全国高中数学联合竞赛代数题汇总.docx

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全国高中数学联合竞赛代数题汇总

2009：

二、求证不等式：

，

2008：

三、（本题满分50分）

设

，

。

证明：

当且仅当

时，存在数列

满足以下条件：

（ⅰ）

，

；

（ⅱ）

存在；

（ⅲ）

，

。

[证]必要性：

假设存在

满足（ⅰ），（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化为

，

，其中

．

将上式从第1项加到第

项，并注意到

得

．…10分

由（ⅱ）可设

，将上式取极限得

，

因此

．…20分

充分性：

假设

．定义多项式函数如下：

，

，

则

在[0,1]上是递增函数，且

，

．

因此方程

在[0,1]内有唯一的根

，且

，即

．…30分

下取数列

为

，

，则明显地

满足题设条件（ⅰ），且

．

因

，故

，因此

，即

的极限存在，满足（ⅱ）．…40分

最后验证

满足（ⅲ），因

，即

，从而

．

综上，存在数列

满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）．…50分

2006：

在此记号系统下，原方程组的第一个方程为

（3.1）于是

2005：

2004：

2002：

二、（本题满分50分）实数

和正数

使得

有三个实根

，且满足：

①

；②

。

求证：

。

解：

∵f（x）=f（x）-f（x3）=（x-x3）[x2+（a+x3）x+x32+ax3+b]

∴x1,x2是方程x2+（a+x3）x+x32+ax3+b的两个根

∵x2-x1=λ

∴（a+x）2-4（x32+ax3+b）=λ2

3x32+2ax3+λ2+4b-a2=0

∵x3>

（x1+x2）∴

（Ⅰ）

且4a2-12b-3λ2≥0（Ⅱ）…………10分

∵f（x）=x3+ax2+bx+c

=

…………20分

∵f（x3）=0∴

（Ⅲ）

由（Ⅰ）得

记p=

，由（Ⅱ）和（Ⅲ）可知p≥

且

令y=

，则y≥0且

…………30分

∵

=

=

≥0

∴

…………40分

∴取a=2

b=2,c=0,λ=2，则f（x）=x3+ax2+bx+c有根

，

，0

显然假设条件成立，且

综上所述，

的最大值是

…………50分

2001：

二、设

（

），且

，求

的最大值与最小值。

解：

先求最小值，因为

≥1

等号成立当且仅当存在i使得xi＝1，xj＝0，j＝i∴

最小值为1．………10分

再求最大值，令

∴

①

设

，令

则①⇔

…………………………………………………………30分

令

＝0，则

由柯西不等式得：

等号成立⇔

由于a1≥a2≥…≥an，从而

，即xk≥0

所求最大值为

…………………………………………………50分

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