尺规作图.docx

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尺规作图

初中几何第二册第三章

第三单元尺规作图

一、教法建议

【抛砖引玉】

本单元要向同学们介绍尺规作图，何谓尺规作图：

在几何里，把限定用直尺（没有刻度）和圆规来画图，称为尺规作图．最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图．在平面几何的学习中和工程绘图中，经常应用．因而，在教学中，首先复习几何第一章中学过的作一条线段等于已知线段，用尺规法画图十分方便，免去了度量，准确度更高些，以激发他（她）们的兴趣．在此基础上先后引入“作一个角等于已知角”和“平分已知角”．首先分析标题，通过分析命题，分清已知什么，求作什么，才能画出已知条件，写好已知、求作．在讲解作法时，最好边画图边叙述，然后让学生说明作法的正确性，再写出作法，证明（或引导学生写证明），讲完后要反复练习，发现错误，及时纠正，防患未然，在练中学，在学中练，以便切实掌握作图方法，并且从课本中给出的锐角推广到直角和钝角，仍然能掌握它们的作图方法并会证明．通过前两个基本作图的学习，再继续讲授“经过已知点作已知直线的垂线”和“作线段的垂直平分线”．对于“经过已知点作已知直线的垂线”应分两种情况：

已知点在直线上或已知点在直线外，两种情况缺一不可．对于已知点在直线外的情况，证明略去，在教学中，应引导学生补证一下，这样可使学生确信作图的正确性，另一方面也可以复习巩固证明三角形全等的方法，这样新旧知识交叉，互相渗透，相辅相成，将收到较好的教学效果．在学好练好，掌握好五种（初一学过的一种）基本作图的基础上，再介绍其应用．即什么是几何作图以及几何作图的一般步骤．在教学中，要说明几何作图与一般画图不同，它严格规定只准用直尺（没有刻度）和圆规为工具，而且每一步作图都必须有根有据，不能随便画．比较复杂的作图，要经过严格分析，才能找到作图的依据和方法．教学中对比较复杂的作图不要涉及，只要求学生掌握经过简单分析就可以作出的题目，如求作出三角形，会写出最简单的几何作图的已知、求作、作法即可．并通过实例、习题的教学，进一步强调几何作图的三个步骤．在叙述作法中，不需要重述基本作图过程．

【指点迷津】

四种基本作图是本单元学习主要内容，尤其对前两种更是重中之重．因而，在学习中一定要准确地使用作图工具画出符合要求的正确图形，每一步画图都要有根有据．准确精练的几何语言，同学们叙述起来比较困难，为此，教学中可分步进行．一、教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂；二、教师叙述作法，让学生作图；三、教师画图学生叙述作法、交错进行，反复练习，最后再要求学生自己作图，写作法．学过基本作图后，遇有属于基本作图的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．与此同时，画图的方法更多了，如没有特别指出，可以选用任何一种你认为方便的方法画图．

二、学海导航

【思维基础】

回答下列问题：

1．在几何里把了限定用直尺和图规来画图，称为，最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图．

2．基本作图包括：

（i）作一个角等于；（ii）平分；（iii）经过一点；（iv）作线段的．第一章学过的作一条线段等于

．

3．于一条线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线．

【学法指要】

例1．已知：

直线AB及直线AB外一点C．

求作：

过点C作CD∥AB．（画出图形，不写作法，保留作图痕迹）

思路分析：

假设符合条件的图形已作出（如左图），那么直线CD过点C，且

CD∥AB．符合条件．我们从左图可知：

CD∥AB反之，只要∠FCD=∠FEB或

∠DCE=∠AEC，那么CD∥AB．这时就将问题转化为“作一个角等于已知角”的基本作图上来．因为直线AB和点C是固定的，所以∠FEB与∠AEC均是固定的．另要作∠FCD=∠FEB或∠DCE=∠AEC即可．于是便得到如下两种画法：

过C作ECF与AB交于点E，作∠FCD=∠FEB或∠DCE=∠AEC，得如下两图，均符合条件．（作图痕迹略）

例2．如图，已知平角AOB，试用直尺和圆规将平角AOB三等分．（不写已知，求作，画法，保留作图痕迹）

思路分析1：

已知角AOB为平角，∴∠AOB=180°，要把∠AOB三等分，那么它三等分的每一个角是60°，由60°这一特殊角度，引起我们构造两个等边三角形，即以OA，OB分边作等边三角形，问题就解决，也就找到作法，如左图．（作图痕迹略）

思路分析2：

由思路1的分析，启发我们又有多种思路可以找到．如上作图，当作出等边三角形AOC后，因∠BOC=

120°，再作∠BOC的平分线即可．或作出等边△AOC后，再作∠COD=∠AOC（或∠COD=∠CAO或∠COA）即可．或作出等边△AOC后，再作∠BOD=∠OAC即可．于是又可找到三种作法，画图如下：

（作图痕迹略）

（作∠COB的平分线）（作∠COD=∠AOC）（作∠BOD=∠OAC）

这就是将求作的问题转化为基本作图──平分已知角，而中图与右图又将问题转化为基本作图而作一个角等于已知角．可见，必须熟悉基本作图，才有利于打开作图题的思路，望同学们一定要掌握好五种基本作图，遇到有关作图问题才能得心应手．

例3．已知：

线段a，s，s＞2a

求作：

等腰三角形，使它的底边等于a，周长等于s（作图痕迹略）．

思路分析：

本例要作的等腰三角形已知底边a，周长为s，关键是知道等腰三角形的腰长．因为等腰三角形两腰相等，现又知两腰之和为（s－a）．所以将线段

（s－a）平分即可求出等腰三角形腰长为（s－a）．那么等腰三角形的三边为a，（s－a），（s－a）便知道，仿课本P38知道三边画三角形方法即可画出符合要求的等腰三角形．

作法：

（如前页图）

（i）在线段AD（AD=s）上用圆规截取AB=a；

（ii）作线段BD（BD=s－a）的中垂线L与BD交于点O；

（iii）以AB（AB=a）为底，BD（BD=（s－a））为腰作等腰三角形ABC即为所求．

证明：

由作图可知：

AB=a，AC=BC=BO=（s－a），∴AB+AC+BC=a+（s－a）+

（s－a）=s

故所求作的等腰三角形符合要求．

例4．已知斜边，求作一锐角为15°的直角三角形．

已知：

线段c．

求作：

直角三角形，并使斜边为c．一锐角为15°（作图痕迹略）．

思路分析：

本例要作Rt△，知道斜边及直角，是没法作出这样的三角形．必须知道15°的角才能作出符合条件的三角形．如何作出15°的角呢？

我们可以发现15°角是60°角的四分之一．由60°角又启发我们作等边三角形，便出现60°角再把60°角四等分，便得出15°角，问题便解决了．得作法如下：

i）作出15°角（∠B′A′D′=15°），作AB=c；

ii）作∠BAD=∠B′A′D′=15°；

iii）过点B作AD的垂线BC交AD于C点．

则△ABC为所求作的Rt△．

本例在探索15°角时，将问题转化为“平分已知角（60°）”问题，进而又得出“作一个角等于已知角（15°）”．最后又用到“经过一点作已知直线的垂线”，使问题圆满解决．一道问题用到三种基本作图，才把思路打开．如果对基本作图不十分熟悉，是很难找到思路的．只有对基本作图熟练驾驭，遇到陌生问题，才能借助基本作图这位“向导”找到思路．

【思维体操】

例作已知锐角α的平分线（不要求写已知，求作，作法，以下各题要求相同，保留作图痕迹）．

扩散一：

作已知直角的平分线

扩散二：

作22.5°的角

扩散四：

作已知钝角的平分线．

扩散五：

如图，将已知角四等分

扩散六：

作15°的角

扩散七：

如图，作△ABC的∠A，∠B，∠C的平分线．

扩散八：

如图，已知公路AB和CD，准备在两公路间修一条高速公路，与两公路始终保持等距，试画出高速公路示意图．

由扩散一～扩散八，试题进引各种变化，但归根结底，却又回归到基本作图──平分已知角，所以在学习中一定要抓住基本作图的“精髓”，才能进一步的深化与提高，才能把较复杂的作图题转化到基本作图上来，从而打开思路．

三、智能显示

【心中有数】

本单元向同学们介绍了什么是尺规作图，并能够用尺规完成下列基本作图：

（1）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线，过已知点作已知直线的垂线．能用五种基本作图作三角形：

已知三边作三角形，已知两边及其夹角作三角形，已知两角及其夹边作三角形，已知底边及底边上的高作等腰三角形，已知一直角边及斜边作直角三角形等．了解尺规作图的一般步骤，会写出已知，求作，作法．通过基本作图练习，并能解决生产、生活中的一些简单的实际问题，并能将一些较复杂的作图题转化为基本作图题去解决．学会转化的方法，学会基本作图的方法，以适应社会的需求．

【动脑动手】

1．如图．l为一段直的河岸，A，B是河岸同侧的两个村庄，在河岸l上修建一个水泵站C，分别向A，B两个村抽水，这个水泵站应建在什么位置，可使水泵站到两个村庄距离相等？

请问圆规和直尺在图中作出满足条件的水泵站C的位置（不写作法，证明，保留作图痕迹）

2．如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且交角为

90°某仓库G在A区，到铁路，公路的距离相等（即G点在

∠NOQ的平分线上），且到公路与铁路的相交点O的距离为200m，

（1）在图上标出仓库G的位置（比例R，1:

10000）用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）；

（2）求出仓库G到铁路的实际距离．

3．如图，A，B，C三点表示某平原的三个村庄，要建一个电视转播站，使它到三个村庄的距离相等，求作电视转播站的位置P．（要求：

用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）

4．已知：

线段a．

求作：

△ABC，使∠ACB=

90°，AB=a，并且∠A=30°（要求尺规作图，并保留作图痕迹，不必写作法与证明）

5．如图，请作出由A地经过B地去河边l的最短路线．（要求：

用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）

参考答案：

（作图痕迹略）

点C为水泵站位置．

2．

（1）∵200m=200cm．∴图距为：

20000×＝2（cm）

即OG＝2cm．

如图，G为仓库位置．

（2）自G作GB⊥MN，垂足为B点（这里不要求用尺规作）依题设知△OBG为等腰直角三角形．OG＝200m

∴2GB2=2002∴GB＝200

∴GB＝100（m）

答：

仓库到铁路的实际距离为100

m．

4．

以上三图中的△ABC均符合条件，都为所求作的三角形

如图，线段AB与BP即为所求．

【创新园地】

1．已知：

线段a，c和角α，用圆规和直尺作出△ABC，使AB＝c，BC＝a，

∠ABC＝α（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．

2．已知：

线段a和∠α

求作：

直角三角形ABC，使∠C＝90°，BC＝a，∠B＝∠α（要求：

不写作法，每步都要用尺规作图并保留作图痕迹）

3．已知：

线段m和∠α

求作：

等腰△ABC，使顶角A＝2α，腰AB＝m

（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法和证明）．

4．已知：

∠α，∠β和线段a

求作：

△ABC，使∠B=∠α，∠C＝β，BC=a．

（要求：

不要写作法及证明，要用尺规作图，并保留作图痕迹）

四、同步题库

填空题

1.

（1）尺规作图是指用来画图.

（2）基本作图包括：

；；；；；

它们是几何作图的.

（3）最基本的几何作图语句有：

①过点，点，作直线或作直线；

②连结两点，或连结.

③延长到点，使=.

④在上截取=；

⑤以点为为圆心，，为半径作弧，交于点；

⑥分别以点点为圆心；以，为半径作弧，

两弧交于点.

⑦一般几何作图应有下面几个步骤：

；目前我们只要求写出

三个步骤.

2.用尺规作图：

（保留作图痕迹，不写作法）

作出△ABC的AB边的中点D，再作出DE∥BC交AC于点E.（如图1-3-17）

3.已知斜边，一锐角，作直角三角形.

4.已知△ABC，求作一点P，使点P到AB，AC的距离相等，且到边AC的两端点距离相等.

图1-3-17图1-3-18

5.如图1-3-18，在直线MN上求作一点P，使点P到OA，OB的距离相等.（注3～5尺为尺规作图）

6.已知：

线段a、b，求作以a为底，以b为底边上的高的等腰三角形（要求用圆规和直尺作图，不必写出作法和证明，但必须保留作图痕迹.

7.如图1-3-19，A，B两个村子在河CD的同侧，A，B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管总费用F.

图1-3-19

8.已知：

如图1-3-20，直线MN和线段AB.

求作：

线段AB关于直线MN的对称线段A'B'（要求：

保留作图痕迹，不写作法和证明）.

9.要求用尺规作图，写出作法，保留作图痕迹，不证明.已知二边和夹角作三角形.

10.已知线段AB，求作以线段AB为斜边的等腰直角三角形ABC（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

11.如图1-3-21，一块三角形ABC，阴影部分已破损.

（1）只要从残留的玻璃片中度量出哪些边，角，就可以不带残留的玻璃片到店铺加工一块与原来玻璃片ABC的形状和大小完全相同的玻璃片A'B'C'，请简单说明理由.

（2）用

（1）中度量的边，角作△A'B'C'（要求尺规作图，保留作图痕迹）.

12.用尺规作图，已知两边及第三边上的高求作三角形.

图1-3-20图1-3-21

参考答案

同步题库

1.

（2）直尺和圆规；

（2）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作一条射线平分已知角；过一点作已知直线的垂线，作线段的垂直平分线；依据（3）①A，A，AB，BA；②A，B，AB；③AB，E，AB，BE；④OA，OM，a；⑤O，OD，OA，D；⑥D，E，OD，OE，C；⑦尺规作图，基本作图.

2.如图1-3-27

3.已知：

∠α，线段m.

求作：

Rt△ABC,使∠A=α，斜边AB=m.

作法：

（1）作线段AB=m

（2）以A为顶点作∠BAO=α

（3）过点B过AO的垂线BC，BC交AO于C.△ABC即为所求.

图1-3-27图1-3-28图1-3-29

4.已知：

△ABC（如图1-3-30）.

求作：

点P，使PA=PC，且点P到边AB、AC的距离相等.

作法：

（1）作线段AC的垂直平分线MN；

（2）作∠BAC的平分线AO，AO交MN于P.点P即为所求.

图1-3-30图1-3-31

5.已知：

∠AOB及直线MN（如图1-3-31）.

求作：

点P，使点P在直线MN上，且点P到OA，OB距离相等.

作法：

作∠AOB的平分线OE交直线MN于点P.点P即为所求.

6.已知：

线段a，bab

求作：

等腰△ABC，使底BC=a，高AD=h.

作法：

（1）作线段BC=a；

（2）作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D；

（3）在MN上截取DA=b；

（4）连结AB，AC，△ABC即为所求.

图1-3-32

7.解：

（参照原题图）

要使铺设水管费用最省，关键是使水厂到两村距离最短，因之，应延长AC到A'，使A'C=AC，连结A'B，与CD相交于点O，点O就是我们要选择的水厂O的位置.

∵△BDO∽△A'CO，∴OD∶OC=BD∶A'C=3

即OD：

（OD+OC）=3∶4，也即OD∶DC=3∶4

∴BO=

又OC=CD-OD=3-

∴

∴铺设的管道最短为：

AO+BO=5

∵每公里工程费用为：

20000元

∴总费用F至少为5×20000=100000（元）.

8.略

9.见下图

10.见图1-3-33

图1-3-33

11.

（1）只要度量出∠B，∠C的度数和边BC的长，就可以不带残留的玻璃片到店铺加工一块与原来玻璃片ABC的形状和大小完全相同的玻璃片A'B'C'.其理由是根据“角边角定理”知△ABC、△A'B'C'.

（2）见图1-3-34

图1-3-34

12.已知：

线段b,c,h.

求作：

△ABC，使AC=b，AB=c，AD⊥BC，D为垂足，且AD=h

作法：

（1）作△ABD，使AD⊥BD，AB=c,AD=h.

（2）以A为圆心，b为半径作弧，分别交BD或它的延长线上一点C1，C.

（3）连结AC，AC1.

△

ABC及△ABC1均为所求作的三角形.

图1-3-35