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典型习题解析
第8章典型习题解析
1.
试画出下图所示简支梁A点处的原始单元体。
图8.1
解:
(1)原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算,因此应选取
如下三对平面:
A点左右侧的横截面,此对截面上的应力可直接计算得到;与梁xy平面平
行的一对平面,其中靠前的平面是自由表面,所以该对平面应力均为零。
再取A点偏上和
偏下的一对与xz平行的平面。
截取出的单元体如图(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:
A点偏右横截面的正应力和切应力如图(b)、(c)所示,将A点的坐标x、y代入正应力
和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为:
*
QSz
在单元体各面上画上应力,得到A点单元体如图(d)。
2.图(a)所示的单元体,试求
(1)图示斜截面上的应力;
(2)主方向和主应力,画出主单元
体;(3)主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力,并画出该单元体。
解:
(1)求斜截面上的正应力-30和切应力-30
由公式
(2)求主方向及主应力
—50+100+~50~100cos(270.67)(60)sin(270.67)121.0MPa
因有一个为零的主应力,因此
画出主单元体如图8.2(b)。
(3)
主切应力作用面的法线方向
(4)
主切应力为
此两截面上的正应力为
50100
50100cos(231.34)(60)sin(231.34)25.0MPa
2
主切应力单元体如图所示。
25.025.050MPa
可以验证上述结果的正确性。
3.试用图形解析法,重解例2。
解:
(1)画应力圆
建立比例尺,画坐标轴'
对图(a)所示单元体,在
平面上画出代表x、x的点a(-50,-60)和代表
y、y的点B(100,60)。
连接AB,与水平轴交于C点,以C点为圆心,CB(或CA)
为半径,作应力圆如图所示.
(2)斜截面上的应力
ra=34.95MPa
(3)主方向、主应力及主单元体
图所示应力圆图上H点横坐标OH为第一主应力,即
OH121.04MPa
K点的横坐标OK为第三主应力,即
3OK71.04MPa
由应力圆图上可以看出,由B点顺时针转过20为第一主方向,在单元体上则为由y
轴顺时针转0,且
应力圆图上由A顺时针转到K点(ACK38.66),则在单元体上由x轴顺时针转过19.33为第三主方向,画出主单元体仍如图(b)所示。
(5)主切应力作用面的位置及其上的应力
图所示应力圆上N、P点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。
在应力圆上由B到N,逆时针转过51.34,单元体上max作用面的外法线方向为由y
轴逆时针转过25.67,且
max
minCB96.04MPa
max和min作用面上的正应力均为25MPa主切应力作用面的单元体仍如图(C)所示。
4.如图所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压强p和外力矩m的作用。
在圆筒表面a点用应
变仪测出与x轴分别成正负45方向两个微小线段ab和ac的的应变45=629.4x10-6,-45=-66.9x10-6,试求压强P和外力矩已知薄壁筒的平均直径d=200mm厚度t=10mm
E=200GPa泊松比=0.25。
2m
d2t
a点为平面应力状态,在a点取出如图(c)所示的原始单元体,其上应力:
pdpd
y
4t2t
求图8.4(c)斜单元体
efgh各面上的正应力:
45°
45°
xy3pd
2x8t
xy3pd
x
28t
2m
d2t
2m
d2t
(3)利用胡克定律,列出应变
45、
-45表达式
1
450E
45°
45°
3pd1
8t
磚1
d2t
=1
45°—E45*
°
45°
3pd
驾1
d2t
将给定数据代入上式
629.4106
1
200103
P
10
200
0.75
2m孽1.25
200210
66.9106
1
200103
p200
10
0.75
2m106
2002
10「25
得内压强和外力矩
p=i0MPa
m=35kNm
5.直径d=20mm、L=2m的
圆截面杆,受力如图。
试绘杆件中
A点和B点的单元体受力图,
算出单元体上的应力的数值
并确定这些点是否为危险点。
(b)
(c)
Im
[
(s\
J
|0.5ra
1
1
(d)
解:
以下图为图各单元体受力图:
A点
(c)
(b)
B点
应力计算:
(d)
图(a)的A点:
63.69MPa
图(b)的A点:
80
d3
16
50.96MP
图(c)的A点:
127.38MFa
127.38MPa
80
50.96MP
图(d)中A点(压应力):
25.48MPa
M20103
就323"4(20103)3
QS;4Q
Izb3A
0.17MP
(b)中的A为危险点,
(c)中的A、B为危险点,(d)中的A,B点均为危险点,相比
之下A点的应力较大。
6.已知应力状态如图所示(应力单位:
MPa)。
试用图解法求
(1)(a)、(b)中指定斜截面上的应力;并用解析法校核之
⑵(c)、(d)、(e)上主应力的大小与方向,在单元体上画出主平面的位置,求最大切
应力。
(a)300斜截面单元本;(b)450斜截面单元体;(c)纯切应力单元体;(d)压拉切单元体
(e)拉压切单元体。
解:
(a)按比例画出应力圆如下图,可得a=300的斜截面的正应力和切应力为E点的坐标为
解析法校核:
(b)用比例画出应力圆,E点的坐标为
解析法校核:
5MPa
xsin25050cos90o20sin90°
x22
(c)应力圆如下图,与b轴的交点即为主应力的对应点,从应力圆上可按比例直接量得
两个主应力之值分别为:
OA150MPa,20,30A250MPa
主平面的方位可由应力圆上量得,因
2DiOAi90°
最大主应力作用面与
x平面之夹角为(从D1到A1是顺时针转的
45°
(d)应力圆与c轴的交点即为主应力得应点,从应力图上可按比例直接量得两个主应力之值分别为:
1OA170MPa
2OA230MPa,30
最大主应力作用面与x平面之夹角为(可由应力圆上得):
2FCA190°
45°
最大切力
maxCF20MP
(e)应力圆与c轴的交点即为主应力的对应点,
从应力圆上可按比例直接量得两个主应
力之值分别为
1OA144.7MPa3OA^44.7MR
主平面的方位,可由应力圆上量得:
226.5°13.20
(对应于主应力ci所在主平面)
最大切力max40MPa