人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》测试题含答案.docx
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人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》测试题含答案
人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》测试题含答案
、选择题（30分）
1.在△ABC中，
A,B,
C的对边分别为a,b,c，且（ab）（ab）c2，则（
A）A为直角（B）C为直角
C）B为直角
2.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（
D）不是直角三角形
）
（A）1、2、3（B）32,42,52（C）1,2,3（D）3,4,5
22
3.三角形的三边长为（ab）2c22ab,则这个三角形是（）
A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形.
4..已知△ABC各边均为整数，且AC4，BC3，ABAC，则AB的长为（）
．5或6
5.在Rt△ABC中，∠A=90o，a=15，b=12，则第三边c的长为（
A．341B．9C
．341或9D
．都不是
AB＝3米，BC＝4米，
CD＝12米，DA＝13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积
6.有一块苗圃如图所示，已知
第6题图
B、36平方米
D
第7题图
第8题图
C、48平方米
第11题
l1
7如图所示，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分与正方形ABCD的面积比是（）
A、3：
4B、5：
8C、9：
16D、1：
2
8.如图所示，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长是无理数的边数
是（）
A、0B、1C、2D、3
9.在△ABC中，AB=20，AC=15，AD为BC边上的高，且AD=12，则△ABC的周长为（）
A．42B．60C．42或60D．25
10如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，
l2之间的距离为2,l2，l3之间的距离为3,则AC的长是（）
A．217B．25C．42D．7
二、填空题（30分）
11.在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部,一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点，那么它所行的最短路线的长是
12.将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，⋯，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；⋯，
则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数,,.
13.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5m处折断倒下，倒下后树顶落在树根部大约12m处。
这棵
14.
大树折断前高度估计为.
BC5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．
三、解答题（60分）
21.（7分）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图，火柴
盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a,BC=b,AC=，c请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：
a2+b2=c2.
22.（7分）一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零
边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
件各
23（7分）.如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周
24（7分）．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？
25.（7分）一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树终于折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺．
清华开口说道：
“老师，那棵树看起来挺高的．”“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！
”“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧．”冠华兴致勃勃地说．
张老师心有所动，他说：
“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？
”
占明想了想说：
“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角形．”“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的．”绣亚补充说．几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案．（读者朋友，你算出来了吗？
）
26.（7分）如图，在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
28.（10分）阅读材料并解答问题.我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一.古代印度、希腊、阿拉伯等
许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”.
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”.以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法.
1212
方法l：
若m为奇数（m≥3），则a＝m，b＝（m2－1）和c＝（m2+1）是勾股数.22
方法2：
若任取两个正整数m和n（m>n），则a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2+n2是勾股数.
（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a、b、c为边长的△ABC是直角三角形.
（2）请根据方法l和方法2按规律填写下列表格：
勾m
3
5
11
股1（m2－1）
2
4
12
60
弦1（m2+1）
2
5
13
61
m
2
3
3
4
4
4
5
5
6
n
1
2
1
3
2
1
4
3
5
22
A＝m－n
3
5
8
7
12
15
9
16
11
B＝2mn
4
12
6
24
16
8
40
30
60
22
C＝m+n
5
13
10
25
20
17
41
34
61
（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成.要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，那么这四个直角三角形的边上共需植树多少棵.
第28题图
10.A
C，因而有同学就习惯性的认为C就.该题中的条件应转化为a2b2c2，即
参考答案
一、选择题
1.A2.C3.C4.D5.B6.B7.B8.C9.C分析：
1.A分析：
因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为
一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误
AC为D直角三角形，所以
D
2.C分析：
彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时，应将所给
222
数据进行平方看是否满足a2b2c2的形式.因为123，选（C）
3.C
4.D错解：
由勾股定理，得ABAC2BC242325．故选A．
剖析：
致误原因是受“勾3股4弦5”的影响，将△ABC当成了直角三角形而用了勾股定理，出现了知识的“负迁移”．实际上，题中并没有给出直角三角形这个前提条件．
正解：
由三角形三边关系，得ACABACBC，即4由勾股定理a2b2c2，得ca2b2152122341，故选A．
剖析：
致误原因是生搬硬套公式a2b2c2，没有分辨清楚哪个是斜边，哪些是直角边．实际上，
∠A=90o，它所对的边是斜边，即斜边应为a，而不是c．
正解：
在Rt△ABC中，∵∠A=90o，
∴b2c2a2，即c2a2b2．∴c1521229．故选B．
6.B析解：
所求四边形是个不规则的四边形，故连接AC，运用转化的思想，转化为两个三角形的面积，
在直角三角形ABC中，则由勾股定理求得，ACAB2BC25，而在△ACD中，三边长分别为5,12,13，
由52122132，可得AC2CD2AD2，由勾股定理的逆定理，可得△
S四边形ABCD＝SABC＋S
34＋1
512＝36，故选B．
7.B
8.C
9.解：
分两种情形①当高AD在△ABC内部时，其解题过程同错解．②当高
2，在Rt△ABD中，由勾股定理，得BDAB2AD220212216，在Rt△ACD中，由勾股定
122
理，得CDAC2AD
9，∴BC=BD-CD=7，∴△ABC的周长为7+20+15=42．故选C．
二、填空题
11.1012.5，12，
13;8，
15，
17;11，60，61（此题答案不唯一）13.2414.5
15.3016.4
17.8
18.2，47，1319.202920.76
29
分析：
11.利用方体展开图和勾股定理求得
12.5，12，13;8，15，17;11，
13.24
14.展开后，得三条相等的平行直线，
15.30
16.4分析：
只需要把走“捷径”的路求出，以及原来走的路找到，就可以求出少走几步路．
10
60，61（此题答案不唯一）
利用勾股定理求解．
解：
原来走的路为；3+4=7（m）设走“捷径”的路为xm，则有x=32425（m）
少走的路为7-5=2（m）又因为2步为1米，所以他们仅仅少走了4步路．点评：
本题十分有新意，十分自然，从同学们常遇到的走“捷径”问题出发，在应用勾股定理的同时，让我们自觉地多走几步路，就可以留下一片绿色．
17.8析解：
这是一类关于“勾股树”（国外叫做“毕达哥拉斯树”
）的探讨题，主要考查灵活运用勾
股定理解决问题的能力，这里只要由勾股定理的规律通过一系列的探索就可以得到答案是
本题实际是勾股定理的变形应用，只要发现其中的规律，解决问题不是很难的．
解：
根据勾股定理可知，正方形的面积②+正方形②′的面积=正方形①的面积（64×64）12
方形②的面积为（×64×64）cm2；
2
8．
cm2，所以正
1212同理可求正方形③的面积为（×64×64）cm2；正方形④的面积为（×64×64）cm2；
48
正方形⑤的
12121
面积为（×64×64）cm2；正方形⑥的面积为（×64×64）cm2；正方形⑦的面积为（×64×64）3264
16cm2．所以正方形⑦的边长为8cm．
18.2，47，13
19.2029解析：
本题须先构造△
29
ABC并求出其面积，为此连结
AC、BC，由图可知：
S△
AB=2252=29,
ABC=1BC·AD=1AB·CE，利用勾股定理可得：
22
将BC=4，AD=5，AB=29代入上式可得：
CE=2029．即点C到线段AB的距离CE=2029．
2929
20.76
三、解答题
21.∵四边形BCC′D′为直角梯形，∴
2
S梯形BCC′D′=1（BC+C′D′）·BD′=（ab）.∵Rt△ABC≌Rt
22
△AB′C′，∴∠BAC=∠BAC′.∴∠CAC′
=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°.
∴S梯形
c22ab
1121
BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′=ab+c+ab=
2222
22
（ab）2=c22ab.∴a2+b2=c2.
=.∴a+b=c.
2
22.符合
23.由BD2+DC2=122+162=202=BC2得CD⊥AB又AC=AB=BD+AD=12+AD，在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，即（12+AD）2=AD2+162，解得AD=14，故△ABC的周长为2AB+BC=531cm
33
24.由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形，由面积关系可求出公路的最短距离
BD=60km，
13
∴最低造价为120000元25.
如图，则
设直角三角形的三边长分别为a，3米，bc10米．
b2a2
，即（cb）g（cb）
所以c
2
a
cb
32
10
9
9（米）．
10
解得b
1
12[（c
b）
b，c，
2
a，
19
（cb）]2110190
411
20
米）．
26.如图，将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△等腰Rt△，∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8.又∵PB2=1，则∠BPE=90°，∴∠BPC=135°.
27.解
（1）若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2.证明如下：
则DB＝a－x，由勾股定理有bx>0，所以a2+b2>c2.C为钝角，则有a2+b2APC≌△BEC,∴△PCE为
BE2=9，∴PE2+PB2=BE2,
B
如图2，过点A作AD⊥CB于D，设CD＝x，－x2＝c2－（a－x）2，即a2+b2＝c2+2ax，又a>0，
（2）当△ABC是钝角三角形时，不妨假定∠如下：
如图3，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，设CD＝x，则有BD2＝a2－x2，根据勾股定理有AD2+BD2＝AB2，即（b+x）2+a2－x2＝c2，化简得：
a2+b2+2bx＝以a2+b2说明本题是一道探索勾股定理的拓展应用的试题，以及创新能力.
28.解
（1）欲说明以a、b、c为边长的△ABC是直角三角形，我们可借助勾股定理的逆定理来证明.
222
即如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形.选取方法1给出证明.由给出的a、
2
c，
因为b>0，x>0，所
能有效地考查学生的分析、类比、猜想论证能力，
1111
b、c的值及m的取值范围容易判断边长c最大，因为c2－b2＝［1（m2+1）］2－［1（m2－1）］2＝［1（m2+1）+1（m2
2222
11
－1）］［（m2+1）－（m2－1）］＝m2×1＝a2，变形得a2+b2＝c2.所以以a、b、c为边长的△ABC是直角三角形.
22
（2）表格1中m为奇数且m≥3，而表格中已将m＝3、5填入，根据规律显然应填7和9，与之相对
应的股是24和40，弦是25和41；表格2中规律为：
m和n（m>n）均为正整数，且表格中当m的值确定之后，n的值可以取n依次排列于表格中，依据这个规律容易填出表格2中的对应数应该是m分别为5和5，n分别为2和1，A分别为21和24，B分别为21和10，C分别为29和26.
（3）根据每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，且每个三角形最短边上都植6棵树，可知最短直角边长为5米，从表格中不难发现另外两条边长为12米、13米，因而一个直角三角形的边上植树为：
6+13+14－3＝30（棵），故四个直角三角形的边上共需植树30×4＝120棵.
说明本题在求解时要牢牢抓住方法1和方法2，才能使问题一步步的逼近答案.
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