重庆中考几何题分类汇编1.docx

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重庆中考几何题分类汇编1

重庆中考几何题分类汇编

类型1　线段的倍分：

要证线段倍与半，延长缩短去实验　

例1如图Z3－1，在△ABC中，AB＝AC，CM平分∠ACB交AB于M，在AC的延长线上截取CN＝BM，连接MN交BC于P，在CB的延长线截取BQ＝CP，连接MQ.

（1）求证：

MQ＝NP；

（2）求证：

CN＝2CP.

针对训练：

1．如图Z3－2，在▱ABCD中，AC⊥BC，点E、点F分别在AB、BC上，且满足AC＝AE＝CF，连接CE、AF、EF.

（1）若∠ABC＝35°，求∠EAF的度数；

（2）若CE⊥EF，求证：

CE＝2EF.

2．已知，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE.

（1）如图①，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；

（2）如图②，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG.若AG平分∠CAD，求证：

AH＝

AC.

3．在△ACB中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，交BC于F.

（1）如图①，若AB＝4，CD＝1，求AE的长；

（2）如图②，点G是AE上一点，连接CG，若BE＝AE＋AG，求证：

CG＝

AE.

4．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，连接AD.

（1）如图①，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当AD＝

时，求AE′的值．

（2）如图②，在AC上取一点E，使得CE＝

AC，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′交BC于点F，求证：

DF＝CF.

类型2　线段的和差：

要证线段和与差，截长补短去实验　

例2如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，连接AD，在AD左侧作∠EAD＝45°交BD于E.

（1）若AC＝3，则CE＝________（直接写答案）；

（2）如图①，M、N分别为AB和AC上的点，且AM＝AN，连接EM、DN，若∠AME＋∠AND＝180°，求证：

DE＝DN＋ME；

（3）如图②，过E作EF⊥AE，交AD的延长线于F，在EC上选取一点H，使得EH＝BE，连接FH，在AC上选取一点G，使得AG＝AB，连接BG、FG，求证：

FH＝FG.

针对训练：

1．如图Z3－7，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝AD，EG⊥AB于G，延长GE、DC交于点F，连接AF.

（1）若BE＝2EC，AB＝

，求AD的长；

（2）求证：

EG＝BG＋FC.

2．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，过点C作CF⊥CP于点C，交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M.

（1）若AP＝

AC，BC＝4，求S△ACP；

（2）若CP－BM＝2FN，求证：

BC＝MC.

3．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为一边向外作菱形ABDE，连接DC，EB并延长EB交AC于F，且CB⊥AE于G.

（1）若∠EBG＝20°，求∠AFE；

（2）试问线段AE，AF，CF之间的数量关系并证明．

类型3　倍长中线：

三角形中有中线，延长中线等中线　

例3如图Z3－10①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别为斜边AC上两点，且AD＝AB，CE＝CB，连接BD、BE.

（1）求∠EBD的度数；

（2）如图Z3－10②，过点D作FD⊥BD于点D，交BE的延长线于点F，在AB上选取一点H，使得BH＝BC，连接CH，在AC上选取一点G，使得GD＝CD，连接FH、FG，求证：

FH＝FG.

针对训练：

1．如图，已知在▱ABCD中，G为BC的中点，点E在AD边上，且∠1＝∠2.

（1）求证：

E是AD中点；

（2）若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3＝∠2，求证：

CD＝BF＋DF.

2．如图Z3－12，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的点，连接AE，AF，DE、EF，∠DAE＝∠BAF.

（1）求证：

CE＝CF；

（2）若∠ABC＝120°，点G是线段AF的中点，连接DG，EG.求证：

DG⊥GE.

3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠ADC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME.

（1）如图①，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是________；

（2）如图②，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图③，当∠ADC＝α时，求

的值．

4．如图①，等边三角形ABC中，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE＝CD，连接BE.

（1）若CE＝4，BC＝6

，求线段BE的长；

（2）如图②，取BE中点P，连接AP，PD，AD，求证：

AP⊥PD且AP＝

PD；

（3）如图③，把图Z3－14②中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，问第

（2）问中的结论还成立吗？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

5．在△ABC中，以AB为斜边，作直角三角形ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB＝90°.

（1）如图①，若AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝6

，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；

（2）如图②，若AB＝AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：

BP＝CP；

（3）如图③，若AD＝BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE＝EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系（不需要证明）．

类型4　中位线：

三角形中两中点，连接则成中位线　

例42017·河南如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想：

图①中，线段PM与PN的数量关系是__________，位置关系是__________；

（2）探究证明：

把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

针对训练：

1．如图①，在任意的三角形ABC中，分别以AB和AC为一边作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB＝AE，AC＝AD，且∠BAE＋∠CAD＝180°，连接DE，延长CA交DE于F.

（1）求证：

∠CAB＝∠AED＋∠ADE；

（2）若∠ACB＝∠BAE＝∠CAD＝90°，如图②，求证：

BC＝2AF；

（3）若在△ABC中，如图③所示，作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB与DE交于点F，F为DE的中点，请问

（2）中的结论还成立吗？

若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

2．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＋∠EAD＝180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF.

（1）如图①，当∠BAE＝90°时，求证：

CD＝2AF；

（2）当∠BAE≠90°时，

（1）的结论是否成立？

请结合图②说明理由．

3．如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.

（1）求证：

△ABF是等腰三角形；

（2）如图②，BF的延长交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．

类型5　角的和差倍分　

图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现．

角平分线平行线，等腰三角形来添．角平分线加垂线，三线合一试试看．

例5．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝6

，∠BAD＝60°，且AB＞6

.

（1）求∠EPF的大小；

（2）若AP＝10，求AE＋AF的值．

针对训练：

1．已知：

如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：

DB＝DC.

探究：

如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：

DB＝DC.

2．在△ACB中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，交BC于F.

（1）如图①，若AB＝4，CD＝1，求AE的长；

（2）如图②，点P是AC上一点，连接FP，若AP＝CD，求证：

∠ADB＝∠CPF.

3．已知，在▱ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝BD，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H.

（1）如图①，若点E与点C重合，且AF＝

，求AD的长；

（2）如图②，连接FH，求证：

∠AFB＝∠HFB.

4．如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP.当点M在边AD上移动时，连接BM、BP.

（1）求证：

BM是∠AMP的平分线；

（2）△PDM的周长是否发生变化？

证明你的结论．

类型6　旋转型全等问题：

图中若有边相等，可用旋转做实验　

例6．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.

（1）观察猜想：

如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：

________．

②BC，CD，CF之间的数量关系为：

___________；（将结论直接写在横线上）

（2）数学思考：

如图Z3－25②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸：

如图Z3－25③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB＝2

，CD＝

BC，请求出GE的长．

针对训练：

1．在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD.

（1）如图①，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．

（2）如图②，若将

（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，

（1）中的结论是否成立？

请说明理由．

（3）如图③，若∠DAB＝90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．

2．如图①，在正方形ABCD中，点E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折得△AHE，延长EH交边CD于F，连接AF.

（1）求证：

∠EAF＝45°；

（2）延长AB，AD，如图②，射线AE、AF分别交正方形两个外角的平分线于M、N，连接MN，若以BM、DN、MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．

3．如图①，在正方形ABCD内有一点P，PA＝

，PB＝

，PC＝1，求∠BPC的度数．

【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图Z3－28②），然后连接PP′.

（1）请你通过计算求出图Z3－28②中∠BPC的度数；

（2）如图③，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA＝2

，PB＝4，PC＝2.请求出∠BPC的度数．