黄金分割法进退法原理及流程图.docx
《黄金分割法进退法原理及流程图.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《黄金分割法进退法原理及流程图.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
黄金分割法进退法原理及流程图
1黄金分割法的优化问题
（1）黄金分割法基本思路：
黄金分割法适用于［a,b］区间上的任何单股函数求极小值问题，对函
数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。
因此，这种方法的适应面非常广。
黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间［a，b］内适当插入两点al,a2,并计算其函数值。
a1,a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。
然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。
（2）黄金分割法的基本原理
一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。
一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。
该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。
rl=a+0.382（>-a）
r2=a+0.618Cb-a）
如图他忍1）
所以新区间^J［a?
f2］
凶対新区间，继续求新的试点
黄金分割法是用于一元函数f（x）在给定初始区间［a,b］内搜索极小点a*的一种方法。
它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数⑹，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。
其基本原理是：
依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间⑺。
具体步骤是：
在区间［a,b］内取点：
al，a2把［a,b］分为三段。
如果f（a1）>f（a2），令a=a1,a仁a2,a2=a+r*（b-a）;如果f（a1）敛精度£重新开始。
因为［a,b］为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或0.382倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区
［a,b］逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。
黄金分割法原理如图1所示，
（3）程序流程如下:
4实验所编程序框图
给定a=-3,b=5,收敛精度&=0.001
r=0.618
a1=b-r*（b-a）
y仁f（a1）
a2=a+r*（b-a）
y2=f（a2）
是
y1>=y2
a=a1
a1=a2
y仁y2
b=a2
a2=a1y2=y1
1
r
a1=b-r*（b-a）y1=f（a1）
a2=a+r*（b-a）y2=f（a2）
（b-a）/b|<£和
（y2-yl）/y2|
a*=（a+b）/2
结束
#include《math.h》
#include《stdio.h》
#definef（x）x*x+2*x
doublecalc（double*a,double*b,doublee,int*n）{doublex1,x2,s;
if（fabs（*b-*a）<=e）
s=f（（*b+*a）/2）;
else
{x1=*b-0.618*（*b-*a）;
x2=*a+0.618*（*b-*a）;
if（f（x1）>f（x2））
*a=x1;
else
*b=x2;
*n=*n+1;
s=calc（a,b,e,n）;
}
returns;
}
main（）
{doubles,a,b,e;
intn=0;
seanf（"%lf%lf%lf",&a,&b,&e）;
s=calc（&a,&b,e，&n）;
printf（"a=%lf,b=%lf,s=%lf,n=%d\n",a,b,s,n）;
5程序运行结果如下图:
2进退法
（1）算法原理
进退法是用来确定搜索区间（包含极小值点的区间）的算法，其理论依据是：
f（x）为
单谷函数（只有一个极值点），且［a,b］为其极小值点的一个搜索区间，对于任意
Xi,X2［a,b］，如果fxifX2，则［a,X2］为极小值的搜索区间，如果fxifX2，则［Xi,b］为极小值的搜索区间。
因此，在给定初始点xo，及初始搜索步长h的情况下，首先以初始步长向前搜索一步，计算fx0h。
（1）如果fXofx0h
则可知搜索区间为［%Xoh］，其中％寺求，为确定％后退一步计算f（Xoh），
为缩小系数，且01,直接找到合适的*，使得f（x。
*h）fxo，从而确定搜
索区间［xoh,xoh］。
（2）如果fx（）fxoh
则可知搜索区间为［xo,%，其中％寺求，为确定%前进一步计算f（xoh）,为
放大系数，且1，知道找到合适的*，使得fxohf（xo*h），从而确定搜索
区间［xo,xo*h］。
进退法求极值
基本思想：
对f（x）任选一个初始点xi及初始步长ho,通过比较这两点函数值的大小，确定第三点位置，比较这三点的函数值大小，确定是否为“高一低-
高”形态。
算法原理
1.试探搜索：
选定初始点X1,x2=x1+ho,计算y1=f（X1）,y2=f（X2）
（a）如y1>y2,转2向右前进；
（b）如y1Vj
*
2厂
--/
y：
£
图8.1
2.前进搜索
加大步长h=2h，产生新点X3=X2+2ho；
（a）女口y2（b）如y2>y3,
令Xi=X2,yi=y2；
X2=X3，y2=y3；
h=2h
V2
4
r
yi
.Y?
X
：
2
1
图8.3
（2）算法步骤
用进退法求一维无约束问题minf（x）,xR的搜索区间（包含极小值点的区间）的基
本算法步骤如下：
（1）给定初始点x（0），初始步长ho，令hho，x⑴x（0），k0；
2）
令x（4）
x⑴h，置kk1；
3）
若fx（4）fx
（1），则转步骤（4），
否则转步骤（
5）；
4）
令x
（2）
（1）
（1）（4）
（2）
x,xx，fxf
x
（1），fx
（1）
fX⑷，令h2h,
转步骤
（2）；
5）
若k
1，则转步骤（6）否则转步骤（
7）；
6）
令h
h，x
（2）x（4），fx
（2）f
x（4），转步骤
（2）；
7）
令x（3）
x
（2）,x
（2）x
（1）,x
（1）x（4），
停止计算，
极小值点包含于区间
[x
（1）,x
⑶]或[x⑶,x
（1）]
（3）算法的MATLAB实现
在MATLAB中编程实现的进退函数为：
minJT功能：
用进退法求解一维函数的极值区间。
调用格式：
[minx,maxx]minJT（f,x0,h0,eps）其中，f：
目标函数；
X0:
初始点；hO:
初始步长；eps:
精度；minx:
目标函数取包含极值的区间左端点；maxx:
目标函数取包含极值的区间又端点。
进退法的MATLAB程序代码如下:
function[minx,maxx]=minJT（f,xO,hO,eps）%目标函数:
f;
%初始点:
xO;%初始步长:
hO;
%精度:
eps;%目标函数取包含极值的区间左端点:
minx;%目标函数取包含极值的区间又端点:
maxx;
formatlong;ifnargin==3
eps=1.Oe-6;endx1=xO;k=O;h=hO;
while1x4=x1+h;%试探步
k=k+1;f4=subs（f,findsym（f）,x4）;f1=subs（f,findsym（f）,x1）;
iff4x2=x1;
x1=x4;
f2=f1;
f1=f4;
h=2*h;%加大步长
else
ifk==1h=-h;%反向搜索x2=x4;f2=f4;
elsex3=x2;x2=x1;x1=x4;break;
end
end
endminx=min（x1,x3）;maxx=x1+x3-minx;formatshort;
流程图如下：
升级会员 