小学奥数之浓度问题.docx

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小学奥数之浓度问题

学科：

情景数学动漫

浓度三角

溶液的质量＝溶质的质量＋溶剂的质量

浓度=溶质重量÷溶液重量

溶液重量=溶质重量÷浓度

溶质重量=溶液重量×浓度

【知识网络】

溶度问题包括以下几种基本题型︰

（1）溶剂的增加或减少引起浓度变化。

面对这种问题，不论溶剂增加或减少，溶质是始终不变的，据此便可解题。

（2）溶质的增加引起浓度变化。

面对这种问题，溶质和浓度都增大了，但溶剂是不变的，据此便可解题。

（3）两种或几种不同溶度的溶液配比问题。

面对这种问题，要抓住混合前各溶液的溶质和与混合后溶液的溶质质量相等，据此便可解题。

【情景故事】

黄小鸭喝奶茶的故事

黄小鸭领着三个鸭弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路过了奶牛开的奶茶店。

只见店门口张贴着广告：

“既甜又浓的奶茶每杯0.3元。

”黄小鸭便招呼弟弟们歇脚，一起来喝奶茶。

黄小鸭从奶牛手中接过一杯奶茶，给最小的弟弟老四喝掉

，加满水后给老三喝掉了

，再加满水后，又给老二喝了一半，最后自己把剩下的一半喝完。

奶牛开始收钱了，他要求黄小鸭最小的弟弟付出0.3×

＝0.05（元）；老三0.3×

＝0.1（元）；

老二与黄小鸭付的一样多，0.3×

＝0.15（元）。

兄弟四个一共付了0.45元。

兄弟们很惊讶，不是说，一杯奶茶0.3元，为什么多付0.45－0.3＝0.15元？

肯定是奶牛再敲诈我们。

不服气的黄小鸭嚷起来：

“多收我们坚决不干。

”

“不给，休想离开。

”

现在，大家说说为什么会这样呢？

【自学指导】

浓度问题是围绕溶质、溶剂、溶液及浓度展开的。

解题过程中我们要仔细分析题目，分清在变化前后，谁变了，谁没变，紧紧抓住不变量，这是解题的突破口，也是本节重点。

第一类：

稀释技巧：

稀释前溶质重量＝稀释后溶质重量

第二类：

稀释技巧：

加浓前溶剂重量＝加浓后溶剂重量

第三类：

溶液混合和互换

技巧：

溶质÷溶液＝溶质÷（溶质＋溶剂）＝浓度

【方法指导】

1、“浓度三角”法（改“十字交叉”法。

）

【解法范例】用浓度为45％和5％的两种盐水配制成浓度为30％的盐水4千克，需要这两种盐水

各多少千克？

2、权重法

我们把，每份溶液所占全部溶液的份数称为权重，记为q1，q2，q3，……，qn，我们知道qk=

＝

。

则混合后，溶液的浓度等于，各自溶液的浓度乘以它的权重的和，即：

混合后浓度＝

＝

我们可以将纯溶质看成浓度为100％，将纯溶剂看成0％。

【解法范例】我们把50％的盐水1千克与20％的盐水4千克混合，求混合后溶液浓度？

用三角形解浓度问题

一、简化的方法

　　简化了的方法更容易被人接受和利用。

我们先通过几道简单的问题了解一下新的方法。

例1有浓度为20％的盐水300克，要配制成40％的盐水，需加入浓度为70％的盐水多少克？

例2将75％的酒精溶液32克稀释成浓度为40％的稀酒精，需加入水多少克？

例3买来蘑菇10千克，含水量为99％，晾晒一会儿后，含水量为98％，问蒸发掉多少水份？

二、灵活的技巧

　　“解题有法，但无定法”，解题方法的运用要讲究技巧，根据具体题目加以灵活运用，不要生搬硬套，形成定式。

例4甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。

第二次将乙容器中的混合液倒入甲容器。

这样甲容器中纯酒精含量为62.5％，乙容器中纯酒精的含量为40％。

那么第二次从乙容器中倒入甲容器的混合液是多少升？

三、广泛的应用

通过前面例题的讲解，我们发现，新的解法利用浓度差的比与重量的比成反比的关系，把题目退到“份数”上考虑，数据也变简化了。

这种方法应用较广泛，有些题目适合用这种方法解答。

例5某班有学生48人，女生占全班的37.5％，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40％，问转来几名女生？

例6服装厂出售6000件男女服装，男式皮衣件数占男衣的12.5％，女式皮衣件数占女衣的25%，男女皮衣件数之和占这批服装件数的1/5。

这批服装中男式皮衣有多少件？

女式皮衣有多少件？

例7甲乙两个仓库共存放420吨货物，甲仓运出的货物相当于余下货物的1/3，乙仓库运出的货物相当于余下货物的1/4，这时两仓库共余下货物327吨，甲仓原有货物多少吨？

乙仓原有货物多少吨？

例8小明到商店买红、黑两种笔共66支。

红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元。

由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价85％付钱，黑笔按定价80％付钱，如果他付的钱比按定价少付了18％，那么他买了红笔多少支？

（北京市第14届迎春杯数学竞赛初赛试题）

试一试：

水果店购进苹果1000千克，运输途中碰坏了一些，没有碰坏的苹果卖完后，利润率为40%，碰坏的苹果只能降低出售，亏了60%，最后结算时发现总的利润为32%，问：

碰坏______千克苹果。

浓度三角形主要用于解决两种不同浓度糖水混合的问题

出一道例题解释一下

30%糖水和1体积的水混合，浓度为24%，那么再和1体积的水混合，浓度为多少

引入浓度三角0.3（4）0

（1）

0.060.24

0.24（5）0

（1）

0.20（6）

已知两份液体的浓度（0.3和0）和混合后的浓度（0.24）将他们摆出三角形的关系，用两个浓度分别减去混合后的浓度，这两个差之比就是体积的反比，这个就是浓度三角形

怎样学好浓度问题6（组图）

在浓度问题的解决中，我们经常可以使用“浓度三角”。

什么是浓度三角呢？

浓度三角就是把混合前后的不同浓度写成一种对称的三角形的形式。

实质上是找混合前两种溶液的浓度与混合后溶液浓度的差之比。

这种方法简化了复杂的浓度问题，比较容易理解和使用。

　　例1.在100千克浓度为50%的盐水中，再加入多少千克浓度为5%的盐水就可以配制成浓度为25%的盐水？

　　分析：

混合前两种溶液的浓度与混合后溶液的浓度的差之比，与所需数量之比恰好是成反比例关系，即所需溶液重量之比等于浓度差的反比。

我们可以写成浓度三角的形式（如下图）更直观地反映三个浓度之间的大小关系。

　　解法一：

（50%-25%）∶（25%-5%）＝25∶20＝5∶4……混合前两种溶液的浓度与混合后溶液的浓度的差之比

　　所需浓度50%的溶液∶所需浓度5%的溶液＝4∶5

　　∴100÷4×5＝125（千克）

　　答：

再加入125kg浓度为5%的盐水。

　　解法二：

方程解法分析。

既然混合前后三种溶液的浓度是已知的，只要设出加入的5%浓度的盐水是xkg，那么混合后的盐水总量就是（x＋100）千克。

显然，混合前的两种溶液所含的纯盐等于混合后的溶液里的纯盐。

　　解：

设再加入xkg浓度为5%的盐水。

　　50%盐水里的盐＋5%盐水里的盐＝混合后25%盐水的盐

　　5%x＋100×50%＝（x＋100）×25

　　%5%x＋50＝25%x＋25

　　25＝0.2x，x＝125

　　答：

再加入125kg浓度为5%的盐水。

　　例2.40%的盐水与20%的盐水混合后，要配制成25%的盐水180克。

求40%与20%盐水各需多少克？

　　解法一：

（40%-25%）∶（25%-20%）＝15∶5＝3∶1

　　∵所需溶液重量之比等于浓度差的反比

　　∴所需高浓度的溶液∶所需低浓度的溶液＝1∶3

　　180×＝45（克）……需要40%高浓度的溶液

　　180×＝135（克）……需要20%低浓度的溶液

　　答：

需要40%的溶液45克，需要20%的溶液135克。

　　解法二：

设需要40%的溶液x克，需要20%的溶液（180-x）克。

　　40%x＋20%（180-x）＝180×25

　　%0.4x＋36-0.2x＝45

　　0.2x＝9

　　x＝45……需要40%高浓度的溶液

　　180-45＝135（克）……需要20%低浓度的溶液

　　答：

需要40%的溶液45克，需要20%的溶液135克。

　　通过以上例题，我们可以看出，解题时要善于抓住事物间的联系，进行适当转化，就能发现其中的规律，找到解决问题的巧妙方法。

第三讲浓度问题（十字交叉相乘）

浓度问题常用公式：

溶液＝溶质＋溶剂，浓度＝

×100%

2、浓度三角形：

3、常用方法：

十字相乘法，浓度三角形，列方程

十字交叉相乘法与浓度三角形在本质上是相同的，本质上都是比例。

（一）补充练习。

1、（2007年第五届“希望杯”一试六年级）

一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比为15%，第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%；第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为多少？

解法⑴抓住题目中的不变量——盐的数量。

设这杯盐水中有盐60克。

第一次加水后盐水的总量变为60÷15%＝400克。

第二次加水后盐水的总量变为60÷12%＝500克。

每次加入的水量为500－400＝100克。

第三次加入同样多的水后盐水的含盐百分比将变为：

60÷（500＋100）＝10%

解法⑵设第一次加水后盐水的重量变为α千克。

盐的重量是α×15%＝0.15α。

第二次加水后盐水的总重量为0.15α÷12%＝1.25α

每次加入的水量为1.25α－α＝0.25α

第三次加入同样多的水后盐水的浓度为0.15α÷（1.25α＋0.25α）＝10%

答：

第三次加入同样多的水后盐水的浓度为10%。

2、（人大附中选拔入学考试题）

有两包糖，第一包糖由奶糖和水果糖组成，其中

为奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖组成，其中

为酥糖。

将两包糖混合后，水果糖占78％，那么奶糖与酥糖的比例是多少？

⑴本题是一道简单的浓度问题。

我们以水果糖为突破口：

第一包奶糖占

；水果糖占

。

第二包酥糖占

；水果糖占

。

将两包糖混合后，水果糖占78％，（相当于混合溶液）

根据浓度三角形，列出等式：

第一包×（78％－

）＝第二包×（

－78％）

第一包︰第二包＝（

－78％）︰（78％－

）＝2︰3，

⑵把第一包糖的数量看作2份，第二包3份。

则奶糖与酥糖的比例是：

（2×

）︰（3×

）＝5︰6

答：

奶糖与酥糖的比例是5︰6。

3、甲种酒精4千克，乙种酒精6千克，混合成的酒精含纯酒精62%。

如果甲种酒精和乙种酒精一样多，混合成的酒精含纯酒精61%。

甲、乙两种酒精中含纯酒精的百分比各是多少？

解：

⑴如果甲乙两种酒精各取4千克，因两种酒精取的一样多，所以混合在一起的酒精溶液的浓度为61%。

其中含纯酒精4×2×61%＝4.88千克。

⑵甲种酒精4千克，乙种酒精6千克，混合成的酒精含纯酒精62%。

其中含纯酒精（4＋6）×62%＝6.2千克，6.2千克比4.88千克多6.2－4.88＝1.32千克，多出的1.32千克纯酒精来自6－4＝2千克的乙种酒精，因此乙种酒精的浓度为1.32÷2＝0.66＝66%。

⑶4千克甲种酒精中含纯酒精（4＋6）×62%－6×66%＝2.24千克，因此甲种酒精溶液的溶度为2.24÷4＝0.56＝56%。

答：

甲种酒精溶液的溶度是56%，乙种酒精溶液的溶度是66%。

4、（2008年“我爱数学夏令营”数学竞赛）

若干升含盐70%的溶液与若干升含盐58%的溶液混合后得到含盐62%的溶液，如果每种溶液各多取15升，混合后得到含盐63.25%的溶液，第一次混合时含盐70%的溶液取了多少升？

解1：

⑴浓度70%的溶液×（70%－62%）＝浓度58%的溶液×（62%－58%）

浓度70%的溶液︰浓度58%的溶液＝（62%－58%）︰（70%－62%）＝1︰