第二十四章圆知识点及练习题附答案.docx
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第二十四章圆知识点及练习题附答案
《圆》章节知识点复习和练习附参考答案
一、圆的概念
集合形式的概念：
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：
可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：
可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：
到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：
到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：
到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：
平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：
平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内
点
在圆内；
2、点在圆上
点
在圆上；
3、点在圆外
点
在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离
无交点；
2、直线与圆相切
有一个交点；
3、直线与圆相交
有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）
无交点
；
外切（图2）
有一个交点
；
相交（图3）
有两个交点
；
内切（图4）
有一个交点
；
内含（图5）
无交点
；
五、垂径定理
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：
此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①
是直径②
③
④弧
弧
⑤弧
弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
六、圆心角定理
圆心角定理：
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：
①
；②
；
③
；④弧
弧
七、圆周角定理
1、圆周角定理：
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：
∵
和
是弧
所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论：
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：
在⊙
中，∵
、
都是所对的圆周角
∴
推论2：
半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：
在⊙
中，∵
是直径或∵
∴
∴
是直径
推论3：
若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：
在△
中，∵
∴△
是直角三角形或
注：
此推论实是初二年级几何中矩形的推论：
在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：
圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：
在⊙
中，
∵四边形
是内接四边形
∴
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：
过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：
过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：
∵
且
过半径
外端
∴
是⊙
的切线
（2）性质定理：
切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：
过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：
过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：
①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：
∵
、
是的两条切线
∴
平分
十一、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙
中△
是正三角形，有关计算在
中进行：
；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在
中进行，
：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在
中进行，
.
十二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：
（1）弧长公式：
；
（2）扇形面积公式：
：
圆心角
：
扇形多对应的圆的半径
：
扇形弧长
：
扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
=
（2）圆柱的体积：
（2）圆锥侧面展开图
（1）
=
（2）圆锥的体积：
圆练习题
一、选择
1。
下列命题中正确的有（）个
（1）平分弦的直径垂直于弦
（2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
（3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半
（4）平面内三点确定一个圆
（5）三角形的外心到各个顶点的距离相等
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
2。
如图，直线
是
的两条切线，
分别为切点，
，
厘米，则弦
的长为（）
A．
厘米B．5厘米
C．
厘米D．
厘米
3。
小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（）
4。
已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为（）
A．
B．
C．2D．3
5。
若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm、深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为（）
A.10cmB.14.5cmC.19.5cmD.20cm
6。
如图9，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B内切，那么⊙A由图示位置需向右平移_______个单位长．
7。
一扇形的圆心角为150°，半径为4，用它作为一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的表面积是_____________
8。
已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为。
9。
直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为
10。
点A是半径为3的圆外一点,它到圆的最近点的距离为5,则过点A的切线长为__________
11、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=300，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，开始时，PO=6cm．如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（秒）满足条件时，⊙P与直线CD相交．
12。
如图，点
是
上两点，
，点
是
上的动点（
与
不重合），连结
，过点
分别作
于
，
于
，则
．
13。
已知
是半径为
的圆内的一条弦，点
为圆上除点
外任意一点，若
，则
的度数为．
14。
⊙0的半径为5，A、B两动点在⊙0上，AB=4,AB的中点为点C,在移动的过程中，点C始终在半径为_______的一个圆上，直线AB和这个圆的位置关系是______
15.Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为________
三、解答
16。
已知：
△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。
（1）如图1，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：
①；②；③。
（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：
EF是⊙O的切线。
17。
求作一个⊙O，使它与已知∠ABC的边AB，BC都相切，并经过另一边BC上的一点P．
18。
如图，从点P向⊙O引两条切线PA，PB，切点为A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P=60°，PB=2cm，求AC的长．
19。
如图，已知扇形AOB的半径为12，OA⊥OB，C为OB上一点，以OA为直线的半圆O与以BC为直径的半圆O相切于点D．求图中阴影部分面积．
20.如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线
过点A（—1，0），与⊙C相切于点D，求直线
的解析式。
答案：
1.A
2.A
3.B
4.A
5.B
6.4或6
7.
8.2或8
9.6.5cm
10.
cm
11.4＜t≤6
12.5
13.60°或120°
14.3，相切
15.12
16.
（1）①BA⊥EF；②∠CAE=∠B；③∠BAF=90°。
（2）连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，
则AD为⊙O的直径，∴∠D+∠DAC=90°。
∵∠D与∠B同对弧AC，∴∠D=∠B，
又∵∠CAE=∠B，∴∠D=∠CAE，
∴∠DAC+∠EAC=90°，∴EF是⊙O的切线。
17.作法：
①作∠ABC的角平分线BD．
②过点P作PQ⊥BC，交BD于点O，则O为所求作圆的圆心．
③以O为圆心，以OP为半径作圆．
则⊙O就是所求作的圆
18.连结AB．∵∠P=60°，AP=BP，
∴△APB为等边三角形．
AB=PB=2cm，PB是⊙O的切线，PB⊥BC，
∴∠ABC=30°，
∴AC=2·
=
．
19.扇形的半径为12，则
=6，设⊙O2的半径为R．
连结O1O2，O1O2=R+6，OO2=12-R．
∴Rt△O1OO2中，36+（12-R）2=（R+6）2，
∴R=4．
S扇形=
·122=36
，S=
·62=18
，S=
·42=8
．
∴S阴=S扇形-S-S=36
-18
-8
=10
．
20.如图所示，连接CD，∵直线
为⊙C的切线，∴CD⊥AD。
∵C点坐标为（1，0），∴OC=1，即⊙C的半径为1，∴CD=OC=1。
又∵点A的坐标为（—1，0），∴AC=2，∴∠CAD=30°。
作DE⊥AC于E点，则∠CDE=∠CAD=30°，∴CE=
，
，∴OE=OC-CE=
，∴点D的坐标为（
，
）。
设直线
的函数解析式为
，则解得k=
，b=
，
∴直线
的函数解析式为y=
x+
.
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