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4Dielectric
第15章静电场中的电介质
（DielectricInElectrostaticField）
本章讨论：
·电场对电介质的作用
·电介质对电场的影响
§1电介质及其极化
一.电介质（Dielectric）
电介质—绝缘介质
1.电介质内没有可以自由移动的电荷
在电场作用下，电介质中的电荷只能在
分子范围内移动。
2.分子电矩
·分子—电偶极子（模型）
电介质分子
分子的正负电中心相对错开。
p分=q分l分
·分子电矩
二.电介质的极化（Polarization）
1.极性电介质的极化
（1）极性分子（Polarmolecule）
·正常情况下，内部电荷分布不对称，
正负电中心已错开，有固有电矩p分，
·极性分子：
如HCl、H2O、CO等。
P分
（2）无外电场时
·每个分子p分0
·由于热运动，各p分取向混乱
·小体积V（宏观小、微观大，内有大量
分子）内p分=0
（3）有外电场时
·各p分向电场方向取向（由于热运动，取向
并非完全一致）
·V内p分0
·且外电场越强|p分|越大
·这种极化称取向极化
（Orientationpolarization）
2.非极性电介质的极化
（1）非极性分子（Non-polarmolecule）
·正常情况下电荷分布对称，正负电中心重
合，无固有电矩。
·非极性分子：
如He、H2、N2、O2、
CO2等。
（2）无外电场时
·每个分子p分=0
·V内p分=0
（3）有外电场时
V
·正负电中心产生相对位移，
p分（称感应电矩）0
·V内p分0
·且外电场越强|p分|越大
·这种极化称位移极化
（Displacementpolarization）
三.电极化强度（Polarization）
1.电极化强度
·为描写电介质极化的强弱，引入电极化强
度矢量。
V0
·定义：
单位体积内分子电矩的矢量和
或
·P是位置的函数
·单位：
C/m2
·对非极性电介质，因各p分相同，有
P=np分
n---单位体积内的分子数
·综上，对极性、非极性电介质都有
无外电场时，P=0
有外电场时，P0
且电场越强|P|越大
2.电极化强度和场强的关系
·由实验，对各向同性电介质，当电介质中
电场E不太强时，有
P=0eE
·e：
电极化率（e0），决定于电介质性
质。
·E：
是电介质中某点的场强（包括该点的外
电场以及电介质上所有电荷在该点产生的电场）。
·对各向同性介质：
PE
PE
四.束缚电荷（Boundcharge）
电介质极化后，在电介质体内及表面上可
以出现束缚电荷（又称极化电荷）。
1.体束缚电荷
（1）体束缚电荷
·考虑电介质体内面元dS处的极化
电介质体内
·以位移极化为例，设负电中心不动，
·在电场作用下，dV=l分dScos内所有分
子的正电荷中心将越过dS面。
·越过dS面元的总电荷
dq=q分n（l分dScos）
=np分cosdS
=PcosdS
dq=PdS
·在电介质体内取任一封闭曲面S，则净穿
出整个封闭面的电荷为
q出=SPdS
电介质体内
·留在封闭面内的电荷为
q内=-q出
电介质体内任一封闭面内的束缚电荷
q内=-SPdS
为
·可得出束缚电荷体密度
=-P
—梯度算符
）
（2）可以证明：
对均匀电介质，若电介质体内
无自由电荷，则不管电场是否均匀，电介
质体内都无束缚电荷（待证）。
（我们只讨论均匀电介质）
2.面束缚电荷
·若前述dS面元刚好在电介质表面上，
n即电介质的外法线方向，则
dq=PdS
即为电介质表面dS面积上的束缚电荷。
·单位面积上的束缚电荷
=dq/dS
束缚电荷面密度
=Pn
n—电介质表面外法线方向的单位矢量
n
（方向：
由电介质体内指向体外）
·如图电介质
§2电位移矢量DD的高斯定理
·由于电介质极化后会出现束缚电荷，空间
某点的电场应是由自由电荷与束缚电荷共同产生的。
E=Ef+E
·怎样求E？
E=Ef+E
P
本想求E，情况是“先得知道E才能
求出E”，情况复杂。
·引入一辅助矢量
一.电位移矢量D，D的高斯定理
·由真空中的高斯定理
SEdS=q内/0
q内应包括高斯面所包围的自由电荷与
束缚电荷。
q内=qf内+q内
·由前，高斯面包围的束缚电荷为
q内=-SPdS
·于是
S0EdS=qf内-SPdS
S（0E+P）dS=qf内
D=0E+P
·引入电位移矢量
单位:
C/m2
SDdS=qf内
·D的高斯定理
通过任意封闭曲面的电位移通量等于该封闭面所包围的自由电荷的代数和。
二.关于D的讨论
1.对D的理解
（1）D只和自由电荷有关吗?
·D的高斯定理说明D在闭合面上的通量只
和自由电荷有关，这不等于说D只和自由
电荷有关。
·由D=0E+P，也说明D既和自由电荷
又和束缚电荷有关（E是空间所有电荷共
同产生的）。
（2）电位移线
·类似于电场线（E线），在电场中也可以画
出电位移线（D线）；
·由于闭合面的电位移通量等于被包围的自
由电荷，所以D线发自正自由电荷；
止于负自由电荷。
2.D、E、P的关系
（1）一般关系
D=0E+P
（2）对各向同性电介质（且场强不太大时）
·因P=0eE
代入上式，
D=0E+0eE
=0（1+e）E
·引入：
相对介电常数
r=（1+e），（r1）
介电常数=0r
·P可写作
P=0（r-1）E
D=E
·对各向同性电介质（且场强不太大时）
DE，且二矢量同向。
（我们只讨论各向同性电介质情形）
三.有电介质时电场的计算
步骤：
[SDdS=qf][D=E][V=abEdl][C=qf/V]
由qfDEVC
[P=0（r-1）E]
P
[=Pn]
（底面S0）
[例1]带电分别为正负Q的两均匀带电导体板间充满相对介电常数为r的均匀电介质。
求：
（1）电介质中的电场；
（2）电介质表面的束缚电荷
解：
（1）求电场
·求D：
画高斯面如图
由SDdS=qf内
DS0=（Q/S）S0
D=（Q/S）=f
·求E：
E=D/=f/0r
=Q/（S0r）
（
思考：
电介质中某点的场强<自由电荷在
该点产生的场强，为什么？
（2）求束缚电荷
·求P：
）f
上表面
·求、q：
下表面
练习：
请计算E=？
[例2]带电Q的均匀带电导体球外有一同心的均匀电介质球壳（r及各半径如图）。
求：
（1）
·
电介质内外的电场；
（2）导体球的电势；
（3）电介质表
面的束缚
电荷。
解:
（1）场强分布
·求D：
取高斯面如图
由SD1dS=qf内
经对称性分析有
D1（4r2）=Q
（R1rR2）
（R2r<）
同理
（R1rR2）
·求E：
E1=D1/0r
（1
同理
（2）导体球的电势
（请自己算）
（3）电介质表面的束缚电荷
（R1rR2）
·求P：
·求、q：
外=Pn外=P|
外表面
4R22
q外=外（4R22）
（Q
内表面
·讨论：
题给系统也可看作三层均匀带电球
·
面。
由均匀带电球面内、外的场强，用叠加原
理可得，
（R1rR2）
介质内
（R2r<）
q内的场强抵消了部分Q的场强。
介质外
q内、q外的场强抵消。
练习：
请证明，对均匀电介质，若电介质
体内无自由电荷，则不管电场是否均匀，
电介质体内都无束缚电荷。
练习：
求均匀极化的
电介质球在球心o处
产生的退极化场（即束
缚电荷产生的场）。
设极化强度矢量为P。
[答案：
E=P/30]
r
补充：
的成立条件
（1）同种电介质充满全部电场空间；
（2）电介质按等势面方式填充（即把两等势面
间的空间全部充满）。
·电介质按等势面填充
兰—带电导体，黄---电介质
·电介质按电力线管填充
·
§3静电场的边界条件
研究：
电介质界面两侧D的关系及
E的关系
一.边界条件
1.D的法向分量连续（当界面上无自由电荷
n1
时）
·边界某处两侧的电位移矢量分别为D1、
D2，在该处附近取扁盒状高斯面，其底
面积为S（很小）。
有
SDdS=0
SD1dS+SD2dS=0
D1n1S+D2n2S=0
n1
D1n=D2n
·因n1=n，n2=-n
有
·1E1n=2E2n
2.E的切向分量连续
1
·边界某处两侧的场强分别为E1、E2。
在
该处附近取小矩形环路L（长度很小）。
有LEdl=0
b
E1absin1-E2cdsin2=0
E1t=E2t
2
·
·以上说明：
在界面上
电位移矢量：
法向分量连续（界面无自
由电荷时）；
切向分量突变。
电场强度：
切向分量连续；
法向分量突变。
二.电位移线在界面上的折射
2
1.边界两侧电位移线的条数相同
在界面上无自由电荷时，通过边界上任一
高斯面的D的通量为零。
可知，在边界两
侧的电位移线的条数相同，即电位移线连
续地通过界面。
2.在界面上电位移线会发生折射
由D1cos1=D2cos2
1E1cos1=2E2cos2
r1E1cos1=r2E2cos2
r2
及E1sin1=E2sin2
有
·若r1>r21>2
电位移线将折向法线，反之则折离法线。
思考：
在界面两侧电场线的条数是否相等？
（第15章结束）
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