高中数学必修230.docx

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高中数学必修230

2.2.3　直线与平面平行的性质

学习目标

　1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行.2.结合具体问题体会转化与化归的数学思想．

知识点　直线与平面平行的性质

思考1　如图，直线l∥平面α，直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？

为什么？

答案　不一定，因为还可能是异面直线．

思考2　如图，直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β＝b，满足以上条件的平面β有多少个？

直线a，b有什么位置关系？

答案　无数个．a∥b.

梳理　线面平行的性质

文字语言

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

符号语言

a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b

图形语言

1．若直线l∥平面α，且b⊂α，则l∥b.（×）

2．若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线．（×）

3．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.（×）

类型一　有关线面平行性质定理的证明

例1　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：

AP∥GH.

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质证明平行问题

证明　连接MO.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点．

又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.

又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，

∴AP∥平面BDM.

又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.

引申探究

本例条件不变，求证：

GH∥平面PAD.

证明　由例1证得AP∥GH.又AP⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，

∴GH∥平面PAD.

反思与感悟　

（1）利用线面平行的性质定理解题的步骤

（2）运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．

跟踪训练1　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：

截面MNPQ是平行四边形．

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质证明平行问题

证明　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，

所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.

同理AB∥PQ，

所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.

所以截面MNPQ是平行四边形．

类型二　与线面平行性质定理有关的计算

例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA＝3，点F在棱PA上，且AF＝1，点E在棱PD上，若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．

考点　直线与平面平行的性质

题点　与线面平行性质有关的计算

解　过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，

连接AC交BD于点O，连接FO.

因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，

所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG⊂平面CGE，CE⊂平面CGE，

所以平面CGE∥平面BDF，

又CG⊂平面CGE，所以CG∥平面BDF，

又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG⊂平面PAC，

所以FO∥CG，又O为AC的中点，

所以F为AG的中点，所以FG＝GP＝1，

所以E为PD的中点，PE∶ED＝1∶1.

引申探究

若本例中增加条件“M是PB的中点”，试作出平面ADM与四棱锥P－ABCD的侧面PBC和PCD的交线，并说明理由．

解　取PC的中点N，连接MN，ND，即为所求．

理由如下：

设平面ADM与PC相交于点N，连接MN，DN，

因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

所以AD∥平面PBC，

又AD⊂平面ADM，平面ADM∩平面PBC＝MN，

所以AD∥MN，所以MN∥BC，又M为PB的中点，

所以N为PC的中点，交线即MN，ND.

反思与感悟　利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点

（1）根据已知线面平行关系推出线线平行关系．

（2）在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系．

（3）利用所得关系计算求值．

跟踪训练2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段FE的长度．

考点　直线与平面平行的性质

题点　与线面平行性质有关的计算

解　∵EF∥平面AB1C，

又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC，

∴EF∥AC，

∵E是AD的中点，

∴EF＝

AC＝

×2

＝

.

1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（　　）

A．平行B．平行或异面

C．平行或相交D．异面或相交

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质判定位置关系

答案　B

解析　由AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，得CD∥α，

所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面．

2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为（　　）

A．都平行

B．都相交且一定交于同一点

C．都相交但不一定交于同一点

D．都平行或交于同一点

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质判定位置关系

答案　A

解析　因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.

3．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又点H，G分别为BC，CD的中点，则（　　）

A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质判定位置关系

答案　B

解析　由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知，

EF∥BD，且EF＝

BD，

又∵EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，

∴EF∥平面BCD，又点H，G分别为BC，CD的中点，

∴HG∥BD且HG＝

BD，

∴EF∥HG且EF≠HG，故选B.

4．如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝______.

考点　直线与平面平行的性质

题点　与线面平行性质有关的计算

答案　5

解析　因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.

5．如图所示，过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：

BB1∥EE1.

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质证明平行问题

证明　∵BB1∥CC1，BB1⊄平面CDD1C1，CC1⊂平面CDD1C1，

∴BB1∥平面CDD1C1.

又BB1⊂平面BEE1B1，且平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1，

∴BB1∥EE1.

1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．

2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．

一、选择题

1．如图，已知S为四边形ABCD外一点，点G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则（　　）

A．GH∥SA

B．GH∥SD

C．GH∥SC

D．以上均有可能

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质判定位置关系

答案　B

解析　因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.

2．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线（　　）

A．只有一条，不在平面α内

B．有无数条，不一定在α内

C．只有一条，且在平面α内

D．有无数条，一定在α内

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质判定位置关系

答案　C

解析　由线面平行性质定理知过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故选C.

3．对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是（　　）

A．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥α

B．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交

C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥n

D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质判定位置关系

答案　C

解析　由线面平行的性质定理知C正确．

4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．异面D．平行或异面

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质判定位置关系

答案　A

解析　由长方体性质知：

EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.

又∵EF∥AB，∴GH∥AB.

5．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是（　　）

A．E，F，G，H一定是各边的中点

B．G，H一定是CD，DA的中点

C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC

D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质判定位置关系

答案　D

解析　由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.

6．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为（　　）

A.

B.

C．1D.

考点　直线与平面平行的性质

题点　与线面平行性质有关的计算

答案　A

解析　如图，连接AD1，AB1，∵PQ∥平面AA1B1B，

平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，

PQ⊂平面AB1D1，∴PQ∥AB1，

∴PQ＝

AB1＝

＝

.

7.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，点E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为（　　）

A．2＋

B．3＋

C．3＋2

D．2＋2

考点　直线与平面平行的性质

题点　与线面平行性质有关的计算

答案　C

解析　∵CD∥AB，CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，

∴CD∥平面SAB.

又平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF，

又CD∥AB，∴AB∥EF.

∵SE＝EA，∴EF为△ABS的中位线，

∴EF＝

AB＝1，

又DE＝CF＝

，

∴四边形DEFC的周长为3＋2

.

二、填空题

8.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝

，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.

考点　直线与平面平行的性质

题点　与线面平行性质有关的计算

答案　

a

解析　∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，

∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝

，

故PQ＝

＝

DP＝

.

9．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有_____条．

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质判定位置关系

答案　0或1

解析　过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．

10.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______．

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质判定位置关系

答案　平行四边形

解析　∵AB∥α，

平面ABC∩α＝EG，

∴EG∥AB.同理FH∥AB，

∴EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，

∴GH∥CD.同理EF∥CD，

∴GH∥EF，∴四边形EFHG是平行四边形．

11．如图所示的正方体的棱长为4，点E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为________．

考点　直线与平面平行的性质

题点　与线面平行性质有关的计算

答案　4

＋6

解析　由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4

＋6

.

三、解答题

12．如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：

四边形BCFE是梯形．

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质证明平行问题

证明　∵四边形ABCD为矩形，

∴BC∥AD.

∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，

∴BC∥平面PAD.

∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，

∴BC∥EF.

∵AD＝BC，AD≠EF，

∴BC≠EF，∴四边形BCEF是梯形．

13.如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．

考点　直线与平面平行的性质

题点　与线面平行性质有关的计算

解　如图，连接BD交AC于点O1，连接OM.

因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，PC⊂平面PAC，

所以PC∥OM，所以

＝

.

在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以

＝

.

又AO1＝CO1，所以

＝

＝

，故PM∶MA＝1∶3.

四、探究与拓展

14.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列命题中错误的是（　　）

A．AC⊥BD

B．AC∥截面PQMN

C．AC＝BD

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质判定位置关系

答案　C

解析　由题意知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，则AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确；C是错误的，故选C.

15．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质证明平行问题

解　若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，

连接MN，NF.

因为BF∥平面AA1C1C，

BF⊂平面FBMN，

平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，

所以BF∥MN.

又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，

平面FBMN∩平面AEF＝FN，

所以MB∥FN，

所以BFNM是平行四边形，

所以MN∥BF，MN＝BF＝1.

而EC∥FB，EC＝2FB＝2，

所以MN∥EC，MN＝

EC＝1，

故MN是△ACE的中位线．

所以当M是AC的中点时，

MB∥平面AEF.