高中数学332《两点间的距离》教学案新人教版A版必修2.docx
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高中数学332《两点间的距离》教学案新人教版A版必修2
§3.3.2两点间的距离
【教学目标】
1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.
2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.
3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.
【重点难点】
教学重点：
①平面内两点间的距离公式.
②如何建立适当的直角坐标系.
教学难点：
如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.
【教学过程】
一、导入新课、展示目标
问题已知平面上的两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2），如何求P1（x1,y1）,P2（x2,y2）的距离|P1P2|?
二、检查预习、交流展示
核对课前预习中的答案。
1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。
三、合作探究、精讲精练
探究一平面内两点间的距离公式
问题
（1）如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?
（2）求B（3，4）到原点的距离.
（3）设A（x1,y1），B（x2,y2），求|AB|.
教师①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?
②求点B（3，4）到原点的距离.
③已知平面上的两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2），如何求P1（x1,y1）,P2（x2,y2）的距离|P1P2|.
④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的（回忆过程）.
学生回答①|AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|.
②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.
③
图1
在直角坐标系中，已知两点P1（x1,y1）、P2（x2,y2），如图1,从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1（x1，0）、N1（0，y1）、M2（x2，0）、N2（0，y2），其中直线P1N1和P2M2相交于点Q.
在Rt△P1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2.
因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|，
所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.
由此得到两点P1（x1,y1）、P2（x2,y2）的距离公式：
|P1P2|=
教师④（a）我们先计算在x轴和y轴两点间的距离.
（b）又问了B（3,4）到原点的距离，发现了直角三角形.
（c）猜想了任意两点间距离公式.
（d）最后求平面上任意两点间的距离公式.
这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!
应用示例
例1如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A（-4，8），另一个端点B的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.
图2
解:
设B（x，3），根据|AB|=13，
即（x+4）2+（3-8）2=132，解得x=8或x=-16.
点评：
学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A（-4，8）点距离等于13的点的轨迹（或集合）是以A点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.
变式训练1
课本106页练习第一题
例2已知点A（-1，2），B（2，
），在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
解:
设所求点P（x，0），于是有
.
由|PA|=|PB|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.
即所求点为P（1，0）,且|PA|=
=2
.
点评：
引导学生熟练设点及应用距离公式。
变式训练2
课本106页练习第二题.
探究二建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题
例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
解析：
首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。
证明：
如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。
设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为
所以，
所以，
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
点评上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：
第一步：
建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步：
进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：
同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。
变式训练：
已知0＜x＜1,0＜y＜1,求使不等式
≥2
中的等号成立的条件.
解析：
此题需要学生将不等式转化为平面内两点间的距离问题来研究。
数形结合。
答案：
x=y=
点评：
强调数形结合，转化划归来解决问题。
建立适当的直角坐标系，来解决问题很有必要。
当堂检测
导学案当堂检测
课堂小结
通过本节学习，要求大家:
①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；
②能灵活运用此公式解决一些简单问题；
③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.
【板书设计】
一、两点间距离公式
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
例3
变式3
【作业布置】
课本习题3.3必做题A组6、7、8；
选做题B组6.
及 导学案课后练习与提高
§3.3.2两点间的距离
课前预习学案
一、预习目标
1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.
2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.
3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.
二、预习内容
（一）巩固所学
1．直线
，无论
取任意实数，它都过点.
2．若直线
与直线
的交点为
，则
.
（二）探索新知，提出疑惑
预习教材P104~P106，找出疑惑之处
3．提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
并回答下列问题：
1.已知平面上两点
，则｜P1P2｜=（）.
特殊地：
与原点的距离为｜P1P2｜=（）.
2.特别地，当P1P2平行于x轴时，｜P1P2｜=（）；
当P1P2平行于y轴时，｜P1P2｜=（）
课内探究学案
一、学习目标
1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.
2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.
3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.
学习重点：
①平面内两点间的距离公式.
②如何建立适当的直角坐标系.
学习难点：
如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题
二、学习过程
问题已知平面上的两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2），如何求P1（x1,y1）,P2（x2,y2）的距离|P1P2|?
探究一平面内两点间的距离公式
问题
（1）如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?
（2）求B（3，4）到原点的距离.
（3）设A（x1,y1），B（x2,y2），求|AB|.
（4）同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的（回忆过程）
得到两点P1（x1,y1）、P2（x2,y2）的距离公式：
|P1P2|=
例1如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A（-4，8），另一个端点B的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.
图2
变式训练1
课本106页练习第一题
例2已知点A（-1，2），B（2，
），在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
变式训练2
课本106页练习第二题.
探究二建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题
例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
上述解决问题的基本步骤学生归纳如下：
思考：
同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。
变式训练：
已知0＜x＜1,0＜y＜1,求使不等式
≥2
中的等号成立的条件.
学习小结
1.坐标法的步骤：
①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.
当堂检测
1.在x轴上求一点P，使P点到A（-4，3）和B（2，6）两点的距离相等.
2.求在数轴上，与两点A（-1,3）,B（2,4）等距离的点的坐标.
3.已知三点A（3，2）、B（0，5）、C（4，6），则△ABC的形状是（）
A.直角三角形B.等边三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形
4.以A（5,5）、B（1,4）、C（4,1）为顶点的△ABC的形状是（）
A.直角三角形B.等边三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形
参考答案
1.解:
设点P坐标为（x,0），由P点到A（-4，3）和B（2，6）两点的距离相等及两点间的距离公式，可得x=
，即点P坐标为（
0）.
2.答案：
（
0）或（0,5）.
3.解:
由两点间的距离公式，可得|AB|=
≠|BC|=|CA|=
，故选C.
答案：
C
4.答案：
C
课后巩固练习与提高
1.点M（x,
）、N（y,
）之间的距离为（）
A.|x+y|B.x+yC.|x-y|D.x-y
2.光线从点A（-3，5）射到x轴上，经反射以后经过点B（2，10），则光线从A到B的距离为（）
A.
B.
C.
D.
3.已知A（3，-1）、B（5，-2），点P在直线x+y=0上，若使｜PA｜+｜PB｜取最小值，则P点坐标是（）
A.（1，-1）B.（-1，1）C.（）D.（-2，2）
4.已知A（1，3）、B（5，-2），点P在x轴上，则使｜AP｜-｜BP｜取最大值的点P的坐标是（）
A.（4，0）B.（13，0）C.（5，0）D.（1，0）
5.已知A（a，3）、B（3，3a+3）两点间的距离是5，则a的值为_____________.
6.以A（-1，1）、B（2，-1）、C（1，4）为顶点的三角形是______________三角形.
7.已知△ABC的顶点坐标为A（3，2），B（1，0），C（，），则AB边上的中线CM的长为_____________________.
8.若2a-b=3，求证：
三点A（-2，3）、B（3，a）、C（8,b）在一条直线上.
9.如图3-3-3，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，试证明AE=CD.
图3-3-3
10.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.
参考答案
1．思路解析:
思路解析:
考查平面上两点间距离公式.
MN=
=|x+y|.
故选A.
2.思路解析:
直接求本题较为麻烦，可以通过对称问题求解.A（-3,5）关于x轴的对称点
A′（-3，-5），则｜A′B｜即为所求，由两点间距离易求得｜A′B｜=
.
答案:
C
3.思路解析:
点A（3，-1）关于直线x+y=0的对称点为A′（1，-3），连结A′B与直线x+y=0的交点即为所求的点，直线A′B的方程为y+3=
（x-1），即y=
，与x+y=0联立,解得x=
，y=
.
答案:
C
4.思路解析:
点A（1，3）关于x轴的对称点为A′（1，-3），连结A′B交x轴于点P，
即为所求.直线A′B的方程是y+3=
（x-1），即y=
.令y=0，得x=13.
答案:
B
5.思路解析:
由两点间距离公式得｜AB｜=
，解之,可得a=-1或
.
答案:
-1或
6.
思路解析:
本题主要是考查平面上两点间距离公式和三角形形状的判断.目前，判断三角形的形状主要是利用三角形的三边关系.而知道三角形的三个顶点求三角形的三边，主要是利用平面上两点间的距离公式.
由两点间的距离公式可得|AB|=
.
同理可得|AC|=
，|BC|=
.
所以|AB|=|AC|.
又AB2+AC2=BC2=26，所以△ABC为等腰直角三角形.
答案:
等腰直角
7.
答案:
思路解析:
由中点公式得AB的中点的坐标为M（2，1）.
由两点间的距离公式，有|CM|=
.
∴AB边上的中线CM的长为
.
答案:
8.解:
思路解析:
证明三点共线的方法有多种，一是利用两点间距离公式求得|AB|、|BC|和|AC|的值，由|AB|+|BC|=|AC|,
所以A、B、C三点共线.
二是可利用斜率公式求得同一点出发的两条直线AB、AC的斜率，由二者斜率相等可得三点共线.
解:
由平面上两点间距离公式可得
|AB|=
|BC|=
|AC|=
.
所以|AB|+|BC|=|AC|.
所以A、B、C三点共线.
9.思路解析:
本题是证明两线段的相等问题，可以通过坐标法来证，这就需要根据图形的特征建立直角坐标系，得出相关点的坐标，通过两点间距离公式证明相等.
解:
以B为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，设等边△ABD和△BCE的边长分别为2a和2b，于是可得相关各点坐标：
B（0，0），A（-2a,0），C（2b,0），D（-a,
），E（b,
）,由两点间的距离公式，则|AE|=
，
|CD|=
，所以|AE|=|CD|
10.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.
思路解析:
根据题意，可将问题用数学表达式写出：
已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB.
求证：
对角线AC=BD.
所以考虑建立适当的直角坐标系，得出相关点的坐标，利用两点间距离公式证明.
解:
设等腰梯形ABCD中，AB∥CD，并设其上、下底边长和高分别为2a、2b和ｃ，建立如图所示直角坐标系，以下底AB中点O为坐标原点，以线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建系，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB.
可设A（-a，0），B（a，0），D（-b，c），C（b，c），
则由两点间距离公式得｜AC｜=
，
｜BD｜=
，∴|AC|=｜BD｜，即等腰梯形两对角线长相等.
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