当x＝
时，S最大值＝
.
即当剪去的小正方形的边长为
cm时，长方体盒子的侧面积有最大值
cm2.
5．（2016·安徽十校联考四模）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？
（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）该公司的销售人员发现：
当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元（其他销售条件不变）?
解：
（1）设件数为x，根据题意，得
3000－10（x－10）＝2600.
解得x＝50.
答：
商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元．
（2）由题意，得3000－10（x－10）≥2600.解得x≤50.
当0≤x≤10时，y＝（3000－2400）x＝600x；
当10＜x≤50时，y＝[3000－2400－10（x－10）]x＝－10x2＋700x；
当x＞50时，y＝（2600－2400）x＝200x.
（3）由y＝－10x2＋700x可知抛物线开口向下．
∴当x＝－
＝35时，利润y有最大值，此时销售单价为3000－10×（35－10）＝2750（元）．
答：
公司应将最低销售单价调整为2750元．
6．（2016·临朐县一模）家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加
kΩ.
（1）求当10≤t≤30时，R和t之间的关系式；
（2）求温度在30℃时电阻R的值；并求出t≥30时，R和t之间的关系式；
（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6kΩ？
解：
（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，
∴设R和t之间的关系式为R＝
.
将（10，6）代入上式中得6＝
，解得k＝60.
∴当10≤t≤30时，R＝
.
（2）将t＝30代入上式中，得R＝
，解得R＝2.
∴温度在30℃时，电阻R＝2kΩ.
∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加
kΩ，
∴当t≥30时，R＝2＋
（t－30），
即R＝
t－6.
（3）把R＝6代入R＝
t－6，得t＝45.
∴温度在10～45℃时，电阻不超过6kΩ.
7.（2016·合肥高新区一模）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝kx上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y＝ax2＋bx.
（1）若已知k＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，求此时a，b的值；
（2）若k＝1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少m?
（3）若k＝2，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求a的取值范围．
解：
（1）当k＝1时，y＝x.
由题意，得抛物线的顶点坐标为（3，3）．
∴设抛物线的解析式为y＝a（x－3）2＋3.
又∵抛物线过原点（0，0）．
∴a×（－3）2＋3＝0，
解得a＝－
.
∴y＝－
（x－3）2＋3，即y＝－
x2＋2x.
∴a＝－
，b＝2.
（2）∵k＝1，喷出的水恰好达到岸边，出水口离岸边18m，抛物线的顶点在直线y＝kx上，
∴此时抛物线的对称轴为x＝9，y＝x＝9，即顶点坐标为（9，9）．
故此时喷出的抛物线水线最大高度是9m.
（3）∵y＝ax2＋bx的顶点为
，抛物线的顶点在直线y＝2x上，
∴－
·2＝
，解得b＝4.
∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边18m，
∴－
＜9，即－
＜9.
又∵a＜0，∴a＜－
.
8．（2016·芜湖繁昌县一模）某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式y＝a（x－h）2＋k，二次函数y＝a（x－h）2＋k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12，点A，B的纵坐标分别为－16，20.
（1）试确定函数关系式y＝a（x－h）2＋k；
（2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；
（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最大？
最大利润是多少万元？
解：
（1）根据题意可设y＝a（x－4）2－16.
当x＝10时，y＝20.
∴a（10－4）2－16＝20，解得a＝1.
∴所求函数关系式为y＝（x－4）2－16.
（2）当x＝9时，y＝（9－4）2－16＝9，
∴前9个月公司累计获得的利润为9万元．
当x＝10时，y＝20，而20－9＝11.
答：
10月份一个月内所获得的利润为11万元．
（3）设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s（万元），则有
s＝（n－4）2－16－[（n－1－4）2－16]＝2n－9.
∵s是关于n的一次函数，且2＞0，
∴s随着n的增大而增大．
又∵1≤n≤12，∴当n＝12时，s最大＝15.
答：
12月份该公司一个月内所获得的利润最大，最大利润是15万元．
9．（2016·安庆二模）某玩具店试销售一种进价为20元的新型玩具，根据物价部门规定：
该玩具售价不得超过90元.在连续七天的试销售过程中，玩具店就销售量y（个）与售价x（元）之间的变化关系做了如下记录.
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
售价x
30
30
35
40
40
40
45
销售量y
100
100
95
90
90
90
85
（1）运用所学过的函数知识，试判断y与x之间的函数关系，并求y与x的函数关系式；
（2）该玩具店若想每天获得2400元的利润，应将售价定为多少元？
（3）这种新型玩具的售价定为多少元时，玩具店每天能够获得的利润w（元）最大？
此时的最大利润为多少元？
解：
（1）建立平面直角坐标系，并将表格中的数据看成点的坐标，并在坐标系中描出各点，根据点的排列趋势，可判断y与x之间满足一次函数关系，故设y＝kx＋b（k≠0），分别将（30，100）和（40，90）代入，可得
解得
∴y与x的函数关系式为y＝－x＋130.
（2）根据题意，得（x－20）（－x＋130）＝2400.
解得x1＝50，x2＝100.
∵x2＝100＞90，故x＝50.
答：
应将售价定为50元．
（3）根据题意，得w＝（x－20）（－x＋130）＝－x2＋150x－2600＝－（x－75）2＋3025.
∵a＝－1<0，∴当x＝75时，w最大＝3025.
答：
当售价定为75元时，能够获得最大利润为3025元．
10．（2016·阜阳二模）某市决定对欲引进种植的A，B两种绿色蔬果实行政府补贴，分析得到以下两条信息：
信息一：
对于A种蔬果，所获收益yA（万元）与补贴金额x（万元）之间满足正比例函数关系：
yA＝kx；
信息二：
对于B种蔬果，所获收益yB（万元）与补贴金额x（万元）之间满足二次函数关系：
yB＝ax2＋bx.
x/万元
1
2
yA/万元
0.6
1.2
yB/万元
2.4
4.4
其中，yA，yB（万元）与补贴金额x（万元）的部分对应值如上表所示：
（1）填空：
yA＝0.6x；yB＝－0.2x2＋2.6x；
（2）如果政府对两种蔬果种植补贴总额共15万元，设总收益为W（万元），对种植B种蔬果的补贴金额为x（万元），试求出W与x之间的函数关系式，并求出W的最大值；
（3）如果政府对两种蔬果种植补贴的总额在10～16万元（含10，16万元），那么补贴总额是多少万元时才能获得最大收益率？
（收益率＝
×100%）
解：
（2）W＝yA＋yB
＝0.6（15－x）＋（－0.2x2＋2.6x）
＝－0.2x2＋2x＋9.
∵－0.2<0，∴当x＝－
＝5时，W最大＝14.
（3）设政府对两种蔬果种植补贴总额为n万元，
其中对于种植B种蔬果的补贴金额为x万元，总收益为W万元．
则W＝yA＋yB＝0.6（n－x）＋（－0.2x2＋2.6x）
＝－0.2x2＋2x＋0.6n
＝－0.2（x－5）2＋5＋0.6n.
∴x＝5时，W最大＝5＋0.6n
∴收益率为
＝
＋0.6，显然n越小，收益率越大．
∴当补贴总额为10万元时，能获得最大收益率．
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