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随机变量的分布及数字特征

第二章随机变量及其数字特征

一、教学要求

1.理解随机变量的概念，掌握离散型和连续型随机变量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函数的概念和性质；

2.理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率；

3.会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征；

4.熟练掌握退化分布、两点分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布和正态分布、指数分布、均匀分布等常用概率分布及其数字特征的计算和相关概率的求解；

5.应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。

二、重点与难点本章的重点是随机变量概率分布及其性质，常见的几种分布，随机变量函数的分布、数学期望和方差的计算；难点是随机变量函数的分布及数学期望的计算。

§随机变量及其分布

一、随机变量

1．引入随机变量的必要性

1）在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。

如：

产品检验问题中，抽样中出现

的废品数；在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数；在电讯中，某段时间的话务量等等。

2）有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。

如：

掷硬币问题中，记出现正面时为“1”，出现反面时为“0”。

注：

这些例子中，试验的结果能用一个数字X来表示，这个数X是随着试验的结果的不同

而变化的，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量。

2．引例

先看一个具体的例子:

例1袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数．

我们将3只黑球分别记作

1，

2，

3号，

2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为

1，

2，

3

1，

2，

4

1，

2，

5

1，

3，

4

1，

3，

5

1，

4，

5

2，

3，

4

2，

3，

5

2，

4，

5

3，4，5

我们记取出的黑球数为X，则X的可能取值为1，2，3•因此，X是一个变量.

但是，X取什么值依赖于试验结果，即X的取值带有随机性，所以，我们称X为随机变量.

X的取值情况可由下表给出:

样本点

黑球数X

样本点

黑球数X

1,2,3

3

1,4,5

1

1,2,4

2

2,3,4

2

1,2,5

2

2,3,5

2

1,34

2

2,4,5

1

1,3,5

2

3,4,5

1

由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量X的一个确定的取值，因此

变量X是样本空间上的函数：

XX

我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件•例如

:

X2X2表示取出2个黑球这一事件；

X2表示至少取出2个黑球这一事件，等等.

3.定义

1）描述性定义：

定义在样本空间上的实值函数称为随机变量，常用大写X,Y,Z等表示;

随机变量的取值用小写字母x,y,z等表示。

2）严格定义：

设（，，P）为一概率空间，XX（）,是定义在上的实值函数,

若对任一实数x,{:

X（）x}，则称X为随机变量。

4.随机变量的例子

例2上午8:

00〜9:

00在某路口观察，令：

Y:

该时间间隔内通过的汽车数.

则Y就是一个随机变量.它的取值为0,1,

Y100表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件;

50Y100表示通过的汽车数大于50辆但不超过100辆这一随机事件

例3观察某生物的寿命（单位：

小时），令：

Z:

该生物的寿命.

则Z就是一个随机变量.它的取值为所有非负实

数.Z1500表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件.

二、分布函数及其性质

1.分布函数的概念

定义设（，，P）为一概率空间，X为定义在其上的随机变量，对任意实数x,称

F（x）P（Xx）为随机变量X的分布函数,且称X服从F（x）,记为X~F（x）.有时也可用FX（x）表明是X的分布函数.

2.例子

例4向半径为

r的圆内随机抛一点，求此点到圆心之距离X的分布函数F（x）,并求

p（X>3r）.

解事件“X

x”表示所抛之点落在半径为x（0xr）的圆内，故由几何概率知

F（x）P（X

x2x22r2r25

x）2（）-从而P（X>）=1-P（X）=1-（）

rr3339

3.分布函数的性质

定理：

任一分布函数F（x）都有如下三条基本性质

（1）单调性：

F（x）是定义在整个实数轴（，）上的单调非减函数，即对任意的x,x2，

有F（x,）F（X2）；

（2）规范性：

F（）=limF（x）0；

x

F（）=limF（x）1。

x

（3）右连续性：

F（x）是x的右连续函数，即对任意的x0，有

limF（x）F（x。

），

xxo

即F（xo0）F（Xo）。

证明略。

注

（1）上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件。

（2）有了分布函数的定义，可以计算：

P（aXb）F（b）F（a），P（Xa）F（a）F（a），

P（Xb）1F（b）等。

三、离散随机变量及其分布列

1.离散型随机变量的概念

若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个，则称这个随机变量为离散

型随机变量。

讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量X的统计规律必须

且只须知道X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率。

2.分布列设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是x1,x2,LxnL，则称X取xi

的概率

PiP（x）P（XXi）,i1,2丄n,L

为X的概率分布列或简称为分布列，记为X~pi

分布列也可用下列形式表示：

Xx2LxnL

①2n或

p（Xi）p（X2）Lp（Xn）L

X

X1

X2

K

P

P1

P2

K

3.分布列的基本性质

（1）非负性：

p（Xi）0,i1,2丄；

⑵正则性：

p（Xi）1.

i1

注1）离散随机变量的分布函数为：

F（x）p（Xi）。

XX

2）设离散型随机变量X的分布函数为FX,Xk为其间断点，k=1,2,…,贝叹

的分布律为pkPXXkFXkFXk0,k1,2,L

4.例子

例5设离散随机变量X的分布列为

123

0.250.50.25'

试求P（X0.5）,P（1.5X2.5），并写出X的分布函数。

解略。

例6从1〜10这10个数字中随机取出5个数字，令：

X：

取出的5个数字中的最大值.试求X的分布列.

解：

X的取值为5,6,7,8,9,10.并且

C4

PXkFk5,6,L,10

C10

具体写出，即可得X的分布列：

X

5

6

7

8

9

10

P

1

5

15

35

70

126

252

252

252

252

252

252

例7设随机变量X的分布列为

n12,L,试求常数c.

解：

由分布列的性质，得

n

，所以c

1

1PXnc-

n1n14

四、连续随机变量及其密度函数

1.连续型随机变量的概念

定义设随机变量X的分布函数为

F（x），如果存在实数轴上的一个非负可积函数

P（x），使

得对任意x，有

x

F（x）p（t）dt,

则称X为连续随机变量，称

p（x）为X的概率密度函数，简称为密度函数。

2.密度函数的基本性质

（1）非负性：

p（x）0；

（2）正则性：

p（x）dx1；

反过来，若已知一个函数

p（x）满足上述性质

（1）和

（2）,则p（x）

定是某连续型随机变量

X的概率密度函数.另外，对连续型随机变量X的分布，还具有如下性质：

b

（1）a,bR,（ab）,P（aXb）F（b）F（a）p（x）dx。

a

更一般的，对一般的区间B，有

P（XB）p（x）dx.

B

（2）连续型随机变量X的分布函数F（x）是连续的，但反之不真；

（3）连续型随机变量X取任一确定值的概率为0;即对于任意实数c,P（Xc）0;

c

事实上，h0,0P（Xc）P（chXc）p（x）dx.

chL

c

令h0,p（x）dx0,即得P（X=c）=0。

ch

注：

因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以，概率为零的事件未必是不可能事件；

概率为1的事件也不一定是必然事件。

⑷若P（x）在X。

处连续，则有F（x）

Xx0

p（x））

3•例子

Kx2

例8设X~p（x）

Kx

2x

其它

2

3,求：

（1）

常数K⑵X的分布函数；（3）P（1

xf）.

解

（1）由性质

p（x）dx

1,得0

2Kx2dx

3

Kxdx

2

1。

解之得K

6

31

x2

X~p（x）

2

其它

（2）X的分布函数为

0

鳥t2dt

F（x）2

。

备t2dt

1

x

231tdt

F（x）

0

23

lix

2

1x

1

4

31

5

⑶P（1X2）

f

（2）

F

（1）

3

31

（2）2

4

31

—13

31

83

124

5

；P（x）dx

§随机变量的数字特征

概率分布能完整、全面地刻画随机变量的统计规律，但是：

（1）在实际应用中概率分布常常难以精确地求出；

（2）在实际问题中，有时关心的问题仅是随机变量的某些统计特征，而不是随机变量全面的变化规律,如测量误差的平均误差，评定射击手的稳定性的离散度等；

（3）对很多重要分布，只要知道它的某些数字特征，就可以完全确定其概率分布。

数字特征通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值。

解：

假设做了n次游戏，m—得1元次数,

n2—得2元次数，匕一得4元次数,

一、随机变量的数学期望

1•引例

某人参加一个掷骰子游戏，规则如下:

掷得点数

1点

2,3点

4,5,6点

获得（元）

1

2

4

求：

一次游戏平均得多少钱?

则n1

n2

n3n,获得：

1n1

2n2

4

n3。

每次平均得

1n1

2

n24n3〔n1

2匹

4

匹

当n很大时,

12

6

2.离散型随机变量的数学期望

1）定义

设离散随机变量X的分布列为

1P!

2P24P31

317

6百

Pi

P（Xi）

P（X

Xi）,i1,2,Ln,L

如果

|Xi|p（Xi）

则称

E（X）

XP（Xi）

i1

为随机变量x的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。

若级数iXiimxj

i1

不收敛，则称X的数学期望不存在。

X取值顺序无关。

注：

离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定，其与2）例子

服从几何分布，P（E=k）=

（1-P）k-1P,（k=1,2,L）,求E.

解:

k（1

P）

Pk（1

k1

\k1

P）

由于

kxk

k（1

k1

、k

P）

1

~~2,

P

例10

设X取xk（

1）

k2k

k

1

（k=1,2,…）对应的概率为pXk牙，证明E（X）不存在。

证明

Pxk

1

2k

XkPx<

2k

k

1

k,71。

但级数

所以E（X）不存在，但级数

XkPxk

（1）k

k1k1

1k2k

2k

（1）k

1k

In2（交错级数满足Leibniz条件）（收敛）

要注意数学期望的条件：

“绝对收敛”。

2.连续型随机变量的数学期望

1）定义

设连续随机变量X的密度函数为p（x）,如果

|x|p（x）dx，

则称E（X）xp（x）dx

为X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。

若|x|p（x）dx不收敛,

则称X的数学期望不存在。

2）例子

1

例11设随机变量X服从p（x）（-g

此分布称为

（1x2）

Cauchy分布。

”|x|x12

解xf（x）dx—dx2dx—In（1x2）|°,

（1x2）0（1x2）

即xf（x）dx不绝对收敛，因此数学期望E（X）不存在。

设X服从区间（a,b）上的均匀分布，求E（X）。

例12设随机变量X的密度函数为：

求数学期望EX>

解：

例13设X为仅取非负整数的离散型随机变量，若其数学期望存在，证明:

E（X）P（Xk）.

k1

证明：

由于E（X）kP（Xk）.而

k1

P（X

k）

P（Xj）

k1

k1jk

P（X

1）P（X

2）P（X3）

P（X

2）P（X3）

P（X3）

kP（Xk）E（X）.

k1

例14设连续型随机变量X的分布函数为F（x）,且数学期望存在，证明

E（X）0[1

F（x）]dx

F（x）dx.

证明：

E（X）

xdF（x）

0

xdF（x）

0xdF（x）

0

xdF（x）oxd（1

0

xF（x）|

F（x）dx:

x（1F（x））|0

0（1F（x））dx.

由均值存在得

|x|dF（x）

于是有

0AF（A）

A

|x|dF（x）

0（当A

）

0B（1F（B））

>B|x|dF（x）0（当B

）.

以此代入EX的计算式即得E（X）[1

0

0

F（x）]dx

F（x）dx.

0

F（x））

二、随机变量函数的分布及数学期望

1.随机变量函数的分布

1）离散型随机变量函数的分布列设X一个随机变量，分布列为

X~P（XXk）Pk,k=1,2,

…）时，随机变量Y有如下分布列:

则当Y=g（X）的所有取值为yj（j=1,2,

P（Yyj）qj,j=1,2,

其中qj是所有满足g（Xi）yj的Xi对应的

X的概率P（X

x）

Pi的和，即

P（YYj）P（XXi）

g（Xi）yj

试求随机变量

2

（X3）1的分布列。

P（Y

X

1

3

5

7

P

例15设离散型随机变量X有如下分布列,

解Y的所有可能取值为1，5，17

1）P（（X

3）2

1）P（X3）0.1，

5）P（X1）P（X5）

0.5

0.150.65，

P（Y17）P（（X3）2

故Y的分布列为

117）

P（X7）

Y

1

5

17

P（Y

5）P（（X

1

0.25。

3）2

P

2）连续型随机变量函数的分布

（1）一般方法

设连续型随机变量X的概率密度函数为pX（x），（-

函数，则Y的分布函数为

Fv（y）P（Yy）P（g（X）y）

g（x）

p（x）dx。

y

从而Y的概率密度函数PY（y）为

g（y）

dFy（y）

dy

例16设随机变量X~pX（x）

2x,

0,

和宀x1,求Y=3X+5的概率密度。

其它

解先求Y=3X+5的分布函数

FY（y）。

FyW）

P（Y

y）

P（3X

y）

y5

3Px（x）dx

0,

9（y

1,

5）2,

5,

y8,

8.

Y的概率密度函数为

p/（y）

辭（y）

i（y

5）,

y8,

例17

设XU（-1,1）,

Pxx

0,

X2

其它.

的分布函数与概率密度。

g（x）

x2

其它

P（Yy）

2

P（X

y）

x2

Pxx

y

dx

当y

当Owy<1时FY（y）

PY（y）FY'（y）

（2）公式法

其它

般地，若X~pX（x）,yg（x）是严格单调可导函数，则

Yg（X）~PY（y）Px[h（y）]|h（y）|

其中h（y）为y=g（x）的反函数。

注：

1、只有当g（x）是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求2、注意定义域的选择。

例18设X〜U0,1），求Y=aX+b的概率密度。

（a^0）

解Y=ax+b关于x严格单调，反函数为h（y）—_-,

a

,yb1

故PY（y）Px[h（y）]|h（y）|px（），而

aa

Y的密度函数;

px（x）

0x1

其它，所以

PY（y）

0其它

补充定理:

若g（x）在不相叠的区间h,l2丄上逐段严格单调，其反函数分别为h1（y）,h2（y）丄均为连续函数，那么Y=g（X）是连续型随机变量，其概率密度为

Py（y）Px（hi（y））h（y）Px（b（y））h2（y）L

例19若X~N（0,1），计算丫X2的密度函数。

解：

y

g（x）x2分段单调，在（，0）中反函数xh（y）.y,而在[0,）中反函数

为xh2（y）y.故丫的密度函数为

4（y）

_.1_111X

（闪）丨1g/7）|^=1y2e2，yo.

s（y）

0,y0.

即丫~

2

（1）。

2.随机变量函数的数学期望

设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数g（X）的

期望.那么应该如何计算呢？

定理设Yg（X）（g为连续函数）

⑴设X为离散型随机变量，其分布律为

P{XXk}Pk,（k1,2,3丄）

若级数g（xk）pk绝对收敛，则g（X）的数学期望为E（Y）E（g（X））g（xk）pk。

k1k1

⑵设X为连续型随机变量，其概率密度为p（x）,若g（x）p（x）dx绝对收敛，则g（X）的

数学期望为E（Y）E（g（X））g（x）p（x）dx

注：

该公式的重要性在于：

当我们求E[g（X）]时，不必知道g（X）的分布，而只需知道

X的分布就可以了。

这给求随机变量函数的期望带来很大方便。

例20设随机变量X~B（n,p），Ye2X，求E（Y）.

解X~B（n,p），分布列为P（Xk）C：

pkqnk,k0,1,2,Ln

2x

E（Y）E（e）

n

2kkknk

eCnpq

n

Ck

Cn

0

2kn

（pe）q

k2n

（peq）.

k0

k

其中p+q=1

例21设随机变量

X的概率密度为

p（x）

xe

x2

x0

rr,

求E（1/X）。

0

其它

解:

E

（1）

1

p（x）dx0

x0

1xe

x

2

xdx

2

exdx

0

匸

2.

三、数学期望的性质

性质1.若C是常数，则E（C）=C.

性质2.对任意的常数a,E（aX）=aE（X）.

性质3.对任意的两个函数g1（x）,g2（x），有

E©（X）g2（X））E©（X））Ea（X））。

四、随机变量的方差与标准差

1.方差与标准差的定义

1）引例

甲乙两部机床生产同一种机轴，轴的直径为10mm公差为0.2mm,即直径在9.8mm到

10.2mm的为合格品，超出范围的均为废品。

现从甲乙两机床的产品中各随机地抽取6件进

行测试，机轴的直径的测试尺寸如下：

（mm）

甲

乙

易知，甲乙两组产品的直径的均值都为10.0mm,但两组的质量显然差异很大，甲组全

为合格品，乙组全为废品。

这里光看均值无差别，质量的差异的原因在于两组产品关于均值的离散程度不同。

甲组离散程度小，质量较稳定，乙组的离散程度大，质量不稳定。

为衡量一个随机变量X关于均值的离散程度，可用|X-EX|的均值来表示，称为X的绝对离差，记作E|X-EX|，这在实际统计中有一定的作用。

但由于绝对值得均值不易计算，常用随机变量与均值差的平方的均值来描述离散程度。

2）定义若随机变量E{[XE（X）]2}的数学期望存在，贝U称E{[XEX]2}为随机变

量X的方差，记为D（X）或Var（X）

（XiE（X））2p（x）,在离散场合;D（X）Var（X）E（XEX）2i1

（xE（X））2p（x）dx,在连续场合

称方差的正平方根...D冈为x的标准差，记为（x）或X。

注：

在实际计算中，通常使用如下公式

D（X）

2

E（X）

EX22XE（X）

2

E（X）

E（X2）

E（X2）

2

E（X）E（X）

2

E（X）.

2E（X）

3）

例22

例子

已知随机变量X的分布列如下，求

QX!

。

-2-1

例23设随机变量X~p（x）

1x0,求QX!

。

0x1

解数学期望E（X）=7/8,

E（X2）

（2）2

-6（

1）2

02

A12

—22

_8

16

16

16

16

16

2

2

5

72

16049

111

D（X）

E（X）

（EX）

（：

）

o

2

8

64

64

3/16

2/16

8/16

1/162/16

5

2，

01

解E（X）/（1x）dxox（1x）dx0,

02121

E（X2）/2（1x）dxQx2（1x）dx

221

D（X）E（X2）（EX）2。

2.方差的基本性质

性质1D（c）0,其中c为常数;

性质2D（aXb）a2D（X）,a,b是常数。

性质3（方差最小性）X为随机变量，方差存在，则对任意不等于EX的常数C,都有

D（X）E（XEX）2

E（X

C）2.

证明由数学期望的性质，有

E（XC）2E[（X

EX）

（EXC）]2

E[（X

EX）2

2（EXC）（XEX）

（EXC）2]

E（X