八年级上 最小值问题教师用卷.docx

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八年级上最小值问题教师用卷

八年级上最小值问题

副标题

题号

一

二

三

四

总分

得分

一、选择题（本大题共5小题，共15.0分）

1.多项式5x2-4xy+4y2+12x+25的最小值为（　　）

A.4B.5C.16D.25

【答案】C

【解析】解：

∵5x2-4xy+4y2+12x+25，

=x2-4xy+4y2+4x2+12x+25，

=（x-2y）2+4（x+1.5）2+16，

∴当（x-2y）2=0，4（x+1.5）2=0时，原式最小，

∴多项式5x2-4xy+4y2+12x+25的最小值为16，

故选：

C．

根据配方法将原式写成完全平方公式的形式，再利用完全平方公式最值得出答案．

此题主要考查了完全平方公式的应用，正确的将原式分解为两个完全平方公式是解决问题的关键．

2.如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（　　）

A.2005B.2006C.2007D.2008

【答案】A

【解析】解：

p=a2+2b2+2a+4b+2008，

=（a2+2a+1）+（2b2+4b+2）+2005，

=（a+1）2+2（b+1）2+2005，

当（a+1）2=0，（b+1）2=0时，p有最小值，

最小值最小为2005．

故选A．

把p重新拆分组合，凑成完全平方式的形式，然后判断其最小值．

此题主要考查了完全平方式的非负性，即完全平方式的值是大于等于0的，它的最小值为0，所以在求一个多项式的最小值时常常用凑完全平方式的方法进行求值．

3.小萌在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，得到正确结果，不小心把最后一项染黑了，你认为这一项是（　　）

A.5y2B.10y2C.100y2D.25y2

【答案】D

【解析】解：

∵20xy=2×2x×5y，

∴染黑的部分是（5y）2=25y2．

故选D．

根据乘积二倍项先找出两个数为2x和5y，再根据完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2，把另一个数5y平方即可．

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．

4.如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是（　　）

A.a+1B.a2+1C.a2+2a+1D.a+2+1

【答案】D

【解析】解：

∵自然数a是一个完全平方数，

∴a的算术平方根是，

∴比a的算术平方根大1的数是+1，

∴这个平方数为：

（+1）2=a+2+1．

故选D．

当两个完全平方数是自然数时，其算术平方根是连续的话，这两个完全平方数的差最小．

解此题的关键是能找出与a之差最小且比a大的一个完全平方数是紧挨着自然数后面的自然数：

+1的平方．

5.如图，点P是∠AOB任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为（）

A.140°B.100°C.50°D.40°

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等腰三角形的性质；熟练掌握轴对称的性质是解决问题的关键．分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出，利用等腰三角形的性质，即可得出结果．  

【解答】

解：

分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD， 

分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：

∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C， 

∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA； 

∵点P关于OB的对称点为C， 

∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB， 

∴OC=OP=OD，=40°， 

∴∠COD=80°，

∵△PMN周长=PM+PN+MN=DM+CN+MN， 

∴当D、M、N、C在一条直线上时，△PMN周长取最小值， 

∵PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，， 

∴△OPN≌△OCN，△OPM≌△ODM，

∴∠OPN=∠OCN，∠OPM=∠ODM， 

∴∠MPN=∠OCN+∠ODM，

∵OC=OD， 

∴∠OCN=∠ODM=50°,

∴∠MPN=100°； 

故选B． 

二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）

6.多项式x2+y2-6x+8y+7的最小值为______．

【答案】-18

【解析】解：

原式=（x-3）2+（y+4）2-18，

当两完全平方式都取0时原式取得最小值=-18．

故答案为：

-18．

将原式配成（x-3）2+（y+4）2-18的形式，然后根据完全平方的非负性即可解答．

本题考查完全平方式的知识，难度不大，注意运用完全平方的非负性解答．

7.已知0≤x≤1．

（1）若x-2y=6，则y的最小值是______；

（2）若x2+y2=3，xy=1，则x-y=______．

【答案】-3；-1

【解析】解：

（1）∵x-2y=6，

∴y=-3，

∵＞0，

∴此函数为增函数，

故x=0时，y有最小值，

y最小=-3．

（2）∵0≤x≤1，xy=1，

∴x、y互为倒数，

∵x2+y2=3，xy=1，

∴（x-y）2=x2+y2-2xy=3-2=1，

∴x-y=±1，

∵x、y互为倒数，

∴x-y=x-，

∵0≤x≤1，

∴≥1，

∴x-y≤0，

∴x-y=-1．

故答案为：

-1．

（1）把x-2y=6转化为关于x、y的一次函数，再根据一次函数的性质解答即可．

（2）先判断出x、y的关系，再根据完全平方公式求出x-y的值，舍去不合题意的即可．

本题考查了完全平方公式，比较复杂，还利用了一次函数的增减性及完全平方公式、倒数的概念等．

8.小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为4a2-12ab+_____，你觉得这一项应是______．

【答案】9b2

【解析】解：

∵4a2-12ab+△=（2a）2-2×2a•3b+△，

∴△=（3b）2=9b2．

故答案为：

9b2．

先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可．

本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

9.小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为4a2-12ab+●，你认为染黑这一项应该是______．

【答案】9b2

【解析】解：

∵4a2-12ab+△=（2a）2-2×2a•3b+△，

∴△=（3b）2=9b2．

故答案为：

9b2．

先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可．

本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

10.小丽在计算一个二项式的平方时，得到正确结果m2-10mn+■，但最后一项不慎被墨水污染，这一项应是______．

【答案】25n2

【解析】解：

∵m2-10mn+■是一个二项式的平方，

∴■=（5n）2=25n2，

故答案为：

25n2．

根据m2-10mn+■=（m-5n）2求出即可．

本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：

完全平方公式为：

①（a+b）2=a2+2ab+b2，②（a-b）2=a2-2ab+b2．

11.小兵计算一个二项整式的平方式时，得到正确结果4x2+20xy+（　　），但最后一项不慎被污染了，这一项应是______．

【答案】25y2

【解析】解：

∵20xy=2×2x•5y，

∴另一平方项是（5y）2，即25y2

故应填25y2．

根据乘积二倍项和已知平方项确定出另一个数，再根据完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2，把另一个数平方即可．

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，确定出另一个数是求解的关键．

12.已知△ABC的两边a，b满足a2+2b2-10a-8b+33=0，若第三边整数，则△ABC周长的最小值为______．

【答案】11

【解析】解：

∵a2+2b2-10a-8b+33=0，

∴（a-5）2+2（b-2）2=0，

∴a=5，b=2；

∴5-2＜c＜5+2，

即：

3＜c＜7．

要使△ABC周长的最小，则c=4，

∴△ABC周长的最小值是5+2+4=11．

故答案为：

11．

由a2+2b2-10a-8b+33=0，得a，b的值，然后利用三角形的三边关系求得c的取值围，得出c的数值，进一步求得答案即可．

考查了因式分解的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方．

13.如图，∠AOB=30°，∠AOB有一定点P，且OP=12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR周长最小，则最小周长是______

【答案】12

【解析】解：

设∠POA=θ，则∠POB=30°-θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．

作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．

连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．

∵OA是PE的垂直平分线，

∴EQ=QP；

同理，OB是PF的垂直平分线，

∴FR=RP，

∴△PQR的周长=EF．

∵OE=OF=OP=12，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，

∴△EOF是正三角形，

∴EF=12，

即在保持OP=12的条件下△PQR的最小周长为12．

故答案为：

12

先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．

本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．

14.一次数学活动课上，老师利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值为2”．其推导方法如下：

在面积是1的矩形中，设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+）=4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2，模仿老师的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是______．

【答案】6

【解析】解：

原式=x+．

在面积是9的矩形中，设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+），

当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），

解得x=3，

这时矩形的周长2（x+）=12最小，

因此x+（x＞0）的最小值是6．

故答案为：

6．

将原式变形为x+，根据该老师的方法，可在面积为9的矩形中寻找，按其方法可一步步得出结论等于6．

本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，将该老师矩形面积换为9，即可求得结论．

三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）

15.若a是绝对值最小的数，b是最大的负整数．先化简，再求值：

2（a2-2ab-b2）+（-a2+3ab+3b2）

【答案】解：

由题意，得a=0，b=-1，

原式=2a2-4ab-2b2-a2+3ab+3b2=a2-ab+b2，

当a=0，b=-1时，

原式=（-1）2=1．

【解析】先将原式去括号、合并同类项，再把a=0，b=-1代入化简后的式子，计算即可．

本题考查了整式的化简求值．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．

16.

（1）猜想：

试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；

（2）应用：

已知x-，求x2+的值；

（3）拓展：

代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．

【答案】解：

（1）猜想a2+b2≥2ab，理由为：

∵a2+b2-2ab=（a-b）2≥0，

∴a2+b2≥2ab；

（2）把x-=5两边平方得：

（x-）2=x2+-2=25，

则x2+=27；  

（3）x2+≥2，即最小值为2．

【解析】

（1）判断两式大小，利用完全平方公式验证即可；

（2）已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出所求式子的值即可；

（3）利用得出的规律确定出代数式的最小值即可．

此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

17.（本小题满分11分）

问题探究：

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.

（1）证明：

AD=BE；  

（2）求∠AEB的度数.

问题变式：

 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。

请求出∠AEB的度数以及判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由.

【答案】

（1）证明：

∵△ACB与△DCE是等边三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD=60°-∠CDB=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=BE；

（2）60°；

问题变式：

∠AEB=90°，AE=BE+2CM。

理由略。

【解析】

（1）先证出∠ACD=∠BCE，根据SAS得出△ACD≌△BCE，根据全等三角形得出AD=BE；

（2）由全等三角形证出∠ADC=∠BEC，求出∠ADC=120°，从而证出∠AEB=60°

问题变式：

证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，最后证出DM=ME=CM即可。

（1）证明：

∵△ACB与△DCE是等边三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD=60°-∠CDB=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=BE；

（2）解：

∵△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC，

∵△DCE为等边三角形，

∴∠CDE=∠CED=60°，

∵点A，D，E在同一条直线上，

∴∠ADC=120°，

∴∠BEC=120°，

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°；

问题变式：

∠AEB=90°，AE=BE+2CM。

理由：

∵△ACB和△DCE是等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°，

∵点A，D，E在同一条直线上，

∴∠ADC=135°，

∴∠BEC=135°，

∴∠AEB=∠BEC-∠CDE=90°，

∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME，

∵∠DCE=90°，

∴DM=ME=CM，

∴AE=AD+DE=BE+2CM。

四、解答题（本大题共19小题，共152.0分）

18.问题提出

我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：

就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N＞0，则M＞N；若M-N=0，则M=N；若M-N＜0，则M＜N．

问题解决

如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．

解：

由图可知：

M=a2+b2，N=2ab．

∴M-N=a2+b2-2ab=（a-b）2．

∵a≠b，∴（a-b）2＞0．

∴M-N＞0．

∴M＞N．

类比应用

（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．

（2）试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小（b＞c）．

联系拓广

小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？

哪种方法用绳最长？

请说明理由．

【答案】解：

类比应用

（1）-=，

∵a、b是正数，且a≠b，

∴＞0，

∴＞，

∴小丽所购买商品的平均价格比小颖的高；

（2）由图知，M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，

N1=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c，

M1-N1=2a+4b+2c-（2a+2b+4c）=2（b-c），

∵b＞c，

∴2（b-c）＞0，即：

M1-N1＞0，

∴M1＞N1，

∴第一个矩形大于第二个矩形的周长．

联系拓广

设图5的捆绑绳长为L1，则L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c，

设图6的捆绑绳长为L2，则L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c，

设图7的捆绑绳长为L3，则L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c，

∵L1-L2=4a+4b+8c-（4a+4b+4c）=4c＞0，

∴L1＞L2，

∵L3-L2=6a+4b+6c-（4a+4b+4c）=2a+2c＞0，

∴L3-L1=6a+4b+6c-（4a+4b+8c）=2（a-c），

∵a＞c，

∴2（a-c）＞0，

∴L3＞L1．

∴第二种方法用绳最短，第三种方法用绳最长．

【解析】类比应用

（1）首先得出-=，进而比较得出大小关系；

（2）由图形表示出M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，N1=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c，利用两者之差求出即可．

联系拓广：

分别表示出图5的捆绑绳长为L1，则L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c，图6的捆绑绳长为L2，则L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c，图7的捆绑绳长为L3，则L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c，进而表示出它们之间的差，即可得出大小关系．

此题主要考查了整式的混合运算以及不等式的性质，根据已知表示出绳长再利用绳长之差比较是解决问题的关键．

19.在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F．

（1）如图1，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；

      图1

小东通过观察、实验，提出猜想：

BE+CD=BC．他发现先在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可．

①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：

ⅰ）在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与____________全等，判定它们全等的依据是______________； 

ⅱ）由∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB=_______°；

……

②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE+CD=BC的过程．

（2）如图2，若∠ABC=40°，求证：

BF=CA．  

          图2

【答案】解：

（1）①（ⅰ）△BMF，SAS；

（ⅱ）60；

②证明：

如图．

∵由ⅰ）知△BEF≌△BMF,

∴∠2=∠1,

∵由ⅱ）知∠1=60°,

∴∠2=60°，∠3=∠1=60°,

∴∠4=180°－∠1－∠2=60°,

∴∠3=∠4,

∵CE是△ABC的角平分线，

∴∠5=∠6,

在△CDF和△CMF中，

∴△CDF≌△CMF,

∴CD=CM,

∴BE+CD=BM+CM=BC．

（2）证明：

作∠ACE的角平分线CN交AB于点N，如图．

 ∵∠A=60°，∠ABC=40°，

∴∠ACB=180°－∠A－∠ABC=80°,

∵BD，CE分别是△ABC的角平分线，

∴∠1=∠2= ∠ABC=20°，

∠3=∠ACE=∠ACB=40°．

∵CN平分∠ACE，

∴∠4=∠ACE=20°．

∴∠1=∠4．

∵∠5=∠2+∠3=60°，

∴∠5=∠A．

∵∠6=∠1+∠5，∠7=∠4+∠A，

∴∠6=∠7．

∴CE=CN．

∵∠EBC=∠3=40°，

∴BE=CE．

∴BE=CN．

在△BEF和△CNA中，

∴△BEF≌△CNA．

∴BF=CA．

【解析】【分析】

此题考查全等三角形的判定和性质，以及角平分线定义，三角形角和定理，三角形外角性质等知识点，并且在这里还应用了截长补短法证明三角形全等.

（1）①ⅰ）利用小东猜想的解题思路求解即可；

ⅱ）根据角平分线的定义和三角形角和定理，得到∠BFC=120°，再根据邻补角得到∠EFB的度数；

②在BC上截取BM，使BM=BE，由ⅰ）知△BEF≌△BMF，得到∠2=∠1，由ⅱ）知∠1=60°，得到∠3=∠4，即可证明△CDF≌△CMF，可得CD=CM，从而得出结论.

（2）作∠ACE的角平分线CN交AB于点N，由三角形角和定理得到∠ACB=80°，由角平分线的定义得到∠1=∠4，利用三角形外角的性质得到∠6=∠7，得到从而CE=CN，进而证明△BEF≌△CNA，得到结论即可.

【解答】

解：

（1）①ⅰ）在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与△BMF全等，判定它们全等的依据是SAS.

故答案为△BMF；SAS.

ⅱ）∵∠A=60°，BD、CE是△ABC的角平分线，

∴∠BFC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=120°，

∴∠EFB=60°，

故答案为60；

②见答案；

（2）见答案.

20.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8．点F在BC上CF=2，E是AB中点．

（1）求证：

AC平分∠BCD；

（2）在AC上找一点M，使EM+FM的值最小，请你说明最小的理由，并求出这个最小值．

【答案】

（1）证明：

∵AD=DC，

∴∠DAC=∠DCA．

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA．

∴∠BCA=∠DCA．

即AC平分∠BCD．

（2）解：

过点F作FG⊥AC于G，并延长交CD于N，连接EN交AC于M，连接MF．

∵∠BCA=∠DCA，∠FGC=∠NGC，GC=GC，

∴△CFG≌△CNG．

∴CF=CN=2．

∴GF=GN，

∴FM=MN，

∵E，M，N在一条直线上，

∴EM+MN最短，

∴EM+FM最短．

∵CD=4，

∴CN=DN=2．

∵E是AB中点，

∴EN=（AD+BC）=（4+8）=6，

∴EM+FM=EM+