最新第7章 3曲线拟合讲义复习课程.docx

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最新第7章3曲线拟合讲义复习课程

7.3曲线估计

曲线估计即曲线拟合，恰当的曲线拟合方法可以准确而快速地反映出实际情况。

在曲线估计中，一般首先绘制自变量和因变量间的散点图，然后通过数据在散点图中的分布特点选择所要进行回归分析的类型。

确定函数关系后再进一步确定函数关系中的未知参数，并进行显著性检验。

曲线估计可以拟合许多常用的曲线关系，当变量之间存在可以使用这些曲线描述的关系时，我们便可以使用曲线回归分析进行拟合。

（一）曲线回归分析的基本原理

曲线回归分析的基本任务是通过两个相关变量x与y的实际观测数据建立曲线回归方程，以揭示x与y间的曲线联系的形式。

曲线回归分析最困难和首要的工作是确定因变量y与自变量x之间曲线关系的类型。

通常通过两个途径来确定：

（1）利用有关专业知识，根据已知的理论规律和实践经验。

例如，幂函数的形式能较好地表现生产函数；多项式方程能够较好地反映总成本与总产量之间的关系等；

（2）若没有已知的理论规律和经验可利用，可在直角坐标系作散点图，观察实测点的分布趋势与哪一类已知函数曲线最接近，然后再选用该函数关系式来拟合数据。

对于可直线化的曲线函数类型，曲线回归分析的基本过程是：

先将x和（或）y进行变量转换，然后对新变量进行直线回归分析——建立直线回归方程并进行显著性检验，最后将新变量还原为原变量，由新变量的直线回归方程得出原变量的曲线回归方程。

还有一情况是找不到已知的函数曲线较接近数据的分布趋势，这时可利用多项式回归，通过逐渐增加多项式的高次项来拟合，直到满意为止。

在实际问题中，用户往往不能确定究竟该选择何种函数模型更接近样本数据，这时可以采用曲线估计的方法，其步骤如下：

1.根据实际问题本身特点，同时选择几种模型；

2.SPSS自动完成模型的参数估计，并显示R2、F检验值、相伴概率值等统计量；

3.选择具有R2统计量值最大的模型作为此问题的回归模型，并作一些预测。

（二）曲线回归模型

SPSS中的本质线性模型有：

模型

回归方程

变换后的线性方程

一元曲线（linear）

二次曲线（Quadratic）

复合曲线（Compound）

增长曲线（Growth）

对数曲线（Logarithmic）

三次曲线（Cubic）

S曲线（S）

指数曲线（Exponential）

逆函数（Inverse）

幂函数（Power）

逻辑函数（Logistic）

SPSS曲线估计中，首先，在不能明确究竟哪种模型更接近样本数据时，可在以上多种可选择的模型中，选择几种模型；然后由SPSS自动完成模型的参数估计，并输出回归方程的显著性检验F值和P值（Sig），判定系数等统计量。

最后对模型进行取舍，选取最优的模型，并进行预测分析。

 （三）选择最优化模型的标准:

（1）分析各模型的F检验值,看各方程是否达到显著或极显著,剔除那些不显著的模型；

（2）对表现为显著或极显著的模型,检查模型系数的t检验值,不显著的也予以剔除；

（3）再列表比较模型的决定系数R2值大小,R2值越大的,表示经该代换后,曲线关系越密切；

（4）选取R2值最大的模型作为最优化模型。

在这过程中,模型的R2值与模型系数t检验的计算,可借助计算机,这样可大大减少研究者的工作量,而且增加计算结果的准确性,提高最后选择的客观性。

实例操作：

用曲线估计研究某公司10年中的收入与支出之间的关系

数据文件“公司收入与支出调查表”

Nd表示年度，x表示总收入，y表示支出单位为亿元

Step1【分析】【回归】【曲线估计】

Step2将y（支出）选入因变量中，x（收入）选入自变量中，勾选估计的曲线模型

95%的置信区间

输出结果与分析：

选取R2值最大的模型作为最优化模型。

由拟合图、表可以linear、cubic、Quadratic、compound、logistic和exponenbial几种曲线的拟合度较高。

SPSS22.0操作界面：

数据输入

Step1【分析】【回归】【曲线估计】

Step2将y（支出）选入因变量中，x（收入）选入自变量中，勾选估计的曲线模型

输出结果与分析：

选取R2值最大的模型作为最优化模型。

因此选择立方模型。

输出结果与分析：

由拟合图、表可以看出二次项、立方的拟合程度最高，其次是复合、增长、指数分布、对数几种曲线的拟合度较高。