%%drrdrerdrr对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得（d%i%（d%%
（drr）（drr）2（drer）（drr）2（drr）（drr）（a）注意到
（dr%%（d%%（AA）2A22（A）A
（drr）（drr）A
所以，从式（a）可得
A（drer）（drr）（dr&r）（drr）
A（drr）（drr）
（nem）（nm）（nem）（nm）
（nm）（nm）
利用习题2.4中的等式，上式也可写成
Anen2（nem）（nm）mem
A1（nm）2
3.7设在一个确定的坐标系中的应变分量为ij,让坐标系绕Z轴转动角，得一个新的坐
标系，求在新坐标系中的应变分量。
答案：
3.8
3.9
xzCOS
在Oxy平面上,
如图3.9所示,
伸长度
答案：
--COS2
2
亍cos2
sin2
xysin2
xysin2
xycos2，
yzSin
Oa、Ob、Oc和x轴正方向之间的夹角分别为
xzsin
yzCOS
0°、60°、120°，
这三个方向的正应变分别为
ab
n
3
d^sin2
3
试说明下列应变分量是否可能发生：
22
xaxy2，yax2y，zaxy，yzay2bz2，xzax2by2，
-cos2
xy
b和c。
求平面上任意方向的相对
其中a和b为常数。
解：
3.10确定常数Ao,A,Bo,Bi,Co,Ci,C2之间的关系，使下列应变分量满足协
调方程
xA0A（x2y2）x4y4，
yBoB（x2y2）x4y4，
xyCoCixy（x2y2C2），
zy
zx
解：
3.11若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写岀位移的一般表达式＜解：
（由于应变张量&和空间位置无关，所以书中的式（3.36a）简化成……）
3.12设xax,yby,zcz,刈yzzxo，其中a,b,c是常量，求位移的一般表达式。
解：
第四章
4.1已知物体内一点的六个应力分量为：
x50a
y
0,
z
30a,yz
75a,zx80a,xy50a
试求法线方向余弦为n
1
12
1
n22，n3
吉的微分面上的总应力T、正应力n和
剪应力n
。
答案：
总应力T
-..T2
T22
T32
111.8a。
正应力n
Tm
26.04a
o
剪应力n
T2
2
n
108.7a。
4.2过某点有两个面，
它们的法向单位矢量分别为
n和m,在这两个面上的应力矢量分别
为Ti和T2，试证TimT2n。
证：
（利用应力张量的对称性……）
4.3某点的应力张量为
x
xy
xz
yx
y
yz
zx
zy
z
且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求
y及该平面的单位法向矢量
解：
设要求的单位法向矢量为n，则按题意有
jn0
即
n2
2n30，nyn2n30，2n1
上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得
（2y2）n2
上式有两个解：
n20或y1。
若n2
n20
（a）
n1n30，
可求得
这是不可能的。
所以必有
0，则代入式（a）中的三个式子，可得
1。
将y1代入式（a），利用nn1，
ei2e2e3
飞。
4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由,
4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图试验证应力分量
yarctg
x
亠C）
x2y2
A（
yarctg
x
xy
匕B）
y2
xyA2
x2y2
满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数
A、B和C。
解：
将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们
满足平衡方程。
在y0的边界上，有边界条件
yz
xz0，
图4.8
（y）y0q，所给的应力分量件，得
ABq
在上斜面上，有
y的表达式代入上面的第一个条
（xy）y00
xy自动满足上面的第二个条件。
（1）
yxtg，所以斜面上的应力分量可以简化成
4.5
4.6
xA（sincosC），xyAsin2，zyz
斜面上的外法向方向余弦为
xz
xA（
0
sin
cosB），
rnsin，n2cos
将式
（2）和（3）代入边界条件
n3
0
0，得
A（sincos）ABcos
联立求解
（1）和⑷，得
A—q，Btg
tg
图4.9表示一三角形水坝，
xaxby，ycx
yzxz0，xy
已求得应力分量为
dy，z0，
dxayx
和i分别是坝身和水的比重。
求常数使上述应力分量满足边界条件。
解：
在x0的边界上，有边界条件
（x）x01y，（xy）x00
将题中的应力分量代入上面两式，可解得：
b1o
在左侧的斜面上，xytg，外法向方向余弦为
nicos，门2sin，g0
把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件
unj
0，可解得:
d1ctg2，cctg（21ctg2）o
物体的表面由f（x,y,z）0确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷p（x,y,z），试写出其边界条件。
解：
物体表面上任意一点的外法向单位矢量为
按题意，边界条件为
^npn
因此
dfPf
即df
..ff.ff
上式的指标形式为
ijf,jpf,i。
4.7如图4.10所示，半径为a的球体，一半沉浸在密度为的液体内，试写出该球的全
部边界条件
解：
球面的外法向单位矢量为
当z0时，有边界条件
dn0即dr0或
当z0时，球面上的压力为
ngzn即dr
ijXj0。
gz，其中g为重力加速度，边界条件为
gzr或ijXjgzx。
4.8物体的应力状态为ij有势力，即存在一个函数
j，其中为矢径r的函数。
（1）证明物体所受的体积力是，使f;
（2）写出物体表面上的面力表达式。
解：
（1）应力场必须满足平衡方程，所以
fdI,eiI,ie所以，只要令，就有f。
（2）表面上的面力为
TndnIn或Tnjo
4.9已知六个应力分量ij中的3i0，求应力张量的不变量并导岀主应力公式。
解：
应力张量的三个不变量为：
I,xy，I2xyX；，I30O特征方程是
3Il2I2（2Il12）0
上式的三个根即三个主应力为0和
2
xy
4.10已知三个主应力为角形，其法向单位矢量为□二，n2
323
求八面体各个面上的正应力
n3
，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三
53
0和剪应力
解：
oijnnj
5（1
23），
Tmei.
T2T
Ti2n2
2）2
（23）2（31）2。
4.11某点的应力分量为
ii
22
33
0，122331，求:
（1）过此点法向为
e2
e3）的面上的正应力和剪应力;
（2）主方向、主应力、
最大剪应力及其方向。
解:
（1）T
T2
正应力为
剪应力为
由此可知,
是主应力,
1
——（©ee3）是和其对应的主方向。
（2）用表示主应力，则
）2（
所以，三个主应力是
。
由上面的结论可知，和1对应的主
方向是n，又因为2
是重根，所以和n垂直的任何方向都是主方向。
升级会员 