数学北师大版八年级下册分式与分式方程.docx

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数学北师大版八年级下册分式与分式方程

裴家湾中学教学设计

教师姓名

刘波

年级

八

科目

数学

课题、课时

第五章　分式与分式方程2课时

教学设计

〖教学目标〗：

1.知识目标：

经历用分式、分式方程表示现实情境中数量关系的过程,了解分式、最简分式、分式方程的概念,体会分式、分式方程的模型思想,进一步发展符号意识；熟练掌握分式的基本性质,会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算,会求分式的值,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验分式方程的解,发展运算能力.

2能力目标：

经历通过观察、归纳、类比、猜想,从而获得分式的基本性质、分式乘除法则、分式加减法则的过程,发展合情推理能力与代数式的恒等变形能力,积累类比的活动经验；能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题,发展分析问题、解决问题的能力和应用意识.

3.情感目标：

培养学生的观察能力和类比意识,培养学生勇于质疑、严谨求实的科学态度.

〖教学重点、难点〗：

重点：

1.分式的概念,正确理解分式的基本性质.

2.运用分式乘除法的法则进行简单的分式乘除运算.

3.会进行简单的分式加减运算.

4.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示出来;会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性.

难点：

1.理解和掌握分式有意义的条件;推导分式的基本性质;运用分式的基本性质将分式进行变形.

2.分式乘除法法则的推导.

3.确定公分母,分式方程的正确变形,检验根的合理性.

4.列分式方程解应用题.

难点突破：

运用分式的基本性质将分式进行变形.

〖教学方法与学习方法和教具〗：

教法：

讲述法。

学法：

分组讨论法。

教具：

多媒体课件。

〖教学准备〗：

教师准备：

　多媒体课件.

学生准备：

　回忆小学学过的分数的有关知识及七年级学过的整式的有关知识.

〖学情分析〗：

学生的注意情感在变化,学生的积极性、热情未发挥出来,投入的程度不足,大部分学生的基础差。

〖教学过程〗：

导入一:

【问题】　下列式子中哪些是整式?

哪些是单项式?

哪些是多项式?

a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,.

解:

a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,是整式;a,-3x2y3,是单项式;5x-1,x2+xy+y2是多项式.

[设计意图]　因为分式概念的学习是学生通过观察、比较分式与整式的区别而获得的,所以必须熟练掌握整式的概念.

导入二:

【问题】　学生思考讨论,用式子表达题目中的数量关系:

（1）面对日益严重的土地沙化问题,某县决定在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前完成原计划的任务.

如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成造林任务需要　　　　个月,实际完成造林任务用了　　　　个月. 

（2）文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现每册降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元.降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?

【师生活动】　让学生充分思考,最好让学生积极投身于问题情境中,根据学生的情况教师可以给予适当的提示和引导.

解:

（1）　　

（2）册.

[设计意图]　让学生经历探索实际问题中数量关系的过程.通过问题情境,让学生初步感受分式是解决问题的一种模型,体会分式的意义,发展符号感.

一、认识分式

思路一（针对导入一）

1.分式初探

　　[过渡语]　同学们刚才看到的式子都是整式,我们可以发现它们有这样的特点:

没有分母或者分母是数字,那么如同,等这样的式子和整式一样吗?

这就是我们本节课要研究的问题.

解决下列问题:

（1）一箱苹果售价a元,箱子与苹果的总质量为mkg,箱子的质量为nkg,则每千克苹果的售价是多少元?

（2）一块土地分为两块棉田,第一块x公顷,收棉花m千克,第二块y公顷,收棉花n千克,这块土地平均每公顷的棉产量是多少?

（3）文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现每册降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元.降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?

根据学生交流、讨论,可得出结果.

解:

（1）.　

（2）kg.　（3）册.

2.认识分式

问题1

刚才这些代数式有什么共同特征?

它们与整式有什么不同?

学生分组交流讨论,展示讨论结果,教师及时补充.

它们的共同特征:

（1）它们是由分子、分母与分数线构成的;

（2）分母中都含有字母.

它们与整式的不同点:

它们的分母中都含有字母,而整式的分母中不含有字母,例如,,它们都含有分母,但分母中都不含有字母,所以它们是整式.

一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式.如果B中含有字母,那么称为分式,其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.

问题2

分式中,字母可以取任意实数吗?

学生领会分式的概念并思考得出:

不可以.因为分式中分母含有字母,而分母是除式,不能为零,因此字母的取值就受到制约,即字母的取值不能使分母为零,否则分式就会失去意义.

问题3

在什么情况下分式的值为0?

学生通过类比分数的性质得出:

分式的分子为0的时候,分式的值为0.

思路二（针对导入二）

1.分式初探

　　[过渡语]　刚才同学们得到的三个代数式与我们之前学过的代数式有什么不同呢?

讨论目的:

以小组的形式对前面出现的式子进行讨论,进而得出分式的概念,体会分式的意义.

讨论内容:

（针对前面列出的三个代数式）这些代数式有什么共同特征?

它们与整式有什么不同?

老师提出思考问题:

（1）整式中的分母有没有字母?

（2）前面的三个代数式中,分母中有没有字母?

（3）前面的三个代数式是不是分数呢?

（4）前面的三个代数式中,字母能取任意值吗?

（5）前面的三个代数式的值在什么情况下为零?

问题预设:

学生会比较容易发现这几个式子的分母中都含有字母,但容易与整式中有数字分母的情况混淆,把字母等同于数字看待,这就无法顺利总结出分式的概念.

2.认识分式

根据学生的观察、讨论,老师进行总结:

这三个代数式的共同特征是分母中都含有字母,而整式中虽然也有分母,但分母中不含字母.这样的代数式我们称为分式.

一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示为的形式,如果B中含有字母,那么称为分式.其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.对于任意一个分式,分母都不能为零.

[设计意图]　让学生通过观察、归纳总结出整式与分式的异同,从而得出分式的概念.学生通过观察、类比及小组讨论,基本能得出分式的定义,对于分式的分母不能为0,有的小组考虑到了,有的没有考虑到,就这一点可以让学生类比分数的分母不能为0加以理解.这样获得的知识,理解更加透彻,掌握更加牢固,运用起来会更灵活.

[知识拓展]　1.当整式相除不能整除时,就出现了分式,所以分式实际上是一个商式,其分子是被除式,分母是除式.

2.整式和分式统称为有理式,即有理式包括整式和分式.

3.分式的概念包括3个方面:

（1）分式是两个整式相除的商式,其中分子为被除式,分母为除式,分数线起除号的作用;

（2）分式的分母中必须含有字母,而分子中可以含有字母,也可以不含字母,这是区别整式的重要依据;

（3）在任何情况下,分式的分母的值都不可以为0,否则分式无意义.这里,分母是指除式而言,而不是只就分母中某一个字母来说的.也就是说,分式的分母不为零是隐含在此分式中而无需注明的条件.

二、例题讲解

（教材例1）

（1）当a=1,2,-1时,分别求分式的值;

（2）当a取何值时,分式有意义?

〔解析〕　

（1）分式的值是由字母的取值决定的,但要注意的是字母的取值一定不能让分母为0,即一定要让分式有意义.

（2）只有当分式的分母不为0时,分式才有意义.

解:

（1）当a=1时,==2.

当a=2时,==1.

当a=-1时,==0.

（2）当分母的值为零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义.

由分母2a-1=0,得a=.

所以当a≠时,分式有意义.

[设计意图]　让学生体会分式的意义,理解如果字母的取值使得分母的值为零,那么分式没有意义,反之则有意义.通过例题讲解,让学生从两方面来理解分式:

一是分式中的字母可以表示使分式有意义的任何数;二是分式可与分数类比,分式的分母也不能为零.学生基本能够计算出分式的值,但对于分式在什么条件下有意义,一下子掌握还有一定的难度,需要通过与分数进行类比,多举例才能理解得更深刻.

导入一:

【问题】　下列式子中哪些是整式?

哪些是单项式?

哪些是多项式?

a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,.

解:

a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,是整式;a,-3x2y3,是单项式;5x-1,x2+xy+y2是多项式.

[设计意图]　因为分式概念的学习是学生通过观察、比较分式与整式的区别而获得的,所以必须熟练掌握整式的概念.

导入二:

【问题】　学生思考讨论,用式子表达题目中的数量关系:

（1）面对日益严重的土地沙化问题,某县决定在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前完成原计划的任务.

如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成造林任务需要　　　　个月,实际完成造林任务用了　　　　个月. 

（2）文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现每册降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元.降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?

【师生活动】　让学生充分思考,最好让学生积极投身于问题情境中,根据学生的情况教师可以给予适当的提示和引导.

解:

（1）　　

（2）册.

[设计意图]　让学生经历探索实际问题中数量关系的过程.通过问题情境,让学生初步感受分式是解决问题的一种模型,体会分式的意义,发展符号感.

一、认识分式

思路一（针对导入一）

1.分式初探

　　[过渡语]　同学们刚才看到的式子都是整式,我们可以发现它们有这样的特点:

没有分母或者分母是数字,那么如同,等这样的式子和整式一样吗?

这就是我们本节课要研究的问题.

解决下列问题:

（1）一箱苹果售价a元,箱子与苹果的总质量为mkg,箱子的质量为nkg,则每千克苹果的售价是多少元?

（2）一块土地分为两块棉田,第一块x公顷,收棉花m千克,第二块y公顷,收棉花n千克,这块土地平均每公顷的棉产量是多少?

（3）文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现每册降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元.降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?

根据学生交流、讨论,可得出结果.

解:

（1）.　

（2）kg.　（3）册.

2.认识分式

问题1

刚才这些代数式有什么共同特征?

它们与整式有什么不同?

学生分组交流讨论,展示讨论结果,教师及时补充.

它们的共同特征:

（1）它们是由分子、分母与分数线构成的;

（2）分母中都含有字母.

它们与整式的不同点:

它们的分母中都含有字母,而整式的分母中不含有字母,例如,,它们都含有分母,但分母中都不含有字母,所以它们是整式.

一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式.如果B中含有字母,那么称为分式,其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.

问题2

分式中,字母可以取任意实数吗?

学生领会分式的概念并思考得出:

不可以.因为分式中分母含有字母,而分母是除式,不能为零,因此字母的取值就受到制约,即字母的取值不能使分母为零,否则分式就会失去意义.

问题3

在什么情况下分式的值为0?

学生通过类比分数的性质得出:

分式的分子为0的时候,分式的值为0.

思路二（针对导入二）

1.分式初探

　　[过渡语]　刚才同学们得到的三个代数式与我们之前学过的代数式有什么不同呢?

讨论目的:

以小组的形式对前面出现的式子进行讨论,进而得出分式的概念,体会分式的意义.

讨论内容:

（针对前面列出的三个代数式）这些代数式有什么共同特征?

它们与整式有什么不同?

老师提出思考问题:

（1）整式中的分母有没有字母?

（2）前面的三个代数式中,分母中有没有字母?

（3）前面的三个代数式是不是分数呢?

（4）前面的三个代数式中,字母能取任意值吗?

（5）前面的三个代数式的值在什么情况下为零?

问题预设:

学生会比较容易发现这几个式子的分母中都含有字母,但容易与整式中有数字分母的情况混淆,把字母等同于数字看待,这就无法顺利总结出分式的概念.

2.认识分式

根据学生的观察、讨论,老师进行总结:

这三个代数式的共同特征是分母中都含有字母,而整式中虽然也有分母,但分母中不含字母.这样的代数式我们称为分式.

一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示为的形式,如果B中含有字母,那么称为分式.其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.对于任意一个分式,分母都不能为零.

[设计意图]　让学生通过观察、归纳总结出整式与分式的异同,从而得出分式的概念.学生通过观察、类比及小组讨论,基本能得出分式的定义,对于分式的分母不能为0,有的小组考虑到了,有的没有考虑到,就这一点可以让学生类比分数的分母不能为0加以理解.这样获得的知识,理解更加透彻,掌握更加牢固,运用起来会更灵活.

[知识拓展]　1.当整式相除不能整除时,就出现了分式,所以分式实际上是一个商式,其分子是被除式,分母是除式.

2.整式和分式统称为有理式,即有理式包括整式和分式.

3.分式的概念包括3个方面:

（1）分式是两个整式相除的商式,其中分子为被除式,分母为除式,分数线起除号的作用;

（2）分式的分母中必须含有字母,而分子中可以含有字母,也可以不含字母,这是区别整式的重要依据;

（3）在任何情况下,分式的分母的值都不可以为0,否则分式无意义.这里,分母是指除式而言,而不是只就分母中某一个字母来说的.也就是说,分式的分母不为零是隐含在此分式中而无需注明的条件.

二、例题讲解

（教材例1）

（1）当a=1,2,-1时,分别求分式的值;

（2）当a取何值时,分式有意义?

〔解析〕　

（1）分式的值是由字母的取值决定的,但要注意的是字母的取值一定不能让分母为0,即一定要让分式有意义.

（2）只有当分式的分母不为0时,分式才有意义.

解:

（1）当a=1时,==2.

当a=2时,==1.

当a=-1时,==0.

（2）当分母的值为零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义.

由分母2a-1=0,得a=.

所以当a≠时,分式有意义.

[设计意图]　让学生体会分式的意义,理解如果字母的取值使得分母的值为零,那么分式没有意义,反之则有意义.通过例题讲解,让学生从两方面来理解分式:

一是分式中的字母可以表示使分式有意义的任何数;二是分式可与分数类比,分式的分母也不能为零.学生基本能够计算出分式的值,但对于分式在什么条件下有意义,一下子掌握还有一定的难度,需要通过与分数进行类比,多举例才能理解得更深刻.

1.分式的概念.

一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式,如果B中含有字母,那么称为分式.其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.

2.分式有意义的条件.

分式有意义的条件是分母不为0.

3.分式的值为0的条件是分子等于0,且分母不等于0.

1.（2015·随州中考）若代数式+有意义,则实数x的取值范围是（　　）

A.x≠1B.x≥0

C.x≠0D.x≥0且x≠1

解析:

若代数式+有意义,则有解得x≥0且x≠1.故选D.

2.若分式有意义,则x的取值范围是　　　　. 

解析:

依题意得3x+5≠0,解得x≠-,因此x的取值范围是x≠-.故填x≠-.

3.若分式的值为0,则x的值是　　　　. 

解析:

在这个分式中,x2-1是分子,x+1是分母,因此,分式的值为0的条件是x2-1=0且x+1≠0,所以x=1.故填1.

4.对于分式,已知当x=-3时,分式的值为0;当x=2时,分式无意义.试求m,n的值.

解:

∵当x=-3时,分式的值为0,

∴即

又∵当x=2时,分式无意义,

∴m-2n+3×2=0,即m-2n=-6.

解方程组得

〖板书设计〗：

第五章　分式与分式方程

一、认识分式

1.分式初探

2.认识分式

二、分式的基本性质

三、例题讲解

四、做一做

五、议一议

六、想一想

〖课堂小结〗：

1.分式的概念.

一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式,如果B中含有字母,那么称为分式.其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.

2.分式有意义的条件.

分式有意义的条件是分母不为0.

3.分式的值为0的条件是分子等于0,且分母不等于0.

〖布置作业〗：

一、教材作业

【必做题】

教材第109页随堂练习的1,2题.

【选做题】

教材第109页习题5.1的1,2,3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列各式是分式的是（　　）

A.B.C.+yD.

2.（2015·金华中考）要使分式有意义,则x的取值应满足（　　）

A.x=-2B.x≠2

C.x>-2D.x≠-2

3.若分式的值为0,则（　　）

A.x=-2B.x=0

C.x=1或-2D.x=1

4.若分式有意义,则x的取值范围是（　　）

A.x≠3B.x=3C.x>3D.x<3

【能力提升】

5.使分式无意义的a的值为（　　）

A.2B.-2C.±2D.3

6.若分式的值为1,则x的值为（　　）

A.1B.-2C.±1D.2

7.一项工作,甲单独做x小时完成,乙单独做比甲多用6小时完成,那么乙单独做t小时（t<6）能完成这项工作的（　　）

A.B.C.D.

8.下列各式中,可能取值为0的是（　　）

A.B.

C.D.

9.若的值为正数,则x的取值范围是（　　）

A.x<-2B.x<1

C.x>-2且x≠1D.x>1

10.要使分式的值为负,则x　　　　. 

11.当x　　　　时,分式有意义. 

【拓展探究】

12.把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中,水面高度为　　　　cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度为　　　　. 

13.已知当x=1时,分式无意义;当x=4时,此分式的值为零,求a+b的值.

【答案与解析】

1.B（解析:

由分式的定义可知,分母中含有字母的是分式,注意π为实数,不是字母.故选B.）

2.D（解析:

分式有意义的条件是分母不为0,则由题意得x+2≠0,则x≠-2.故选D.）

3.D（解析:

分式值为0的条件是分子为0且分母不为0,所以有解之即可.故选D.）

4.A（解析:

分式有意义的条件是分母不为0,即3-x≠0,解之即可.故选A.）

5.C（解析:

分式无意义的条件是分母为0,即-2=0,解之即可.故选C.）

6.D（解析:

分式值为1的条件是分子等于分母,且分母不为0,即解之即可.故选D.）

7.C（解析:

乙单独做完这项工作需要（x+6）小时,则单独做t小时（t<6）能完成这项工作的.故选C.）

8.B（解析:

A中分子m2+1>0;B中当m=1时,分子为0,分母不为0,分式的值为0;C中当m=-1时,分子为0,分母为0,分式无意义;D中分子m2+1>0.故选B.）

9.C（解析:

因为分式的分母x2-2x+1=（x-1）2≥0,所以若分式的值为正数,则有x+2>0且x-1≠0,即x>-2且x≠1.故选C.）

10.>3（解析:

要使分式的值为负,需使分母3-x<0,即x>3.故填>3.）

11.≠±1（解析:

若分式有意义,则x2-1≠0,解之即可.故填≠±1.）

12.　

13.解:

因为当x=1时,分式无意义,所以1-a=0,解得a=1;因为当x=4时,此分式的值为零,所以4+2b=0,解得b=-2,所以a+b=1+（-2）=-1.

教学反思

在学习分式的概念时,避免了传统教学中对于概念的直接给出,叫学生死记硬背,忽略学生学习的过程,也不考虑学生是否真正理解,本课时是让学生通过观察、归纳出整式与分式的异同,从而总结出分式的概念,学生对这样获得的知识,理解得更透彻.

对学生学习效果的反馈不够及时,还不能够较全面地了解学生的学习情况,对不足之处未能及时补充.

教后反思

在学习中,要注意观察学生的情感变化,是否遇到困难,学生的积极性、热情是否发挥出来,投入的程度有多少,是否每个学生都参与其中等,作为教师应时刻关注这些,以便适时地引导他们,调动他们,鼓励他们.