1920 第2章 22 223 直线与平面平行的性质.docx

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1920第2章22223直线与平面平行的性质

2.2.3　直线与平面平行的性质

学习目标

核心素养

1.了解直线与平面平行的性质定理的探究以及证明过程.

2.理解直线与平面平行的性质定理的含义并能应用．（重点）

3.能够综合应用直线与平面平行的判定定理和性质定理进行线面平行的相互转化．（难点）

通过学习直线与平面平行的性质，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.

直线与平面平行的性质定理

文字语言

一条直线与一个平面平行，过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.

符号语言

a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b

图形语言

思考：

若a∥α，b⊂α，则直线a一定与直线b平行吗？

[提示]　不一定．由a∥α，，可知直线a与平面α无公共点，又b⊂α，，所以a与b无公共点，所以直线a与直线b平行或异面．

1．如图，过正方体ABCDA′B′C′D′的棱BB′作一平面交平面CDD′C′于EE′，则BB′与EE′的位置关系是（　　）

A．平行　B．相交

C．异面D．不确定

A　[因为BB′∥平面CDD′C′，BB′⊂平面BB′E′E，平面BB′E′E∩平面CDD′C′＝EE′，所以BB′∥EE′.]

2．设m、n是平面α外的两条直线，给出以下三个论断：

①m∥n；②m∥α；③n∥α.

以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：

________．（用序号表示）

①②⇒③（或①③⇒②）　[设过m的平面β与α交于l.因为m∥α，所以m∥l，因为m∥n，所以n∥l，因为n⊄α，l⊂α，所以n∥α.]

直线与平面平行性质定理的应用

[探究问题]

1．直线与平面平行性质定理的条件有哪些？

[提示]　线面平行的性质定理的条件有三个：

（1）直线a与平面α平行，即a∥α；

（2）平面α、β相交于一条直线，即α∩β＝b；

（3）直线a在平面β内，即a⊂β.三个条件缺一不可．

2．直线与平面平行的性质定理有什么作用？

[提示]　定理的作用：

（1）线面平行⇒线线平行；

（2）画一条直线与已知直线平行．

3．直线与平面平行的判定定理和性质定理有什么联系？

[提示]　经常利用判定定理证明线面平行，再利用性质定理证明线线平行．

【例1】　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：

截面MNPQ是平行四边形．

[证明]　因为AB∥平面MNPQ，

平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，

所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN，同理，AB∥PQ，

所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.

所以截面MNPQ为平行四边形．

将本例变为：

如图所示，四边形ABCD是矩形，P

平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.

求证：

四边形BCFE是梯形．

[证明]　因为四边形ABCD为矩形，

所以BC∥AD，

因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，

所以BC∥平面PAD.

因为平面BCFE∩平面PAD＝EF，

所以BC∥EF.

因为AD＝BC，AD≠EF，

所以BC≠EF，

所以四边形BCFE是梯形．

1．利用线面平行性质定理解题的步骤：

2．证明线线平行的方法：

（1）定义：

在同一个平面内没有公共点的两条直线平行．

（2）平行公理：

平行于同一条直线的两条直线平行．

（3）线面平行的性质定理：

⇒a∥b，应用时题目条件中需有线面平行．

与线面平行性质定理有关的计算

【例2】　如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA＝3，点F在棱PA上，且AF＝1，点E在棱PD上，若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．

[解]　过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O，连接FO.

因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，

所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG⊂平面CGE，CE⊂平面CGE，

所以平面CGE∥平面BDF，

又CG⊂平面CGE，所以CG∥平面BDF，

又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG⊂平面PAC，

所以FO∥CG，又O为AC的中点，

所以F为AG的中点，所以FG＝GP＝1，

所以E为PD的中点，PE∶ED＝1∶1.

利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点：

（1）根据已知线面平行关系推出线线平行关系．

（2）在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系．

（3）利用所得关系计算求值．

如图所示，在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．

6

＋3

　[如图所示，延长EF，A1B1相交于点M，连接AM，交BB1于点H，连接FH，延长FE，A1D1相交于点N，连接AN交DD1于点G，连接EG，可得截面五边形AHFEG，因为几何体ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正方体，且E、F分别是棱C1D1，B1C1的中点，所以EF＝3

，易知B1M＝C1E＝

C1D1＝

A1B1，又B1H∥AA1，所以B1H＝

AA1＝2，则BH＝4，易知AG＝AH＝

＝2

，EG＝FH＝

＝

，所以截面的周长为6

＋3

.]

1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．

2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．

1．如图，在三棱锥SABC中，E，F分别是SB,SC上的点，且EF∥平面ABC，则（　　）

A．EF与BC相交

B．EF∥BC

C．EF与BC异面

D．以上均有可能

B　[因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC.]

2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有（　　）

A．0条B．1条　　C．0条或1条　　D．无数条

C　[过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．]

3．过正方体ABCDA1B1C1D1的三顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．

平行　[因为A1C1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1C1B，

平面ABCD∩平面A1C1B＝l，由线面平行的性质定理，所以A1C1∥l.]

4．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1延长线的交点，且PB1∥平面BDA1，求证：

CD＝C1D.

[证明]　如图，连接AB1与BA1交于点O，连接OD，

因为PB1∥平面BDA1，PB1⊂平面AB1P，

平面AB1P∩平面BDA1＝OD，所以OD∥PB1，

又AO＝B1O，所以AD＝PD，

又AC∥C1P，所以CD＝C1D.

课时分层作业（十一）　直线与平面平行的性质

（建议用时：

45分钟）

[基础达标练]

一、选择题

1．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（　　）

A．0条B．1条　　　C．2条　　　D．1条或2条

C　[如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.

∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD.

∴EF∥平面BCD.

∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，

∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH.

同理可得AB∥平面EFGH.故选C.]

2．不同直线m、n和不同平面α，β，给出下列命题：

①

⇒m∥β；②

⇒n∥β；③

⇒m，n异面．其中假命题有（　　）

A．0个B.1个　C．2个D．3个

C　[由两平面平行的定义可知①正确；由于直线n可能在平面β内，故②不正确；直线m有可能与直线n平行，故③错误．]

3．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．异面D．平行或异面

C　[∵a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b.故α内与b相交的直线与a异面．]

4．如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（　　）

A．MN∥PD

B．MN∥PA

C．MN∥AD

D．以上均有可能

B　[因为MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，所以MN∥PA.]

5．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是（　　）

A．平行B．相交C．异面D．不确定

A　[因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD．因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.]

二、填空题

6．若直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，b∥平面γ，γ∩α＝c，则a与c的位置关系是________．

a∥c　[

a∥c.]

7．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

　[∵在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2

.又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC的中点，∴EF＝

AC＝

.]

8．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若

＝

，则

＝________．

　[由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，易得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，从而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′.因为

＝

，所以

＝

，所以

＝

＝

＝

.]

三、解答题

9．如图所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.求证：

AC＝BD.

[证明]　如右图所示，连接CD，

因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面β，

又因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，

所以AB∥CD.

所以四边形ABDC是平行四边形．

所以AC＝BD.

10．如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．

[解]　如图，连接BD交AC于O1，连接OM，

因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，

所以OM∥PC，

所以

＝

，在菱形ABCD中，因为E，F分别是边

BC，CD的中点，所以

＝

.

又AO1＝CO1，所以

＝

＝

，

故PM∶MA＝1∶3.

[能力提升练]

1．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（　　）

A．AC⊥BD

B．AC∥截面PQMN

C．AC＝BD

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

C　[因为截面PQMN为正方形，所以PQ∥MN，PQ∥面DAC.又因为面ABC∩面ADC＝AC，PQ⊂面ABC，所以PQ∥AC，同理可证QM∥BD.故有选项A、B、D正确，C错误．]

2．已知（如图）A、B、C、D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．

平行四边形　[平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，得EF∥CD；同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB.所以GH∥EF，EG∥FH.所以四边形EFHG是平行四边形．]