高等代数北大版课件7.2线性变换的运算.ppt
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2线性变换的运算,3线性变换的矩阵,4特征值与特征向量,1线性变换的定义,6线性变换的值域与核,8若当标准形简介,9最小多项式,7不变子空间,小结与习题,第七章线性变换,5对角矩阵,7.2线性变换的运算,一、线性变换的乘积,二、线性变换的和,7.2线性变换的运算,三、线性变换的数量乘法,四、线性变换的逆,五、线性变换的多项式,7.2线性变换的运算,1定义,设为线性空间V的两个线性变换,定义它们,事实上,,一、线性变换的乘积,的乘积为:
则也是V的线性变换.,7.2线性变换的运算,基本性质,
(1)满足结合律:
(2),E为单位变换,(3)交换律一般不成立,即一般地,,7.2线性变换的运算,例1.线性空间中,线性变换,而,,即,7.2线性变换的运算,例2.设A、B为两个取定的矩阵,定义变换,则皆为的线性变换,且对有,7.2线性变换的运算,则也是V的线性变换.,二、线性变换的和,1定义,设为线性空间V的两个线性变换,定义它们,的和为:
事实上,,7.2线性变换的运算,(3)0为零变换.,(4)乘法对加法满足左、右分配律:
2基本性质,
(1)满足交换律:
(2)满足结合律:
7.2线性变换的运算,3负变换,设为线性空间V的线性变换,定义变换为:
则也为V的线性变换,称之为的负变换.,注:
7.2线性变换的运算,三、线性变换的数量乘法,1定义,的数量乘积为:
则也是V的线性变换.,设为线性空间V的线性变换,定义k与,7.2线性变换的运算,2基本性质,注:
线性空间V上的全体线性变换所成集合对于,线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性,空间,记作,7.2线性变换的运算,四、线性变换的逆,则称为可逆变换,称为的逆变换,记作,1定义,设为线性空间V的线性变换,若有V的变换使,2基本性质,
(1)可逆变换的逆变换也是V的线性变换.,7.2线性变换的运算,证:
对,是V的线性变换.,7.2线性变换的运算,
(2)线性变换可逆线性变换是一一对应.,证:
设为线性空间V上可逆线性变换.,任取若则有,为单射.,其次,对令则且,为满射.,故为一一对应.,7.2线性变换的运算,若为一一对应,易证的逆映射也为V,的线性变换,且,故可逆,.,线性变换,则可逆当且仅当,(3)设是线性空间V的一组基,为V的,线性无关.,证:
设,于是,因为可逆,由
(2),为单射,又,7.2线性变换的运算,而线性无关,所以,故线性无关.,若线性无关,则它,也为V的一组基.,因而,对有,即有,为满射.,7.2线性变换的运算,线性无关,若则有,其次,任取设,即,由
(2),为可逆变换.,故为一一对应.,从而,为单射.,7.2线性变换的运算,(4)可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关,的向量组.,线性无关.,若,证:
设为线性空间V的可逆变换,,则有,,又可逆,于是是一一对应,且,故线性无关.,由线性无关,有,7.2线性变换的运算,当时,规定(单位变换).,五、线性变换的多项式,1线性变换的幂,设为线性空间V的线性变换,n为自然数,定义,称之为的n次幂.,7.2线性变换的运算,易证,注:
当为可逆变换时,定义的负整数幂为,一般地,,7.2线性变换的运算,设,为V的一个线性变换,则,2线性变换的多项式,多项式.,也是V的一个线性变换,称为线性变换的,7.2线性变换的运算,注:
在中,若,则有,,即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.,对有,7.2线性变换的运算,证明:
练习:
设为线性变换,若,证:
对k作数学归纳法.,对两端左乘,得,对两端右乘,得,上两式相加,即得,7.2线性变换的运算,对两端左乘,得,对两端右乘得,,得,假设命题对时成立,即,由归纳原理,命题成立.,