小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解.docx
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小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解
模型三蝴蝶模型(任意四边形模型)
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
1S]:
S?
=:
S3或者S]xS3=S2xS4
2AO:
OC=(Si+S2):
(S4+SJ
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例1】(小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形•個⑵被对角线应;助分成四个部分,△川矽面积为1平方千米,△紘、面积为2平方千米,的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米?
【分析】根据蝴堞定理求得^od=3x1^2=1.5平方千米,公园四边形ABCD的面积是1+2+3+1.5=7.5平方千米,所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米
【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积巳知,
求:
⑴三角形BGC的面积;⑵AG:
GC=?
【解析】⑴根据蝴蝶定理,S»gXl=2x3,那么S肿=6;
⑵根据蝴蝶定理,AG:
GC=(l+2):
(3+6j=l:
3・(?
?
?
)
【例2】四边形A3CD的对角线AC与3D交于点0(如图所示)。
如果三角形AZ辺的面积等于三角形3CD的面积的且AO=2t07=3,那么CO的长度畏DO的长度的倍。
【解析】在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形S无外乎两种处理方法:
(1)利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;
(2)通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件S,3:
S/“=1:
3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。
又观察题目中绐出的已知荼件是前积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形S于是可以作垂直血于CG垂直加于G,面积比转化为高之比。
再应用结论:
三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。
请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴堞定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一:
VAO:
OC=S^BD:
S^l)c=\:
3.
••OC=2x3=6,
:
.OC:
OD=6:
3=2A・
解法二:
作丄于CG1BD于G・
•S'ABD=兰业",
:
.AH=^CG.
3
••S^OD=-Sqk»
:
.AO=^CO.
3
:
.OC=2x3=6,
•••OC:
OD=6:
3=2A・
【例3】如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,厶CEF、2EF、NJDF、8OE的両积依次是2、4、4和6。
求:
⑴求△OCF的面积;⑵求△«£•的面积。
【解析】⑴根据题意可知,△BCD的面积为2+4+4+6=16,那么△ECO和△CDO的面积都是16*2=8,所以△OCF的面积为8-4=4;
(2)由于△BCO的面积为8,的面积为6,所以△OCE的面积为8—6=2,
根据蝴蝶定理,EG:
FG=SgE:
SgF=2:
4=l:
2,所以忑笫:
S乂纽=£G:
FG=1:
2•
11?
那么S'CCE=-j—=3X2=3*
【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。
那么最大的一个三角形的面积長多少公顷?
【解析】在MBE,KDE中有ZAEB=ZCED,所以△ABE,°CDE的面积比为(AExEB):
(CExDE)。
同理有△ADE.aBCE的面积比为(AExDE):
(BExEC)。
所以有XSg*=XS州也就是
说在所有凸四边形中,连接顶点得到2条对角线,有图形分成上、下、左、右4个部分,有:
上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。
即SfeX6二S'M,所以有△血与的面积比为7:
6,SgE二丄x39=21公顷,Sa.^=—x39=18公顷。
6+76+7
显然,最大的三角形的面积为21公顷。
【例5】(2008年清华附中入学测试題)如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积为O
【解析】连接血、CD、BC。
43
则可根据格点面积公式,可以得到的面积为:
1+—-1=2,&4CD的面积为:
3+--1=3.5,
22
4
的面积为:
2+—一1=3・
2
4412
所以3O:
OD=Sw:
S*=:
2:
3.5=4:
7,所以严于xS*严亓x3=]•
【巩固】如图,每个小方格的边长都是1.求三角形A3C的面积。
【解析】因为BD:
CE=2:
5,且BD〃CE、所以DA:
AC=2:
5,S^RC=,S^BC=-x2=^.
2577
【例6】(2007年人大附中考题)如图,边长为1的正方形ABCD中,BE=2EC,CF=FD,求三角形AEG的面积.
【解析】连接£F・
因为BE=2EC,CF=FD,所以=(卜卜孰昨詁S”
因为根据蝴蝶定理’AG:
GF=1:
1=6:
1,
所以Smgd=6S、gdf=JSgF=yx—S“bcd
3_
~丄s"
所以Sjge=S皿D_S^GD=㊁SqABCD_訂SqMcd=—$口心"=斤,即三角形AEG的面积是2・
7
【解析】
连接AE,FE.
3111
因为BE:
EC=2:
3,DF:
FC=1:
2,所以S加=(尹方妆心=百3阿亦,
\AGD='S二gdf=10平方,壇米,用以S“fd=12平
因为S.aed--S长方j你心*AG:
GF=-:
—=5:
1,所以S<
方厘米.因为所以长方形ABCD的面积是72平方厘米.
【例8】
6
如图.已知正方形的边长为10厘米,£为血中点,F为CE中点,G为3F中点,求三角形的面积•
=ls
由蝴蝶定理可知EO:
OC=S:
S”而S如冷S”,S昨所以EO:
OC=S,bed:
5SC/,=1:
2,故EO=£EC.
由于F为CE中点,所以EF=、EC,故EO:
EF=2:
3,FO:
EO=\:
2.2
由蝴蝶定理可知S:
s冲=FO:
EO=\:
2,所以丄旳寺加寺昨,
那么=—^^D=—^cAWD=—X10X10=6.25(平方厘米)•
2lo16
【例9】如图,在AABC中,巳知"分别在边AC、BC±fBM与册相交于O,若MOM.AABO和
ABON的面积分别是3.2、1,则酗VC的面积長•
【解析】这道题给出的条件较少,需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.
根据蝴蝶定理得S*n=5"5=字諾
Sjob22
设Sm”二x,根据共边定理我们可以得
【例10](2009年迎春杯初赛六年级)正六边形人爲4厲4人的面积是2009平方厘米,分别
是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是平方厘米.
【解析】如图,设以人与£4的交点为O,则图中空白部分由6个与牡04一样大小的三角形组成,只要求出了*04前面积,就可以求出空白部分面积,进而求出阴影部分面积.
连接人心、B占、B.A..
设*b屁的面积为”1",则面积为”I“,*人乞面积为”2“,那么A44A面积为
的2倍,为”4“,梯形AA^A,的面积为2x2+4x2=12,帆以4的面积为”6",AB,A,A5的面积为2.
根捋堆燥定理,BQ=AyO=S申程民:
Sx,夙=1:
6,故=»Sm].—=丁»
io1
所以SwmJS讣",.广亏:
12:
1:
7,即独%的面积为梯形人每4人面积的尹故为六边形
113
人人4儿人人面积的丄,那么空白部分的面积为正六边形面积的—x6=-,所以阴影部分面积为
14147
2009x
Q
1--=1148(平方厘米).
7>
板块二梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
®s}:
S3=a2:
b2
2S]:
S?
:
S2:
S4=u2:
b2:
ah:
ah•
3S的对应份数为(a^h)2.
梯形蝴燥定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道,通过构造楔型,直接应用结论,往往在题目中有事半功倍的效果.(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)
【解析】设§为/份,S*为,份,根据梯形蝴蝶定理,S.=4=b29所以b=2;又因为S2=2=axb,所以a=\;那么S]=/=l,S4=x/?
=2,所以梯形面积S=S]+S?
+S3+S4=1+2+4+2=9,或者根据梯形蝴蝶定理,S=(a+b)'=(l+2)2=9・
【巩固1(2006年智力数学冬令营)如下图,梯形ABCQ的加平行于CD,对角线AC,BD交于O,已知亠。
〃与/XBOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD的面积是平方厘米.
【解析】根据梯形蝴蝶定理,S*/二込=/:
肋=25:
35,可得“・・b=5:
7,再根据梯形蝴蝶定理,丄阿:
耳啦=/:
戻=52:
72=25:
49,所以5^=49(平方厘米).那么梯形ABCD的面积为25+35+35+49=144(平方厘米)・
【例12】梯形ABCD的对角线AC与血交于点O,已知梯形上底为2,且三角形的面积等于三角
2形3OC面积的求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.
3
【解析】根据梯形蝴蝶定理,S“oB:
S/oc"bW3,可以求出“"=2:
3,再根据梯形蝴蝶定理,Sg:
S肿Z:
^2=22:
32=4:
9.
通过利用已有几何模型,我们轻松解决了这个问题,而没有像以前一样,为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设,所以,请同学们一定要牢记几何模型的结论.
【例13】(第十届华杯赛)如下图,四边形ABCD中,对角线AC和庞>交于O点'已知AO=1,并且
【解析】根据蝴蝶定理,三"叱?
[|枳=竺,所以△£=」,又AO=1,所以co=-.三角形CBD的而积COCO53
三角形OBC的面积長9C,问三角形AOD的面积長多少?
【解析】根据梯形蝴蝶定理,/b=l:
l・5=2:
3,S*“:
S曲严/:
,=22:
32=4:
9,所以S“o”=4(cm2).
【巩固】如图,梯形中,MOB.ACOD的面积分别为1.2和2.7,求梯形ABCD的面积.
【解析】根据梯形蝴堞定理,丄.5:
入5=/疔=4:
9,所以a:
b=2.393
S'AOD:
S“OB=":
=b:
"=3:
2,S“OD=SgB=1.2x_=1.8t
=1.24-1.8+1.8+2.7=7.5・
【例15]如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形心;的面积長11,三角形BCH
的面积是23,求四边形EGFH的面积•
【解析】如图,连结硏显然四边形川府和四边形磁尸都是梯形,于是我们可以得到三角形曲;的面积等于三角形ADG的面积;三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积,所以四边形