数学.docx

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数学

资源信息表

标题:

22.4梯形

关键词:

底、腰、高

描述:

教学目标

1．知道梯形与平行四边形的区别和联系，理解三角形和梯形的之间的联系.

2．理解梯形、等腰梯形和直角梯形的概念，会添加适当的辅助线将梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决问题；会进行梯形中有关角度、线段和面积的计算.

教学重点及难点

理解梯形、等腰梯形和直角梯形的概念，将梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决问题.知道梯形与平行四边形的区别和联系.

学科:

初中八年级>数学

第二册>22.4

语种:

汉语

媒体格式:

教学设计.doc

课件ppt

学习者:

学生

资源类型:

文本类素材、课件类素材

教育类型:

初中教育>八年级

作者:

林红

单位:

上海民办文绮中学

地址:

闵行区江川东路980号（200240）

Email:

22.4梯形

民办文绮中学林红

教学目标

1．知道梯形与平行四边形的区别和联系，理解三角形和梯形的之间的联系.

2．理解梯形、等腰梯形和直角梯形的概念，会添加适当的辅助线将梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决问题；会进行梯形中有关角度、线段和面积的计算.

教学重点及难点

理解梯形、等腰梯形和直角梯形的概念，将梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决.知道梯形与平行四边形的区别和联系.

教学用具准备

直尺、多媒体课件.

教学流程设计

温故知新新课讲授课堂练习

小结

教学过程设计

一、知识回顾，引入新课

1．四边形的两组对边位置关系有三种：

两组对边分别平行；只有一组对边平行；两组对边都不平行.

在第一种情况中我们得到平行四边形，那么，只有一组对边平行的四边形是什么图形呢？

（板书课题）梯形同样是一个特殊的四边形，与平行四边形一样，它也有它的特殊性，今天我们就重点来研究这个图形．

二、新课讲授

1．梯形及梯形的有关概念

（l）梯形：

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．

（2）底：

平行的一组对边叫做梯形的底（通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底）．

（3）腰：

不平行的一组对边叫做梯形的腰．

（4）高：

两底间的距离叫做梯形的高．

（5）直角梯形：

有一个内角是直角的梯形．

（6）等腰梯形：

两腰相等的梯形．

（以上这一过程借助多媒体演示）

[说明]①定义辨析：

一组对边平行的四边形是梯形.强调梯形与平行四边形的定义的不同.

②梯形与平行四边形同属于特殊的四边形，因为它们具有不同的特殊条件，所以必然有不同的性质．

③平行四边形的对边平行且相等，而梯形中，平行的一组对边不能相等（让学生想一想，为什么不能相等）．

上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的．

直角梯形有几个直角？

梯形最多有几个直角？

至少几个直角？

思考有没有等腰直角梯形？

2.思考：

如图：

DE//BC分别交△ABC的边AB、AC于D，E，得△ADE与四边形DECB.

1）四边形DECB是梯形吗？

2）满足什么条件时，四边形DECB是直角梯形？

3）满足什么条件时，四边形DECB是等腰梯形？

3.例题选讲

1）如图：

已知在梯形ABCD中，AB//CD,DE//BC,点E在AB上且BE＝4，△AED的周长是18，求梯形ABCD的周长.

[说明]过点D作DE//BC交AB于E，从而把梯形问题转化成平行四边形和三角形的组合来解，实质上是将BC平行移动到DE的位置，这种方法叫做平行移动（有时也可平移对角线），这是解决梯形问题常用的方法之一.

2）如图：

已知梯形ABCD是一座大坝的横截面，其中，AD//BC,∠B=30°,∠C=45°；AD=6m，CD=20m,求坝底BC的长以及横截面的面积.

[说明]梯形的问题一般是通过添加辅助线转化为其他问题的，本题添加两条高，使两腰在两个直角三角形中，把梯形转化为矩形和直角三角形的组合也是常用的方法.

小试牛刀

1．

在直角梯形ABCD中，AD//BC,∠A=90°,AD=10cm，DC=13cm,BC=15cm,求AB的长.

2．如图：

有一块四边形土地ABCD，测得AD=26m，CD=10m,BC=5m,顶点D、C到AB的距离分别是10m,4m；求这块地的面积.

3．如图：

梯形ABCD中，对角线AC，BD相交点O，那么△AOB和△COD的面积相等吗？

三．课堂小结

1）有关概念：

梯形概念：

一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形.

梯形中的各部分名称：

底（上底、下底）、腰、高；

特殊的梯形：

直角梯形、等腰梯形

2）方法：

梯形问题一般通过添加平行线，或作高，将梯形问题转化为平行四边形、矩形、直角三角形的问题来解决的.

四．布置作业：

练习册第47页习题22.4

资源信息表

标题:

22.5

（1）等腰梯形的性质

关键词:

性质定理判定定理计算证明

描述:

1．经历由平行四边形的性质类比探索等腰梯形性质的过程，掌握等腰梯形的性质定理、并能应用进行计算和证明；

2．会添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决问题；

3．提高探索等腰梯形性质的活动，提高类比、归纳能力，感受类比、分类讨论和转化等数学思想和方法在解决问题中的作用.

学科:

初中八年级>数学

第二册>22.5

（1）

语种:

汉语

媒体格式:

教学设计.doc

学习者:

学生

资源类型:

文本类素材

教育类型:

初中教育>八年级

作者:

林红

单位:

上海民办文绮中学

地址:

闵行区江川东路980号（200240）

Email:

yo_yo_lin@

22.5

（1）等腰梯形的性质

民办文绮中学林红

教学目标

1．经历由平行四边形的性质类比探索等腰梯形性质的过程，掌握等腰梯形的性质定理、并能应用进行计算和证明；

2．会添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决问题；

3．提高探索等腰梯形性质的活动，提高类比、归纳能力，感受类比、分类讨论和转化等数学思想和方法在解决问题中的作用.

教学重点及难点

掌握等腰梯形的性质定理、并能应用进行计算和证明；会添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决问题.

教学用具准备

直尺、多媒体课件.

教学流程设计

温故知新新课讲授课堂练习

小结

教学过程设计

一、创设问题情境，鼓励学生讨论

1.什么是平行四边形？

有哪些性质？

2.什么是等腰梯形？

3.观察图形，猜想等腰梯形会有哪些性质？

（板书课题：

等腰梯形的性质）

二、新课讲授

1、问题类比，提出猜想

将学生分组，讨论第三个问题，很快得出猜想（命题）：

命题：

等腰梯形两底平行，两腰相等.（定义往往可以做为性质定理直接运用）

命题：

等腰梯形在同一底上的两个角相等.

命题：

等腰梯形的对角线相等.

（学生对命题的叙述不一定准确，教师引导学生得出叙述准确的命题，并提出应对命题的正确性加以证明.）

2.分析探索、寻求证明：

已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC

求证：

∠B=∠C

启发与思考：

问题一：

证明两角相等通常采用什么办法？

（可能的答案：

1.证明所在的两三角形全等.2.证明是等腰三角形.3．证角平分线，等等.）

依据学生的回答，让学生观察图形，发现可能采用的证法与所给的已知条件相距甚远.因此，引出新的问题：

问题二：

对于研究新问题（未知的、复杂的问题），通常采用什么数学思想解决？

（“转化”的思想,也就是将未知的转化为已知的，将复杂的图形转化为熟悉的基本图形进行研究.）

问题三：

怎样转化？

（添加辅助线.）

问题四：

怎样添加辅助线,可以将问题转化为大家熟悉的图形，并利用已知图形的性质及已知条件进行证明和研究?

这个问题是教学中的难点和关键，为突破这个教学难点，教学中必须注意引导学生联系问题一中所提到的方案，即添加辅助线后能将梯形问题转化为问题一中所涉及的已知（熟悉的）图形，或者是转化后能将分散的、没有联系的条件聚拢到一起，建立直接联系.并利用已知图形的性质及已知条件进行证明.

教学中将学生分组讨论，并证明.

可能的添法：

（一）过梯形的顶点作腰的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和一个三角形.如图所示:

AD

BEC

（二）过上底的端点作下底的垂线，将梯形转化成为一个矩形和两个直角三角形.如图所示：

AD

BEFC

教学中一定要注意添加辅助线是关键，要注意学生的思维过程，引导学生克服思维障碍.

引出辅助线后，证明比较简单，可由两位学生到黑板板演，检查书写规范.

问题五：

上述证明中的辅助线是如何将问题转化的？

（教师引导学生总结.）

第一种添加辅助线的方法：

1）可理解为将梯形转化为平行四边形和等腰三角形来研究.

2）可理解为将梯形的一腰平移，使这个腰与另一个腰产生直接联系（构成等腰三角形）.

第二种添加辅助线的方法：

可理解为构造两个全等三角形，从而使问题得证.

（让学生想一想，还可以用什么样的方法作辅助线来解决梯形问题，多找几名学生回答，然后教师总结，可借助多媒体演示见图）．

（1）“作高”：

使两腰在两个直角三角形中．

（2）“移对角线”：

使两条对角线在同一个三角形中．

　　（3）“延腰”：

构造具有公共角的两个等腰三角形．

（4）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形．

综上所述：

解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．

练习：

证明，等腰梯形的两条对角线相等.

4.对称性：

等腰梯形是轴对称图形.对称轴是上底（下底）的垂直平分线.

5．例题选讲：

如图：

等腰梯形ABCD中，AD//BC,腰BA和CD的延长线交于点E.求证：

△EAD是等腰三角形

方法探讨：

交流：

方法一:

等角对等边;

方法二:

大边减小边.

练习1．如图：

等腰梯形ABCD中，AD//BC,BA＝CD,E是AD延长线上一点，CE=CD.

求证：

∠B=∠E.

再考虑：

四边形ABCE是平行四边形吗？

为什么？

练习2．如图：

等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD＝AB,BD⊥CD,

求：

∠C的度数.

三．本课小结：

1）有关概念：

等腰梯形的性质：

边、角、对角线、对称性

2）方法：

梯形问题一般通过添加平行线，或作高，将梯形问题转化为平行四边形、矩形、直角三角形的问题来解决的.

四．布置作业：

练习册第48页习题22.5

（1）

资源信息表

标题:

22.5

（2）等腰梯形的判定

关键词:

性质定理判定定理计算证明

描述:

教学目标

1．掌握等腰梯形的性质定理、判定定理，并能应用这些定理进行计算和证明；

2．会添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决问题；

3．提高探索等腰梯形性质的活动能力，提高类比、归纳能力，感受类比、分类讨论和转化等数学思想和方法在解决问题中的作用.

教学重点及难点

掌握等腰梯形的判定定理、并能应用这些定理进行计算和证明；会添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决问题.

学科:

初中八年级>数学

第二册>22.5

（2）

语种:

汉语

媒体格式:

教学设计.doc

学习者:

学生

资源类型:

文本类素材

教育类型:

初中教育>八年级

作者:

林红

单位:

上海民办文绮中学

地址:

闵行区江川东路980号（200240）

Email:

yo_yo_lin@

22.5

（2）等腰梯形的判定

民办文绮中学林红

教学目标

1．掌握等腰梯形的性质定理、判定定理，并能应用这些定理进行计算和证明；

2．会添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决问题；

3．提高探索等腰梯形性质的活动能力，提高类比、归纳能力，感受类比、分类讨论和转化等数学思想和方法在解决问题中的作用.

教学重点及难点

掌握等腰梯形的判定定理、并能应用这些定理进行计算和证明；

会添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决问题

教学流程设计

温故知新新课讲授课堂练习

小结

教学过程设计

二、温故知新

1.什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯形？

2．等腰梯形有哪些性质？

它的性质定理是怎样证明的？

3．在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？

常用的辅助线有哪几种？

我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢？

今天我们就共同来研究这个问题．（板书课题）

三、等腰梯形判定探讨

1．两腰相等的梯形是等腰梯形.（此为定义，不必证明）

思考：

“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”这个命题成立吗？

能否加以证明．

学生活动：

（通过想一想，试一试，议一议，做一做的小组活动，初步懂得添加辅助线的一般方法，学会将梯形问题转化为平行四边形、矩形、等腰三角形、直角三角形来处理）

已知：

在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝∠C.求证：

AB＝CD.

证法一：

如下图延长BA、CD相交于点E．

∵AD∥BC，

∴四边形ABCD是梯形．

∵∠B=∠C，

∴BE=CE．

∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C．

∴∠EAD=∠EDA．

∴AE=DE．

∴BE-AE=CE-DE．

即AB=CD，

∴梯形ABCD是等腰梯形．（等腰梯形定义）

证法二：

过点A作AE//CD交BC于E

∵AD//BC,AE//CD

∴四边形AECD为平行四边形（平行四边形定义）

∴AE=CD，（平行四边形性质）

∴∠AEB=∠C．

又∵∠B=∠C，

∴∠B=∠AEB．

∴AB=AE．

∴AB=CD，

因此梯形ABCD是等腰梯形．（等腰梯形定义）

证法三：

如右图

作梯形ABCD的高AE、DF分别交BC于E、F．

∵AD∥BC，

∴AE=DF．（夹在平行线间的垂线段相等）

又∵∠AEB=∠DFC=90°，∠B=∠C，

∴△ABE≌△DCF．

∴AB=DC．

∴梯形ABCD是等腰梯形．（等腰梯形定义）

师：

通过活动，同学们的说理能力已有了很大提高．由此我们也得到等腰梯形的两种判定方法．

（1）两腰相等的梯形是等腰梯形．

（2）同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．

练习：

证明：

两条对角线相等的梯形是等腰梯形.

说明此次的辅助线添加方法依然是添加平行线，只是这次是添加对角线的平行线.

2．例题选讲

3．

如图：

梯形ABCD中，AD//BC,AB//DE，DE＝DC，∠A＝110度，求梯形其他三个角的度数.

交流：

本题不一定通过等腰梯形得到结论的；

可否证明梯形ABCD是等腰梯形？

根据哪个判定方法？

4．已知梯形的两底和两腰，求作梯形.

求作：

梯形ABCD中，AB//DC,使BA＝a，DC＝b,DA＝c,BC＝d

分析：

先画草图，再找作图思路；

根据将梯形分成平行四边形和三角形的特点，作图.

板书，尺规作图.

3．小试牛刀：

P96

4．本课小结

1）概念：

等腰梯形的判定：

边、角、对角线、三个方法.

2）方法：

梯形问题一般通过添加平行线，或作高，将梯形问题转化为平行四边形、矩形、直角三角形的问题来解决的.

5．布置作业：

练习册第49页习题22.5

（2）

资源信息表

标题:

22.6

（1）三角形的中位线

关键词:

三角形的中位线性质定理

描述:

教学目标

1．理解三角形的中位线概念，知道三角形的中线和中位线的区别.

2．经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化的思想方法.

3．掌握三角形中位线中位线的性质定理，能运用三角形中位线定理进行计算和论证.

教学重点及难点

重点：

掌握三角形中位线定理，并能应用定理进行计算和证明；

难点：

识图，认识三角形中位线以及中位线的性质.

学科:

初中八年级>数学

第二册>22.6

（1）

语种:

汉语

媒体格式:

教学设计.doc

学习者:

学生

资源类型:

文本类素材

教育类型:

初中教育>八年级

作者:

张镜丹

单位:

上海民办文绮中学

地址:

闵行区江川东路980号（200240）

Email:

shwqzjd@

22.6

（1）三角形的中位线

上海市民办文绮中学张镜丹

教学目标

1．理解三角形的中位线概念，知道三角形的中线和中位线的区别.

2．经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化的思想方法.

3．掌握三角形中位线的性质定理，能运用三角形中位线定理进行计算和论证.

教学重点及难点

重点：

掌握三角形中位线定理，并能应用定理进行计算和证明；

难点：

识图，认识三角形中位线以及中位线的性质.

教学用具准备

多媒体课件、画图工具

教学流程设计

教学过程设计

一、情景引入

1．观察与思考

一张三角形纸片，用一条平行于这个三角形一边的直线，把它分割成一个梯形和一个小三角形.如果所得的梯形和小三角形恰好拼成一个平行四边形，那么这条用于分割的直线与三角形另外两边的交点在什么位置？

2．结论

用于分割的直线与三角形另两边的交点分别是这两边的中点;

联结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线.

3．讨论

一个三角形有几条中位线？

三角形的中位线与中线有什么区别？

二、学习新课

1．概念辨析

（1）探讨、猜测：

三角形的中位线与三角形三边的数量、位置关系如何？

（2）结论：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

（3）证明：

已知：

如图点D,E分别是△ABC边AB,AC的中点，

求证：

DE//BC,DE＝

BC.

分析：

利用中点条件，一般考虑旋转180度后的中心对称，此处会有全等.故辅助线可以这样考虑：

即延长DE至点F，使得DE＝DF，联结CF，

由全等，得CF=AD=BD;角相等得边平行，故有平行四边形DBCF，

得DE//BC;DE=

DF=

BC；定理得证.

（4）定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

2．例题分析

1、如图：

点O是△ABC内任意一点，D,E,F,H分别是AB,AC,BO,CO的中点，

求证：

四边形DHFE是平行四边形.

分析：

考虑中点，考虑是哪个三角形的中位线；

要证明四边形DEFG是平行四边形，需要利用平

行四边形的判定定理，根据有关中点的条件，可运用三角形的中位线定理来解决

2、证明：

顺次联结四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形.

分析1：

命题证明，先画图；写已知、求证；再证明;

分析2：

本题考虑如何运用三角形中位线定理来解决问题.

3．问题拓展

三角形的中位线定理的证明方法，关键在于添加辅助线，证明方法有许多，下面举出几种简单的辅助线的添加方法作为参考，讲解时要揭示这些证明的思路：

是运用中心变换的方法把三角形问题转化成平行四边形问题来解决，以活跃学生的思维，但同时要渗透优化思想，当一个命题有几种证明方法时，要选用比较简捷的方法进行证明.

三、巩固练习

1.P98/1

2.P98/2：

要证明两条线段互相平分，应该怎么考虑（证明平行四边形）.

3.思考，顺次联结平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的各边中点，所得四边形分别有什么结论？

取决于什么？

四、课堂小结

1.三角形的中位线.（三角形中的第四条重要线段）

2.三角形中位线定理.

五、作业布置

练习册第50页习题22.6

（1）

教学设计说明

本节内容主要是利用中心对称变换，研究三角形中位线的性质，并通过中心对称变换向学生展示了一个重要的数学思想方法——三角形中位线性质的研究转化为平行四边形性质的研究.本节内容虽然安排在本章的最后一节，但是三角形中位线的性质在今后的几何推理、证明中将时有出现，有些问题我们用构造中位线的方法可以轻松解决.

故本节课的设计重点放在探索得到三角形中位线的概念和性质，并会利用三角形中位线的性质解决有关问题.

资源信息表

标题:

22.6

（2）梯形的中位线

关键词:

梯形的中位线性质定理

描述:

教学目标

1．理解梯形的中位线概念.

2．经历探索梯形中位线性质的过程，体会转化的思想方法.

3．掌握梯形的中位线的性质定理，能运用梯形中位线定理进行计算和论证.

教学重点及难点

重点：

掌握梯形中位线定理，并能应用定理进行计算和证明；

难点：

识图，认识梯形中位线的性质.

学科:

初中八年级>数学

第二册>22.6

（2）

语种:

汉语

媒体格式:

教学设计.doc

学习者:

学生

资源类型:

文本类素材

教育类型:

初中教育>八年级

作者:

张镜丹

单位:

上海民办文绮中学

地址:

闵行区江川东路980号（200240）

Email:

shwqzjd@

22.6

（2）梯形的中位线

上海市民办文绮中学张镜丹

教学目标

1．理解梯形的中位线概念.

2．经历探索梯形中位线性质的过程，体会转化的思想方法.

3．掌握梯形的中位线的性质定理，能运用梯形中位线定理进行

计算和论证.

教学重点及难点

重点：

掌握梯形中位线定理，并能应用定理进行计算和证明；

难点：

识图，认识梯形中位线的性质.

教学用具准备

多媒体课件、画图工具

教学流程设计

教学过程设计

一、情景引入

1．温故知新

1、结合图形，讲出三角形中位线定义及其性质;

几何语言：

因为……所以……

2、习题评析：

1）联结三角形各边中点得到的三角形，它的周长为原三角形周长的____,面积为原三角形面积的____;

2）三角形的一条中位线分原三角形所成的一个小三角形与一个梯形的面积比_____;

3）以等腰梯形两底的中点及两对角线的中点为顶点的四边形是________;

4）顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所成的四边形是______.

2．思考

什么是梯形的中位线？

梯形中位线有什么性质？

二、学习新课

1．概念辨析

1.梯形中位线定义：

联结梯形两腰的中点的线段,叫做梯形的中位线.

如图：

点E,F分别是梯形的腰AB，CD中点，故EF为梯形ABCD的中位线.

2.梯形中位线定理探讨：

探讨1：

如何添加辅助线

探讨2：

如何利用中点条件添加辅助线？

探讨3：

能否运用三角形的中位线定理得出梯形的中位线定理？

3.结论1：

梯形中位线定理：

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

4.结论2：

梯形面积公式：

梯形面积＝中位线×高

2．例题分析

1.如图：

一把梯子每一横档都互相平行，高度相等,已知最上面两条横档的长度分别为6，7；那么下面几根横档的长度分别为多少？

分析：

利用梯形中位线定理可以先得出第三条边，

其余的就迎刃而解了.

2.如图：

梯形ABCD