排列组合问题的解题技巧.docx
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排列组合问题的解题技巧
排列组合问题的解题方略
排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问题。
同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。
因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。
首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:
1．使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？
“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。
运用两个基本原理
加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分类或分步处理。
例1．n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？
解法1：
用分类计数的原理：
没有人通过，有
种结果；1个人通过，有
种结果，……；n个人通过，有
种结果。
所以一共有
种可能的结果。
解法2：
用分步计数的原理：
第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。
所以一共有
种可能的结果。
2．排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。
3．复杂的排列问题常常通过试验、画“树图”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。
4．按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。
5．处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
6．在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。
总之，解决排列组合问题的基本规律，即：
分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。
其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。
下面介绍几种常用的解题方法和策略。
一．特殊元素（位置）的“优先安排法”：
对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。
例1．用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。
A．24个B.30个C.40个D.60个
[分析]由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：
1）0排末尾时，有A42个，2）0不排在末尾时，则有C21A31A31个，由分数计数原理，共有偶数A42+C21A31A31=30个，选B。
解法一：
（元素优先）分两类：
第一类，含0，0在个位有A42种，0在十位有A21·A31种；第二类，不含0，有A21·A32种。
故共有（A42+A21·A31）+A32·A21=30。
注：
在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
解法二：
（位置优先）分两类：
第一类，0在个位有A42种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有A21·A31·A31种。
故共有A42+A21·A31·A31=30。
对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例2．（1995年上海）1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法（）种．
解：
先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有C31种，而其余学生的排法有A44种，所以共有C31·A44＝72种不同的排法.
例3．（2000年全国）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有（）种.
解：
由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有A33种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有A72种排法，所以不同的出场安排共有A33·A72＝252种.
特殊优先，一般在后对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。
在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
二．总体淘汰法：
对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。
如例1中，也可用此法解答:
五个数字组成三位数的全排列有A53个，排好后发现0不能排首位，而且数字3，5也不能排末位，这两种排法要排除，故有A53--3A42+C21A31=30个偶数。
在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例6.（1996年全国）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.
解：
从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.
三．合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
四．相邻问题用捆绑法：
在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．
例7．有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有（）种．（结果用数值表示）
解：
把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有A55种排法；又3本数学书有A33种排法，2本外语书有A22种排法；根据分步计数原理共有排法A55A33A22=1440（种）.
注：
运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题．
例10． 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？
解：
先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。
同时，3个女生自身也应全排列。
由乘法原理共有A66·A33种。
五．不相邻问题用“插空法”：
不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开．解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法．
例13．排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？
解：
先排5个不是小品的节目，有
种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有6个空隙，将3个小品插入进去，有
种排法，所以一共有
=7200种排法。
注：
捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题。
例14． 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？
解：
先排无限制条件的男生，女生插在5个男生之间的4个空隙，由乘法原理共有A55A43种。
注意：
①必须分清“谁插入谁”的问题。
要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素；②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。
六．顺序固定用“除法”：
对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。
例16．6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？
分析：
不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。
故符合条件的排法有A66÷A33=120种。
（或A63种）
例17．4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。
解：
先在7个位置中任取4个给男生，有A74种排法，余下的3个位置给女生，只有一种排法，故有A74种排法。
（也可以是A77÷A33种）
元素定序，先排后除或选位不排或先定后插
对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。
也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。
例18． 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？
解法一：
先5人全排有A55种，由于全排中有甲、乙的全排种数A22，而这里只有1种是符合要求的，故要除以定序元素的全排A22种，所以有A55/A22=60种。
解法二：
先在5个位置中选2个位置放定序元素（甲、乙）有C52种，再排列其它3人有A33，由乘法原理得共有C52A33=60种。
解法三：
先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有3种方法，接着插入第二人有4种方法，最后插入第三人有5种方法。
由乘法原理得共有3×4×5=60种。
七．分排问题用“直排法”：
把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排法来处理。
例19．7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？
分析：
7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件,故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有A77种。
八．逐个试验法：
题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。
例20.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有（）
A．6B.9C.11D.23
解：
第一方格内可填2或3或4，如第一填2，则第二方格可填1或3或4，若第二方格内填1，则后两方格只有一种方法；若第二方格填3或4，后两方格也只有一种填法。
一共有9种填法，故选B
九、构造模型“隔板法”
对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。
例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。
请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？
本题考查组合问题。
解：
先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有种插法，即有15种分法。
例22．20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？
解：
将20个球排成一排，一共有21个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（两个隔板可以插在同一空隙中），规定由隔板分成的左、中、右三部分球分别分给3个人，则每一种隔法对应了一种分法，每一种分法对应了一种隔法，于是分法的总数为
种方法。
注：
本题可转化成求方程
的非负整数解的个数。
相同元素进盒，用档板分隔
例23．10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？
解：
这里只是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同的盒内，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9个间隔中选4个位置插入4块“档板”分成5格（构成5个盒子）有C94种方法。
注：
档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。
十.正难则反——排除法
对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法．
例24．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）种．
A．140种B．80种C．70种D．35种
解：
在被取出的3台中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意，因此符合题意的抽取方法有C93-C43-C53=70（种），故选C．
注：
这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题．
例26．100件产品中有3件是次品，其余都是正品。
现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？
解：
从100件产品中取5件产品，有
种取法，从不含次品的95件中取出5件产品有
种取法，所以符合题意的取法有
种。
+
=21600种排法。
十一．逐步探索法：
对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要认真分析，探索出其规律。
例28．从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法种数有多少种。
解：
两个数相加中以较小的数为被加数，1+100>100，1为被加数时有1种，2为被加数有2种，…，49为被加数的有49种，50为被加数的有50种，但51为被加数有49种，52为被加数有48种，…，99为被捕加数的只有1种，故不同的取法有（1+2+3+…+50）+（49+48+…+1）=2500种
十二．一一对应法：
例29.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要比赛几场？
解：
要产生一名冠军，要淘汰冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，要淘汰一名就要进行一场，故比赛99场。
十三、多元问题——分类讨论法
对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
例30．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A）
A．42B．30C．20D．12
解：
增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：
1.不相临：
共有A62种；2.相临：
共有A22A61种。
故不同插法的种数为：
A62+A22A61=42，故选A。
例31．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？
（以数字作答）
解：
区域1与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色。
用三种颜色着色有=24种方法,用四种颜色着色有=48种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72.
多类元素组合，分类取出
例32．车间有11名工人，其中4名车工，5名钳工，AB二人能兼做车钳工。
今需调4名车工和4名钳工完成某一任务，问有多少种不同调法？
解：
不同的调法按车工分为如下三类：
第一类调4车工4钳工；第二类调3车工4钳工，从AB中调1人作车工；第二类调2车工4钳工，把AB二人作为车工。
故共有C44C74+C43C21C64+C42C22C54=185种不同调法。
注：
本题也可按钳工分类。
若按A、B分类，会使问题变得复杂
十四、混合问题——先选后排法
对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．
例33．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）
A．种B．种C．种D．种
解：
本试题属于均分组问题。
则12名同学均分成3组共有种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有：
种，故选A。
例34．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）
A．24种B．18种C．12种D．6种
解:
先选后排,分步实施.由题意，不同的选法有:
C32种,不同的排法有:
A31·A22,故不同的种植方法共有A31·C32·A22=12，故应选C.
排组混合，先选后排
对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。
例35．（95年全国）4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒内，则恰有一个空盒的放法有几种？
解：
由题意，必有一个盒内有2个球，同一盒内的球是组合，不同的球放入不同的盒子是排列。
因此，有C42A43=144种放法。
练习2 由数字1，2，3，4，5，6，7组成有3个奇数字，2个偶数字的五位数，数字不重复的有多少个？
答案：
有C43C32A55=1440（个）
十五.机会均等法
例36．10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？
解：
甲、乙、丙三人排列一共有6种排法，在这6种排法中各种排列顺序在10个人的所有排列中出现的机会是均等的，因此符合题设条件的排法种数为
。
例37．用1，4，5，
四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求
。
解：
若
不为0，在每一个数位上1，4，5，
，出现的机会是均等的。
由于一共可以得到24个四位数，所以每一个数字在每一个数位上出现6次，于是得到：
，解得
。
若
为0，无解。
十六.转化法
例38．一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？
解：
10级台阶，要求8步走完，并且每步只能走一级或2级。
显然，必须有2步中每步走2级，6步中每步走一级。
记每次走1级台阶为A，记每次走2级台阶为B，则原问题就相当于在8个格子中选2个填写B。
其余的填写A，这是一个组合问题，所以一共有
种走法。
例39．动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有多少种走法？
解：
动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为14，把动点运动1个单位看成是1步，则动点走了14步，于是问题就转化为在14个格子中填写6个“上”和8个“右”，这也是一个组合的问题，于是得到一共有
种走法。
十七、“小团体”排列，先“团体”后整体
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。
例40． 四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？
解：
先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有A42A22种，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有A33种，由乘法原理，共有A42A22A33种。
练习7 6人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种？
答案：
A22·A44
十八、不同元素进盒，先分堆再排列
对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。
例41． 5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？
解：
先把5位老师分3堆，有两类：
3、1、1分布有C53种和1、2、2分布有C51C42C22/A22种，再排列到3个班里有A33种，故共有（C53+C51C42C22/A22）·A33。
注意：
不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位（否则有重复计数）。
即“同一盒内的元素必须一次进入”。
练习8 有6名同学，求下列情况下的分配方法数：
1分给数学组3人，物理组2人，化学组1人；
2分给数学组2人，物理组2人，化学组2人；
③分给数学、物理、化学这三个组，其中一组3人，一组2人，一组1人；
④平均分成三组进行排球训练。
答案：
①C63C32C11；②C62C42C22；③C63C32C11·A33；④C62C42C22/A33。
十九、两类元素的排列，用组合选位法
例42 ．10级楼梯，要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？
解：
由题意知，有4步跨单级，3步跨两级，所以只要在7步中任意选3步跨两级即可。
故有C73种跨法。
注意：
两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。
练习10 3面红旗2面黄旗，全部升上旗杆作信号，可打出几种不同的信号？
答案：
C52
例43． 沿图中的网格线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条？
解：
每一种最短走法，都要走三段“|”线和四段“—”线，这是两类元素不分顺序的排列问题。
故有C74或C73种走法。
例44．从5个班中选10人组成校篮球队（无任何要求），有几种选法？
解：
这个问题与例12有区别，虽仍可看成4块“档板”将10个球分成5格（构成5个盒子），是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。
但某些盒子中可能没有球，故4块“档板”与10个球一样也要参与排成一列而占位置，故有C144种选法。
练习11 （a+b+c+d）10的展开式有几项？
提示：
因为每一项都是由a,b,c,d中的一个或多个相乘而得到的10次式，所以可以看成是10个球与3块档板这两类元素不分顺序的排列，故共有C133项。
注意：
怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。
二十、个数不少于盒子编号数，先填满再分隔
例45． 15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？
解：
先用6个球按编号数“填满”各盒（符合起码要求）,再把9个球放入3个盒内即可,可用2块档板与9个球一起排列（即为两类元素的排列问题）,有C112种。
总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：
排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘。
具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：
（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。
（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。
（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的
排列组合数。
应该指出的是，以上介绍的各种方法是解决一般排列组合问题常用方法，并非绝对的。
数学是一门非常灵活的课程，同一问题有时会有多种解法，这时，要认真思考和分析，灵活选择最佳方法．还有像多元问题“分类法”、环排问题“线排法”、“等概率法”等在此不赘述了。
排列与组合配合练习
一.填空题:
（用直接填空法解下列排列组合问题）
1.7个人并排站成一排
（1）如果甲必须站在中间,有__________________种排法.
（2）如果甲、乙两人必须站在两端,有_____________________种排法.
2.用0,1,2,3,4,5,可以组成没有重复数字的四位偶数_________________个.
用集团法-----若千元素要相邻时,或要按顺序
3.四男三女排成一排,
（1）三个女的要相邻,有________种排法;
（2）女同学必须按从高到矮的顺序（可不相邻）有___________种.
用插空位的方法-----若千元素互不相邻时.
4.四男三女排成一排,
（1）女同学互不相邻,有____________种排法.
（2）男同学互不相邻,女同学也互不相邻,有____________种排法.
用间接法.
5.8人排成一排,其中甲、乙两人不排在一起,有______________________种排法.
6.平面内有8个点,其中有4个点共线,另外还有三点共线,此外再无三点共线.
则
（1）过这8个点中的任何两点可和__________条直线.
（2）由这8个点可以组成
__________个不
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