第三节几何法展开的三个基本方法与典型实例.docx

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第三节几何法展开的三个基本方法与典型实例

一、几何作图

1. 常用几何划线工具

   说起画线,大家没有不明白的.然而提到划线，能准确表述的人就不多了。

此处所说的划线是专业术语，它也是一种画线，只不过用的工具和画的对象不同。

划线是用高硬度划线工具，如划针、划规、中心冲，直接在材料上精确刻划和冲点，划出的线条很细。

为了凸显它，往往还要沿线打上样冲眼；为清晰起见，必要时金属材料表面还应该专门涂色。

显然，划针划线比铅笔画线要精确得多。

展开放样和样板制作的材料一般采用薄钢板、厚纸板和油毛毡，在这些材料上精确作图，以划为主；当然，需要时也还是要用色笔画的，只要能保证精度要求，什么便当，就用什么画。

以下介绍的，是钣金冷作工以划为主的常用划线工具。

   1） 15m盘尺、3m卷尺、1m长尺、300㎜钢尺、150㎜钢尺、150㎜宽座角尺、大三角板、吊坠

   2） 划规、分规、地规、划针、划针盘、石笔、粉线、墨斗

   3）中心冲、手锤

   4） 展开平台

2. 常用几何画线

   对展开放样来说，以下常用的一些几何画线是必须掌握的。

因时间关系，这里只提出基本要求，具体的画法就不多讲了。

不清楚的地方，请自己复习《工程制图》中的相关内容。

   1） 长直线、大圆弧的画法

   2） 特殊角度、一般角度的画法

   3） 直线、圆弧、角度的等分

   4） 直线曲线的吻接

   5） 常见曲线的画法（正弦曲线、椭圆、四心圆、摆线、渐开线、阿基米德螺线）

二、大小头与放射线法

1.大小头的表面特性

   大小头上下口平行，是圆管变径时使用的连接件，有同心和偏心之分。

同心大小头表面是正圆锥面，偏心大小头表面是斜圆锥面。

立管变径时，连接件常采用同心大小头。

水平管路变径，要求严格时用同心大小头就不合适了。

这是因为介质为液体时水平管路需要排除内部产生的、妨碍运行的气体，因此连接处要求管道顶平，以利于排尽不需要的气体；相反，气管则需要排除积液，管路要求底平，以利于排尽不需要的液体。

90°偏心大小头，它可以在水平敷设的管路变径时使管道顶平或者是底平，因而在水平管路变径中大显身手。

   前面说过，同心大小头是正圆锥面，偏心大小头是斜圆锥面，它们有什么共同点呢？

我们不妨设想一下：

水平面上有一个圆D（圆心为O），水平面外有一个点A，有一条直线L通过该点和圆上一点。

现在让这条直线一端固定在A点不动，另一端沿着圆的轨迹向同一个方向转动一周，于是这条线在空间将划出了一个曲面，这个曲面就是锥面。

如果固定点在通过圆心的铅垂线上，形成的锥面就是正圆锥面；如果固定点不在通过圆心的铅垂线上，则所形成的锥面是斜圆锥面。

   形成锥面的那条线叫母线，母线运动的轨迹圆叫基线，基线所在的水平面叫基面。

母线在转动中通过的的每个位置都形成一条特定的直线，这些线，我们称之为素线。

如果母线不通过固定点，而是保持与基面的某一轴向成一固定角度，也沿某一给定基线运动，那么划出来的曲面就是柱面。

其中母线垂直于基面、基线为圆时的特别例子，就是我们非常之熟悉的正圆柱面。

   这种母线是直线而形成的曲面，就是所谓直纹面。

直纹面由无数素线组成。

锥面的素线相交，柱面的素线平行。

就展开而言，这个认知很重要，前者引申出了展开的放射线法，后者引申出了展开的平行线法。

   直纹面的展开比较好处理，成形时大多是绕素线弯曲,因而制造起来比较容易。

从方便制造、经济合理方面考虑，一般壳体设计，大都选择各种直纹面的组合。

2.同心大小头的展开

   同心大小头的展开其实在小学数学课本就已经讲过，只是现在印象淡漠了。

用得太少，记不住是正常的。

现在我们静下心来，仔细看看图2-3-0，慢慢回忆起它的展开过程。

   1） 已知条件：

大头中径φD=120；    小头中径φX=60；     高h=100；   大、小口平面互相平行，且小头圆心在大头平面的投影与大头圆心重合。

   2） 展开步骤：

   ⑴ 以水平面为大头基面，根据已知条件作立面图，即作HS⊥SA，其中HS=h，SA=φD/2；过H作HB∥SA，HB=φX/2；

   ⑵ 将锥台斜边AB延长与中轴线HS的延长线交于O；以O为圆心,以OA、OB为半径分别画弧；

   ⑶ 在OA弧上量取AD弧，使其弧长等于底圆周长（L=πφD）；

   ⑷ 连OD，交OB弧与C；则扇形ABCD为所求展开图形。

   3） 注意：

不宜先在OB弧上量取小头圆周长。

因为OB弧上的量取误差将在外弧（OA弧）上出现误差放大,可能导致超出允许的公差范围。

   4） 也可以通过计算展开扇形的圆心角来确定OD。

圆心角可按下式计算：

   将本题已知条件代入，α=103.4°

   5） 如图2-3-0，在AA′下方拼画半个俯视图，将底圆6等分并过等分点画出素线；对展开图亦作同样等分并过等分点画出素线；不难看出，他们之间存在着曲面元和平面元、曲面弧长和平面弧长之间的一一对应、等量转换的关系。

这种处理方法，我们在以后的展开中将时常用到。

 图-3-0 同心大小头的展开图

3.偏心大小头的展开

   偏心大小头的展开稍许复杂点，但与同心大小头一样,它也可以通过大头斜锥削掉小头斜锥而得出来，因此，偏心大小头的展开问题实质上是斜锥的展开问题。

斜锥的展开程序，首先是按已知条件画出立面图，然后确定底圆等分点，再求各等分点素线的实长。

怎么求？

请看图2-3-1a：

               图2-3-1a 斜锥的已知条件与实长分析                 图2-3-1b斜锥展开的第一步---求实长

 1） 已知条件：

     大头中径φX　 小头中径φS　　　斜锥台高h  　偏心距e     斜锥台上下口面平行且关于中面0S7对称

 2） 展开分析：

   ⑴ 在△0S6中，0S（点划线）是斜锥的高，S6（虚线）是素线06（粗线）在俯视图上的投影。

因为0S垂直于底面，故△0S6是直角三角形；∠0S6为直角；而素线06是该直角三角形的斜边。

这就是我们求斜锥素线实长的依据。

   ⑵ 锥台实际上是以同一斜锥切掉上面小锥形成的，显然，展开图组成上也有同样关系。

展开时我们先处理大锥，后解决小锥。

   现在着手斜锥展开的第一步,求斜锥底圆各等分点上素线的实长。

请看图2-3-1b。

 3）按已知条件画立面图、俯视图。

注意：

画立面图时，应以中径为准。

如果已知条件给定的是外径或中径，就必须根据板厚先求出中径。

   ⑴ 画水平线L1并在其上取点O1，E，使O1E=e；然后以O1为圆心，φX/2为半径画半圆，交水平线L1于1、7二点；

   ⑵ 过E作水平线L1的垂线L3并在其上取O2，使O2E=h；过O2作水平线L2；以O2为圆心，φS/2为半径画弧，交L2于1°、7°二点；

   ⑶ 连1、1°，7、7°并延长相交于O点；过O点作L1的垂线，垂足为S；过S作半圆的切线。

S7、切线与半圆O1实际上构成斜锥的半个俯视图，所以这一步又叫做“拼接半个俯视图”。

 4） 利用∠OS7为90°,求实长。

   为了方便展开，以后我们画图时常常几个视图叠合画在一起，这样，点的标号可能会重复出现，绘图者自己当然清楚它们所在的视图；在对称情况下，作图一般只画一半，遇到全图展开时，对称点点号都按同号对称布置。

了解这种处理方式，反而好寻找对应点。

   ⑴ 六等分下口半圆； 

    ⑵ 以锥顶的垂足S为圆心，其到各等分点的长度为半径画弧，将各分点素线的投影长度等量转移到底边，得点1、2、3、4、5、6、7；连接各转移点与锥顶，则各转移点与锥顶的距离就是各分点素线的实长。

   ⑶ 上述实长线被小口线所截的上边线段即是小锥对应实长。

   以下进行斜锥展开的第二步，画展开图。

请看图2-3-1c。

图2-3-1c 斜锥展开图

   1） 画展开图  

   ⑴ 以01为剖开线，在合适处垂直方向作中线07；

   ⑵ 以0点为圆心，各分点素线实长为半径画得如图1、2、3、4、5、6弧；

   ⑶ 以7点为圆心，1/12底圆周长为半径画弧，交6弧于二个6点，再以两6点为圆心，1/12底圆周长为半径画弧，交5弧于二个5点；如此下去，同法求至两个1点；

   ⑷ 检查所得13个点的曲线长度，如与计算所得的底圆周长误差大于3mm，应及时修正；

   ⑸ 圆滑连接各点得大口展开线；

   ⑹ 如图连接0点与各点，并在上述各线上由0点起量取小锥相应实长；圆滑连接所得各点即成小口展开线；

   ⑺ 连接大、小口对应端点，完成整个展开图。

   斜锥台展开全过程可参考图2-3-1。

4.放射线展开法

   按上述步骤展开的方法叫放射线展开法。

放射线法常用于锥形曲面的展开，其展开基本过程是：

   1）针对素线有同一顶点的锥面，根据其结构，依照一定的规则，将该曲面划分为N个共一顶点、彼此相连的三角微面元；对每个三角曲面元，都用其三顶点组成的平面三角形逐个替代，即用N个三角形替代整个曲面，其替代误差随着N的增加而减小；

   2）在同一平面上按同样的结构和连接规则组合画出这些呈放射状分布的三角形组，逐步得到模拟整个曲面的近似展开图形；因为共一顶点这些三角形的边形成一组放射线；

   3）利用这一组放射线我们可以将其他相似的展开曲线、开孔线等画出来；

   4）确定替代元的数量N是很重要的实际问题，N过大，增大工作量和劳动时间；N太小，精度达不到要求；N一般根据误差大小、加工工艺和材料性质等因素通过实践选择。

三、弯头的展开与平行线法

1.圆管弯头及其主要参数

   弯头是用于管路转弯时的连接件。

按口径，分为等径弯头和异径弯头；按制作方式，则有弯制、压制、挤制和焊制之分；按截面形状，可以分为圆管弯头、方管弯头、方圆管转换弯头、异径弯头（在转弯过程中截面大小改变而形状不发生改变）、异形转换弯头（截面形状在转弯过程中步发生改变）等第。

我们这里讲的弯头展开，指的是一节节组焊而成的“虾米弯”，主要包括等径圆弯头、异径圆弯头、方圆管转换弯头；其他形状的弯头并不常见，因为没有特殊需要，谁也不会设计这种展开复杂，加工困难的玩意儿来增加成本、自找麻烦。

   焊制弯头的几个主要参数：

（参看图2-3-2a）

   1.弯头角度：

指弯头两个管口面间的夹角；

   2.弯头直径：

指弯头管材的外径、内径或中径；

   3.弯曲半径：

指管段轴线的内切圆半径。

即管口中心到了两管口面交线的距离；

   4.弯头节数：

弯头的端节是中间节的一半，两个端节合起来是一节，再加上中间节数，合称弯头的节数；

   关于弯头节数，目前没有统一的规定。

有的把中间节的数量称为节数，有的把组成弯头的段数称为节数。

如图2-3-2a所示弯头，前者叫二节弯，后者叫四节弯，我们钣金冷作工则叫三节弯。

称三节弯的合理之处,一是便于半节角度的计算；二是弯头的节数等于焊接接口的数量，非常之明了；三是对两个半节组成的一节弯，前者就纳不入自己的系列，要换着名儿叫，后者则根本不存在一节弯头的概念。

2.平行线法

   现在介绍展开时常用的另一个方法---平行线法。

平行线展开法常用于素线互相平行的柱形曲面的展开，其展开的基本过程如下：

   1） 针对曲面结构特点，依照设定的规则，将该曲面划分为N个彼此相连的梯形微面域（微面域以下称面元）；梯形的平行边一般选在曲面的素线处；N一般根据误差大小、加工工艺和材料性质等因素通过实践选择；

   2） 对每个梯形微面元，都用其四顶点组成的平面梯形逐个替代，即用N个梯形替代整个曲面，其替代误差随着N的增加而减小；

   3） 根据视图的尺寸、位置的对应关系，即：

“长对正、高平齐、宽相等”的三等关系和上下、左右、前后的方位关系，用与各视图相关的平行线求取相贯点的位置、每个梯形各边的实际长度；

   4） 在同一平面上按同样的结构和连接规则组合画出这些梯形，于是得到模拟曲面的近似展开图形。

弯头、三通等柱形表面的展开放样都是平行线展开法的典型例子。

3.等径弯头的展开

   请看图2-3-2a。

                      图2-3-2a 弯头的已知条件                            图2-3-2b 弯头实长图

1.弯头展开的已知条件与要求

   1） 已知条件

     弯头角度 α=90°；  管子外径φW=60；   弯曲半径  r=15；   弯头节数  n=3；   样板厚度 δ=0.5

   2）展开要求

   ①用平行线法作外径φ60管的外包全节样板。

   ②方法正确：

（展开方法不是唯一的，本题要求按教师指定的方法做）

   ③作图精确：

几何作图误差≤0.25，展开长度误差≤±1。

   3） 展开准备

   ①求半节角度：

按节数计算半节（端头）截面倾斜角度；（αb=α/2n）

   ②展开三处理：

按管径、材料板厚、连接方式和制作工艺决定展开中径、接口位置和余量。

   因为是外包样板，画立面图时，管口直径应该选择包在管外的样板卷筒的中径。

本题已知条件中给出了管子外径，实际上就是给出了样板卷筒的内径。

故样板卷筒的中径φ=60+0.5=60.5。

2.求实长：

   见上图2-3-2b。

   1） 画半节弯头端面角度线：

   ⑴先计算半节弯头端面角度；

       αb=α/2n=90°/（2´3）=15°  

   ⑵ 作水平直线OB，在OB上取OS=150；分别以O、S为圆心，OS为半径画弧交于R；

   ⑶4等份弧SR，得等分点K，连OK并适度延长。

   2） 画半节弯头立面图：

   ⑴ 先计算外包样板筒半径R=f/2=（60+0.5）/2=30.25（可通过四等分长度为121的线段获取）；  

   ⑵ 在OB线的S点两侧取1、7两点，使S1=S7=30.25  

   ⑶ 过1、7作OB的垂线11′、77′，交OK于1′、7′；梯形（11′7′7）即是半节弯头立面图。

   3） 求实长:

   ⑴ 以S为圆心,S1为半径在下方画半圆并6等分之；

   ⑵ 过各等分点作OB的垂线，交OB为1、2、3、4、5、6、7；交OK为1′、2′、3′、4′、5′、6′、7′；则11′、22′、33′、44′、55′、66′、77′为半节弯头管口各分点上的素线实长。

3.画展开图：

   见图2-3-2c。

   ⑴ 计算展开长度：

L=p（60+0.5）=190

   ⑵ 作平行素线组：

在OB上取AB=190（注意误差控制在%%p1以内），12等分AB；过各分点作AB的垂线组，上下长度略超过77′；以11′为切开线，依次标明各分点；

   ⑶ 求端口展开曲线：

从1′～7′引SB的平行线，与对应垂线交于1°、2°、3°、4°5°、6°、7°，圆滑连接这13个点，此即半节端口的展开曲线；曲线梯形（AB1°7°1°）为半节（端节）的展开图形。

   ⑷ 画全节展开图：

以AB线为中轴线画出上述展开曲线的对称曲线。

这两条关于AB对称的展开曲线及其对应端点连线所围成的区域就是展开图。

   实际操作时，一般用划规量取各点实长值，尺寸大时则直接用尺量取。

再以AB上各对应分点为中心上下划弧或量取实长，以求展开点；然后将这些展开点圆滑连接成展开曲线。

连线时可以用曲线板或弯曲的钢尺，也可以手工描。

用曲线板或弯曲的钢尺时，一次画线至少要通过三点；手工描时，可以先把各点用直线连成折线，然后折线的基础上根据曲线的凹凸方向适度修描；为避免接缝处产生尖角，此处曲线要修描到其切线与接缝垂直。

   必要时，下料的钢板上还须画出折弯线，作为成型时弯曲加工的位置。

这些线就是平行素线组。

因此平行素线组在样板上还应该保留下来。

图2-3-2c 弯头展开图

4、直管号料

   小口径弯头一般直接用小口径管制作，不需要卷管，所以样板要做成外包式的，包着管子画线。

至于大口径管，市面没有现成管材供应，只能卷制。

但是由于单节弯头宽度尺寸变化大，上机卷制时弧度弯曲不均匀，因此工艺上常采用先卷管后割端节的做法，这也需要制作外包样板。

样板制作好了以后，怎样要它去号料呢？

   1） 首先要计算准直管管长

   三节弯头由两个全节和两个半节组成，画线时不要数量不符，少则误工，多则浪费。

尤其是，不要忘记了留切割和修整余量。

由图中量得半节中心高为41.2，则直管长度L=6×41.2＋3k。

（k为切割与修整余量，其值根据精度要求、切割方法和操作水平综合选取）

   2） 下料时应先在管端圆周四等分处沿轴向画出四条素线，作为外包样板对位时的基准线，并按事先计算的数据标出定位点；

   3） 按基准点线用样板画线，有误差要分析，及时调整纠正；

   4） 各基准线处也是弯头组装时的重要的对位点，为了防止工作中所画线被檫掉，最好在基准线处打上几点样冲眼或作上其他标记。

   等径三节弯头展开全过程可参考图2-3-2。

图2-3-2d 直管号料图

四、相贯线

1.相贯线的概念

   相贯线是空间曲面之交，是两个面方程的公共解。

相贯线是空间曲线,由于实际应用中都采用视图来传递设计加工信息，因而图纸上显示的相贯线通常是它的投影曲线。

以后，我们常说的相贯线，指的都是空间相贯线对某个面的投影线，而其本身反倒很少提及，一旦提起，还特别点明。

   由于投影是二维的平面曲线，它垂直于投影面方向上的特性因取定值而被忽略，但它反映在其他视图上，根据三视图长、宽、高方面的尺寸关系和前后、上下、左右方面的位置关系我们可以把它找回来；其他二向所具备的关系和特征则不因其为投影而完全丧失，研究其平面特性正是我们展开放样的必经之路。

   研究相贯线的作用。

归纳起来有二点：

   ⑴设计、绘图的需要；

   ⑵用于展开放样。

（主要是通过展开点求实长和借助相贯线求实长）

2.相贯线的画法 

   要画相贯线先找相贯线上的点，这些点我们称之为相贯点，将相贯点圆滑连接成线，并把这线当作相贯线。

显然，这里存在误差，但是我们有办法使误差足够的小，小到你允许的范围以内，这就不失为一个实用的好办法。

这种关键的相贯点找的越多，画线的精度越高。

因此可知，要解决画相贯线的问题，重要的是解决找相贯点的问题。

   有时候，求得的展开点直接对应于等分点，由此通过相贯点完全可以求得实长了，展开线已没有画出来的必要。

如果相贯体中的一个通过等分求得相贯点，而对另一个，这些相贯点根本不具有等距性质，不便测量，不便于展开。

这时候我们可以先通过容易求的相贯点，画出相贯线；再等分另一个并通过前面得出的相贯线来确定等分点上素线的实长，继而画出展开图。

这种做法也是展开实践中经常循用的方法。

3.相贯点的求取

   众所皆知，视图中的相贯线是一个二元函数，求相贯点必须对其中一个变量赋值。

怎么取值？

定步长取值，即按等差级数取值是公认的首选。

从几何角度看，赋值问题其实就是相贯点的布点问题，此前用过的等分圆的作法就是基于这个思路。

展开放样，动辄等分圆。

为什么？

因为等分圆的最大好处在于方便操作，这意味着校准了圆规的针距以后可以多次使用，而校准针距是很费时间的事。

因此,展开实践中,大都采用等分待展开面来布置所求相贯点。

   鉴于展开曲线并非线性的，在不同的等分区间变化不一样，布点时我们常采用改进的等分法，即插值等分法。

在曲线急剧变化段，适当插入几个等分点参与展开，以精细刻画该段的曲线变化。

   布点的另一个要求，一定要有关键点、极限点，如上下方向的最高点、最低点，左右方向的两个边点等等。

倘若原来的布点方案实施中发现局部考虑不足，还要及时补点。

   等分数N的选定有讲究，一是其大小，根据精度要求和曲线变化确定；二是其性质，必须从操作方便考虑，一般取N=2i3j （式中：

i=（0，1）；j=（2，3，…）；理由是3等分半圆，2等分弧容易操作。

倘若你让N取了13、37之类的质数，那就麻烦了。

每等份长度T≈5～10％，（基本尺寸大时取小值，基本尺寸小时取大值）关于相贯点的求取，下面我们结合几个例子说明常用的一些方法。

   ⑴视图法：

   视图法从三个视图的内在关系（尺寸、位置）入手，通过三视图之间的三等关系和方位关系，在同一视图上画出每个相贯曲面具备这种关系的点的位置线；从这些位置线的交点去求出相贯点。

视图法主要应用于关键点、极限点的求取上。

   ⑵素线法:

   二个直纹面相贯，相贯点是这两个曲面的公共点。

从分析相贯点所具有某一特征的入手，在同一个视图上分别画出两个曲面上具有该点特征的二条素线，其交点就是相贯点。

这种求相贯点的方法叫素线法。

图2-3-4a中，在立面图上通过支管端圆等分点P（点P与中面ABB′A′的距离为h）作支管素线PP′,然后在侧视图的主管表面上找到与中面ABB′A′的距离为h的点S并过S转向立面图上作主管素线SS′,两素线PP′与SS′的交点P′即为相贯点。

图中等分点H与P到中面的距离一样，过H的素线HH′与SS′的交点H′为另一相贯点。

图2-3-4a 素线法求相贯点

（1）

又如图2-3-4b中正锥面与圆柱面相贯,为了求得某一等分点3对应的相贯点3′的位置,我们先在主视图锥面上画出该点所在的素线L1；然后画出侧视图上的素线L1，L1与圆柱面的交点就是3′点在侧视图中的位置；由此向主视图画圆柱面轴线的平行线L2,则L1、L2的交点K就是所求相贯点。

图2-3-4b素线法求相贯点

   ⑶轨迹法：

   轨迹法从点所具有某种特性的入手，通过三视图之间的关系，在同一视图上画出每个相贯曲面具有该特性的点的轨迹；从这些对应轨迹的交点去求出相贯点。

例如通过到中面等距离点的轨迹求异径斜三通的相贯点；又如通过到两中轴交点等距离的点的轨迹求锥-管相贯、锥-锥相贯时的相贯点。

   图2-3-5中的两异径管相贯，就是利用距中面等距离的点的轨迹来求相贯点的。

图2-3-5 轨迹法求相贯点

   主视图中，从支管点5画出的虚线平行于支管轴线，这线即支管表面距中面距离等于30.31的点的轨迹；在侧视图中，设法求出相贯线上距中面距离也等于30.31的5′点，再过此点向立面图作主管轴线的平行线，此线即主管表面距中面距离等于30.31的点的轨迹；两轨迹的交点5″就是立面图上所求的相贯点。

   1.已知条件：

支管外径f140；主管外径f165；轴线相交且夹角45°

   2.求作：

在立面图画出两管的相贯线

   3.分析：

要画相贯线，先求线上的关键点，然后连点成线，点越多越准确。

本题相贯点的求得，可通过画出主管、支管表面距中面17等距离点的轨迹并求其交点的办法进行。

   4.步骤：

    ⑴先在立面图上过支管端圆各等分点画支管轴线的平行线，这些线就是与各等分点距中面17等距离的点的轨迹；

    ⑵之后按各等分点到中面的距离，在侧视图两管相贯线上找该点的对应位置。

相贯线就在侧视图主管外圆上由支管边线界定的弧段，图中用粗线显示；

    ⑶过各找到的点引主管轴线的平行线与支管平行线组相交，找出并标明对应交点。

    ⑷圆滑连接上述各点，即得立面图上的两管相贯线。

   ⑷辅助截面法：

   辅助截面法采用一组截面去截两个相贯曲面或者采用二组截面分别对应截两个曲面,从截得的截线入手求相贯点。

它依据相贯曲面的某一特征选取截面组，通过三视图之