转化与化归的思想方法.docx
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转化与化归的思想方法
转化与化归的思想方法
2019高考数学考点预测：
转化与化归的思想方法
化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。
事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。
例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等等。
化归灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。
在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力。
高考重视常用变换方法：
一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。
1.转化运算．
例1.若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图像分别交于M，N两点，则
MN的最大值为（）
A．1
B
C
D．2
分析:
动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图像分别交于M，N两点,横坐标相同，那么MN就是纵坐标之差，即MN=sinx-cosx求最值。
解
:
MN=sinx-cosx=
π⎫⎛
x-⎪4⎭
⎝
评注:
审题要审准，读懂题意，将问题学会转化。
x
例2．（2019湖北卷，理14）已知函数f（x）=2,等差数列{ax}的公差为2.若
f（a2+a4+a6+a8+a10）=4,则log2[f（a1）⋅f（a2）f（a3）⋅⋅f（a10）]=分析：
题目中的已知条件很容易求得a2+a4+a6+a8+a，1而所求的为
log2[f（a1）⋅f（a2）f（a3）⋅⋅f（a10）]可以转化为等差数列{ax}的前10项之和，根据公差，
可以把前10项之和转化为用a2+a4+a6+a8+a10表示出来，从而求得。
解：
由f（x）=
x
2和f（a2+a4+a6+a8+a10）=4知a2+a4+a6+a8+a10=2，
log2[f（a1）⋅f（a2）f（a3）⋅⋅f（a10）]=log2f（a1）+log2f（a2）++log2f（a10）
=a1+a2+a3++a10=2（a2+a4+a6+a8+a10）-5⨯2=-6
评注：
仔细分析题目，把运算进行转化，可以大大地节省时间，提高做题的效率。
本题中把等差数列{ax}的前10项之和转化为用a2+a4+a6+a8+a10表示出来，比较快捷，减少计算量。
2．新定义运算转化为普通运算
例3．（2019山东省泰安市）如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义集合A#B为阴影
x部分表示的集合．
若x,y∈R,A=x|y=，B=y|y=3
{{（x>0）}，则A#B
为（）
A．{x|0
C．x|0≤x≤1或x≥2D．x|0≤x≤1或x>2
分析：
根据图形语言可知定义的A#B转化为原有的运算应该是表示为ðAB（AB），所以需要求出AB和AB，借助数轴求出并集与交集。
解：
A=x|y==x2x-x2≥0=x0≤x≤
2012x
{}{}
{{}{}
B={y|y=3x（x>0）}={yy>1}，则AB={xx≥0},AB={x1
运算，得A#B=ðAB（AB）={x0≤x≤1或x>2}故选D答案：
D
评注：
本题是集合中的新定义运算题，综合考查了图形语言、集合的描述法表示，函数的定义域和值域，以及集合的交并补的运算。
解题的关键是由图形语言把新定义运算转化为原有的普通运算解出。
例4．（2019山东省郓城一中）定义一种运算a⊗b=⎨
⎧a,a≤b
，令
⎩b,a>b
5π⎫⎡π⎤⎛
f（x）=cos2x+sinx⊗，且x∈⎢0,⎥，则函数fx-⎪的最大值是（）
42⎭⎝⎣2⎦
（）
A．
5
4
B．1
C．-1D．-
54
5
的大小关系，4
分析：
根据新定义，知要确定函数f（x）的解析式，需要比较cos2x+sinx与
即需要求cos2x+sinx的取值范围，另外，还要注意自变量的取值范围，再确定fx-的解析式，从而求出函数的最大值。
⎛⎝
π⎫
⎪2⎭
1⎫5⎛
解：
设y=cosx+sinx=-sinx+sinx+1=-sinx-⎪+，
2⎭4⎝
2
2
2
∵x∈⎢0,
55⎡π⎤2
0≤sinx≤1，∴，∴，即，1≤y≤1≤cosx+sinx≤⎥44⎣2⎦
根据新定义的运算可知f（x）=cos2x+sinx，x∈⎢0,
2
⎡π⎤
⎥2⎣⎦
2
⎡⎛π⎫π⎫1⎤51⎫5⎡π⎤⎛⎛
∴fx-⎪=-⎢sinx-⎪-⎥+=-cosx+⎪+（x∈⎢,π⎥）
2⎭2⎭2⎦42⎭4⎣2⎦⎝⎝⎣⎝
∴函数fx-
⎛⎝
π⎫
5
⎪的最大值是，故选A
42⎭
答案：
A
评注：
解决新定义问题，首先要把定义读懂理解透，把陌生的新内容转化为熟悉的已知的内容，在此基础上进一步研究熟悉的问题。
3．转化函数关系
例5．（2019山东卷，文15）已知f（3x）=4xlog23+233，则f
（2）+f（4）+f（8）++f
（2）的值等于
分析：
本题中的函数不是以x为整体，而是以3为整体给出的解析式，所以要求函数值，需要先求关于x的解析式，再代入求值。
解：
∵f（3x）=4xlog23+233=4log23x+233，∴f（t）=4log2t+233，则f
（2）+f（4）+f（8）++f
（2）
8
x
8
=（4log22+233）+（4log24+233）+（4log28+233）++（4log228+233）
=4（1+2+3++8）+8⨯233=2019
评注：
有些题目中往往所给的解析式不是关于x的解析式，这时需要我们把解析式进行转化，本题中先把函数进行转化，然后进行运算。
4．函数与导函数之间的转化
例6．（2019湖北卷，理7）若f（x）=-取值范围是（）
12
x+bln（x+2）在（-1,+∞）上是减函数，则b的2
A.[-1,+∞）B.（-1,+∞）C.（-∞,-1]D.（-∞,-1）
分析：
把已知条件函数在某区间上是单调减函数需要转化为函数的导函数在此区间上是恒负，再分化出b，转化为函数研究最值问题解决。
解：
∵f（x）=-
12bx+bln（x+2）在（-1,+∞）上是减函数，∴f'（x）=-x+
（-1,+∞）上恒成立，即b-1，∴当b≤-1时，b
1
f（x）=-x2+bln（x+2）在（-1,+∞）上是减函数。
故选C
2
答案：
C
评注：
函数的单调性通常转化为导函数的正负判断，而不等式恒成立又常常转化为函数研究最值问题，本题中还要注意做题的严密性，等号不能丢掉。
例7．（2019福建卷，理12）已知函数y=f（x）,y=g（x）的导函数的图象如下图，那么y=f（x）,y=g（x）的图象可能是（）
分析：
注意观察导函数的图象以及原函数的图象，并把所得到的信息转化为原函数的信息，加以排除选择。
解：
令F（x）=f（x）-g（x），则F'（x）=f'（x）-g'（x），当x
f'（x）>g'（x），即F'（x）>0，F（x）是增函数，则答案Ａ，Ｃ错，当x>x0时，f'（x）
答案：
Ｄ
评注：
对于由图形给出的信息要从中提炼出来，并适当地用数学语言表述准确，本题中的两个函数可以转化为一个函数，进行构造，导函数的正负转化为原函数的增减。
5.三视图转化为立体图
例8．（2019莱阳模拟）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（）A．V=32,n=2B．V=C．V=
64
n=33
32
n=6D．V=16,n=43
64
，故选B3
分析：
由三视图转化为立体图，再做解答。
解：
根据三视图，可知此几何体为一个如图所示的四棱锥，其体积为
答案：
B
评注：
高考题注重对立体几何中的三视图的考查，一般是给出几何体的三视图，让我们还原为立体图，然后求出一些几何量。
例9．（2019山东淄博市模拟）一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（）
正视图侧视图俯视图
3
A．
22B．
3
C．12
D．6
分析：
先把三视图还原为立体图，再由立体图进行解答。
解：
有三视图可知，此几何体为正六棱锥，如图，其中正视图
为PBE，是正三角形，则BE=2，∴底面边长为1，侧棱长为2，M,N分别为AF,CD的中点，则PMN为侧视图，
B
13
MN=，故选A。
22
答案：
A
E
评注：
正确对待三视图，要会还原为立体图，找出相应的量解出，注意对应的量不能出错。
M
6．极坐标与参数方程转化为普通方程
例10．（2019南通四县）（坐标系与参数方程）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数
⎧x=+1⎪⎪2方程是：
⎨，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．⎪y=⎪⎩2
分析：
本题既有参数方程又有极坐标方程，用极坐标方程和参数方程研究弦长问题很难解决，
可以转化为普通方程求出。
解：
曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，即
⎧x=+1⎪2⎪，化为普通方程为x－y－1=0，（x-2）+y2=4直线l
的参数方程⎨
⎪y=⎪⎩2
曲线C的圆心（2，0）到直线l
=2所以直线l与曲线C
相交所成的弦的弦长
评注：
研究极坐标与参数方程问题可以直接研究，也可以转化为普通方程研究，特别是在研
究直线与圆锥曲线的位置关系时常常转化为普通方程求出。
7．函数、方程、不等式之间的转化
例11．（2019山东省济宁市）若函数f（x）=x-3x+a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是
A．（-2,2）
B．[-2,2]
C．（-∞,-1）
D．（1,+∞）
3
分析:
本题为三次函数有三个不同的零点，则函数应该有两个极值点，一个极值为正，一个极值为负，所以要先求出其导数，再求其极值。
3
f（x）=x-3x+a有三个不同的零点,则函数f（x）有两个极值点,且有解:
由函数
2
得x1=1,x2=-1,所以函数f（x）的两个极值为f'（x）=3x-3=3（x+1）（x-）1=0
⎧a+2>0
∴-2
a-2
答案:
A
评注:
一般地对于高次函数来说，要转化为导函数研究问题，特别是在研究函数的单调性、最值等性质时要用导数解决。
例12．设函数f（x）=
a332
x-x+（a+1）x+1,其中a为实数。
32
（Ⅰ）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）已知不等式f（x）>x-x-a+1对任意a∈（0,+∞）都成立，求实数x的取值范围。
分析：
（Ⅱ）中不等式f（x）>x-x-a+1对任意a∈（0,+∞）都成立，可以转化为a的不等式在a∈（0,+∞）都成立，从而变为a的一次函数由单调性来解答；也可以将a分化出来，
'
2
'
2
转化为a的不等式在a∈（0,+∞）恒成立，研究右边函数的最值。
解:
（1）f'（x）=ax2-3x+（a+1），由于函数f（x）在x=1时取得极值，所以f'
（1）=0即a-3+a+1=0,∴a=1
（2）方法一：
由题设知：
ax2-3x+（a+1）>x2-x-a+1对任意a∈（0,+∞）都成立即a（x2+2）-x2-2x>0对任意a∈（0,+∞）都成立
设g（a）=a（x2+2）-x2-2x（a∈R）,则对任意x∈R，g（a）为单调递增函数（a∈R）所以对任意a∈（0,+∞），g（a）>0恒成立的充分必要条件是g（0）≥0
2
即-x-2x≥0，∴-2≤x≤0，于是x的取值范围是x|-2≤x≤0}
{
方法二：
由题设知：
ax2-3x+（a+1）>x2-x-a+1对任意a∈（0,+∞）都成立即a（x2+2）-x2-2x>0对任意a∈（0,+∞）都成立
x2+2xx2+2x
≤0于是a>2对任意a∈（0,+∞）都成立，即2
x+2x+2∴-2≤x≤0，于是x的取值范围是{x|-2≤x≤0}
评注：
对于不等式恒成立问题，一般来说是要分化出参数，转化为求右边函数的最值问题；
但有的也不容易分化，我们也可以转换主变量，把二次函数转化为一次函数，根据一次函数的单调性即可容易完成。
（湖北理）
已知定义在正实数集上的函数f（x）=
12
x+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a>0．设两2
曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用a表示b，并求b的最大值；（II）求证：
f（x）≥g（x）（x>0）．
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：
（Ⅰ）设y=f（x）与y=g（x）（x>0）在公共点（x0，y0）处的切线相同．
3a2∵f'（x）=x+2a，g'（x）=，由题意f（x0）=g（x0），f'（x0）=g'（x0）．
x
⎧12
x0+2ax0=3a2lnx0+b，⎪3a2⎪2即⎨由x0+2a=得：
x0=a，或x0=-3a（舍去）．2
3ax0
⎪x0+2a=，⎪x0⎩
125
a+2a2-3a2lna=a2-3a2lna．22522
令h（t）=t-3tlnt（t>0），则h'（t）=2t（1-3lnt）．于是
2
即有b=
当t（1-3lnt）>0，即00；当t（1-3lnt）e时，h'（t）
11
⎛⎫⎛⎫
+∞⎪为减函数，故h（t）在0，e3⎪为增函数，在e3，
⎝⎭⎝⎭2
⎛1⎫33
3
+∞）的最大值为he⎪=e．于是h（t）在（0，
⎝⎭2
13
13
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x）=
12
x+2ax-3a2lnx-b（x>0），2
3a2（x-a）（x+3a）
=（x>0）．则F'（x）=x+2a-xx+∞）为增函数，故F（x）在（0，a）为减函数，在（a，
+∞）上的最小值是F（a）=F（x0）=f（x0）-g（x0）=0．于是函数F（x）在（0，
故当x>0时，有f（x）-g（x）≥0，即当x>0时，f（x）≥g（x）．
8．数列问题的转化
例13．（2019莱阳高三理）若数列{an}满足
11
则称数列{an}-=d（n∈N*,d为常数），
an-1an
为调和数列。
已知数列⎨
⎧1⎫
⎬为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=。
x⎩n⎭
分析：
根据调和数列的定义，可以看出其倒数数列符合等差数列的定义，由此可以转化，利
用等差数列的定义求出前n项和。
解：
根据调和数列的定义知：
数列{an}为调和数列，则
11
-=d（n∈N*,d为常数），an-1an
⎧1⎫⎧1⎫
也就是数列⎨⎬为等差数列，现在数列⎨⎬为调和数列，则数列{xn}为等差数列，那么
⎩an⎭⎩xn⎭
由x1+x2+…+x20=200，得x1+x2+…+x20=10（x5+x16）=200，x5+x16=20答案：
20
评注：
本题为新定义题，但也不要被表象所迷惑，通过现象看本质，转化为我们熟悉的特殊数列等差数列进一步解答，此题中注意角色的变化，数列⎨差数列是解题的关键。
例14．（2019陕西卷，文20）已知数列{an}的首项a1=
⎧1⎫
⎬为调和数列，数列{xn}为等⎩xn⎭
22an，an+1=，n=1,2,3,…．3an+1
（Ⅰ）证明：
数列{
1n
（Ⅱ）数列{}的前n项和Sn．-1}是等比数列；
anan
分析：
对于证明数列为等比数列，要按定义证明，但证明完后也提示我们下一步要用等比数列求出数列{an}的通项公式，然后进一步判断数列{
n
的类型，从而求出其前n项和Sn。
an
解：
（Ⅰ）an+1=
2ana+11111
，∴=n=+⋅，
an+12an22anan+1
∴
211111
-1=（-1），又a1=，∴-1=，
3an+12ana12
111
-1}是以为首项，为公比的等比数列．
22an
∴数列{
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
1111nn11
-1=⋅n-1=n，即=n+1，∴=n+n．an+1222an2an2
123n
+2+3+…+n，①2222112n-1n
则Tn=2+3+…+n+n+1，②22222
设Tn=
11
（1-）n1111nn1n由①-②得Tn=+2+…+n-n+1=-n+1=1-n-n+1，
1222222221-2
1nn（n+1）
．∴Tn=2-n-1-n．又1+2+3+…+n=
222
2+nn（n+1）n2+n+4n+2n
==n∴数列{的前n项和Sn=2-n+
2222an
评注：
解决数列问题就要判断是否为等差、等比数列，如果不是，那么能否构造新数列为特殊数列，注意转换角色，把数列问题转化为我们熟悉的特殊数列问题和研究方法解答。
9．平面向量、解析几何中的化归思想
例15.（2019全国Ⅰ，理10）若直线A．a+b
2
2
≤1
xy
+=1通过点M（cosα，sinα），则（）ab
111122
B．a+b≥1C．2+2≤1D．2+2≥1
abab
sinα）是单位圆上的点，分析：
点M（cosα，，则可以通过直线与单位圆的位置关系来转化。
，
当然也可以把直线
xy
+=1看作等式或看作向量的数量积来解答。
ab
xy
+=1与圆x2+y2=
1ab
11ab
解法一：
由题意知直线
≤11
+≥1.a2b2
解法二：
设向量m=（cosα,sinα）,n=（,），由题意知
cosαsinα
+=1ab
由m⋅n≤mn
可得1=
cosαsinα+ab答案:
D
评注：
本题中的两种方法都是把已知条件进行了转化，利用化归的思想解决问题不适为捷径，方法比较活跃，知识连接成网，这要靠我们平时积累和总结。
0）B（01），是它的两个顶点，直线例16.（全国Ⅱ，理21）设椭圆中心在坐标原点，A（2，，y=kx（k>0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若ED=6DF，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
分析：
本题中涉及到的点比较多，其中D,E,F都在直线y=kx（k>0）上，（Ⅰ）中的向量要用点的坐标表示出，所以可以先设出各点的坐标，再转化为关于k的方程解出，（Ⅱ）中的四边形AEBF面积可以转化为两个三角形的面积求出，可以都以AB为公共边，也可以以EF为公共边求出。
x2
+y2=1，
（Ⅰ）解：
依题设得椭圆的方程为
4
直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k>0）．如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1
4，故x2=-x1=
．①
15由ED=6DF知x0-x1=6（x2-
x0），得x0=（6x2+x1）=x2=；
77由D在AB上知x0+2kx0=2，得x0=
2
化简得24k-25k+6=0，解得k=
22．所以，=1+
2k1+2k23或k=．38
（Ⅱ）解法一：
根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB
的距离分别为
h1=
=
h2=
=
AB==AEBF的面积为S=
1
AB（h1+
h2）2
1≤=
=
=
2当2k=1，即当k=
1
时，上式取等号．所以S
的最大值为2
解法二：
B
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