人教版八年级数学上册课外辅导专题讲义第12章 全等三角形添加辅助线.docx

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人教版八年级数学上册课外辅导专题讲义第12章全等三角形添加辅助线

全等三角形（添加辅助线）

1.通过对辅助线的引入，理解全等三角形的性质及判定并熟练掌握性质。

2.通过对学生的听觉刺激，促进学生掌握全等三角形的性质和判断，并灵活应用。

3.通过听觉类比法，引导学生建构学科知识体系，化简多重符号，掌握相关典型题的解法。

（25分钟）

回顾旧知识

一、全等三角形的性质

全等三角形，对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，周长相等，面积相等．

二、全等的性质和判定

（1）全等三角形的判定方法：

（2）全等三角形的图形变换形式：

平移、对称、旋转

（3）由全等可得到的相关定理：

角平分线定理

等腰、等边三角形性质和判定

垂直平分线定理

学生根据老师的叙述提取相关知识_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

探索新知识

一：

找全等三角形的方法

1.可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等

的三角形中；

2.可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；

3.可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；

4.若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

二：

三角形中常见辅助线的作法

1.中线倍长得全等；

2.载长补短得全等；

3.作平行得全等；

4.作垂直得全等；

5.作角平分线上的点两边的距离得全等，或截取等长线段得全等；

6.连等腰三角形顶点和底边中点得高线和角平分线；

7.补全定理图形或基本图形，运用定理或基本结论解题。

问题一：

根据材料提出与新旧知识相关的问题

_______________________________________________

问题二：

根据材料提出与新旧知识相关的问题

_______________________________________________

例1：

已知：

如图AD是△ABC的中线，求证：

AB+AC>2AD

例2：

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE=CD，EF=AC，求证：

EF∥AB.

例3：

已知：

如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若∠C=2∠B,证明：

AB=AC+CD.

例4：

已知如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，求证：

BC+DC=AC.

例5：

如图甲，操作：

把正方形CGEF的对∠线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．

（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；

（2）将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图乙），令CG=2BC其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；

（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：

线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明．

例6：

在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.

（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：

EG=AG+BG；

（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB=α（0º﹤α﹤90º），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；

（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.

提示：

中线倍长

提示：

中线倍长

提示：

载长补短

提示：

载长补短

1、已知：

如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，F为CD上一点，AE平分∠BAF。

求证：

AF=CF+AB.

点评_________________________________________________________________________

2、如图，已知：

AD是△ABC的中线，且CD=AB，AE是△ABD的中线，求证：

AC=2AE.

点评_________________________________________________________________________

3、在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP=∠ACP．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F．

（1）如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；

（2）如图2，当AB

AC，其它条件不变时，

（1）中的结论是否发生改变？

请说明理由．

点评_________________________________________________________________________

4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．

（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：

EF＝AE＋BF．

（2）如图，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．

点评_________________________________________________________________________

5、已知：

如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，AF平分∠EAD。

求证：

AE=BE+DF.

点评_________________________________________________________________________

6.已知，如图△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，

求证EF＝2AD。

点评_________________________________________________________________________

内容小结

常见辅助线的作法有以下几种：

（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，

思维模式是全等变换中的“对称”．

（2）遇到三角形的中点或中线，倍长中线或倍长类中线，使延长线段与原中线长相等，

构造“

”字形全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，或者沿着角平分线翻折，

利用的思维模式是三角形全等变换中的“对称”，所考知识点常常是角平分线的性质定理

或逆定理．

（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，

利用的思维模式是全等变换中的“平移”．

（5）截长补短，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

具体做法是在某条线段端点处截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．

教师评语

任务A：

听写

内容

时间

结果

任务B：

1.下列命题错误的是（　　）

A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

B、一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等

C、有两边和其中一边的对角（此角为钝角）对应相等的两个三角形全等

D、有两条边对应相等的两个直角三角形全等

2、△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CD⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（　　）

A、3对　　　　B、4对　　　　C、5对　　　　D、6对

3.在等腰△ABC中，AB＝AC＝14cm，E为AB中点，DE⊥AB于E，交AC于D，若△BDC的周长为24cm，则底边BC为多少？

4、若△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′分别是对应边BC和B′C′的高，则△ABD≌△A′B′D′，理由是，从而AD＝A′D′，这说明全等三角形相等

5：

已知：

如图，△ABC中，∠A=60°，∠B与∠C的平分线BE、CF交于点O，求证：

BC=BF+CE.

6：

已知：

如图，在△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，AD=BD，求证：

CD⊥AC.

7：

如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，

求证：

AB－AC＞PB－PC

参考答案

记忆再现

1.证明：

延长AD至E使得DE=AD，连接EC，则AE=2AD

∵AD为△ABC的中线，

∴BD=CD

在△ABD和△CED中

BD=CE

∠ADB=∠EDC

AD=ED，

∴△ABD≌△CED，

∴AB=EC，

在△ACE中，根据三角形的三边关系有AC+EC＞AE

而AB=EC，AE=2AD

∴AB+AC＞2AD

2.证明：

延长AD,使DN=AD，连接EN

在△ACD和△NED中

DE=DC

∠ADC=∠NDE

AD=ND

∴△ACD≌△NED

∴DN=AC,∠DNE=∠CAD

∵EF=AC

∴EF=EN

∴∠DNE=∠EFD

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

∴∠BAD=∠EFD

∴EF∥AB

3.证明：

在AB上取AE=AC，连接DE

△ACD和△AED中

AC=AE，

∠CAD=∠EAD

AD=AD

∴△ACD≌△AED。

∴DE=CD，且∠AED=∠C=2∠B

∵∠B+∠EDB+∠BED=180，∠AED+∠BED=180

∴∠AED=∠B+∠EDB

∵∠B=∠EDB，BE=DE=CD

∴AB=AE+BE=AC+CD

4.证明：

连接BD，延长BC到点E，使CE=CD，连接DE

∵AB=AD，∠BAD=60°，AB=AD

∴△ABD是等边三角形

∴∠ADB=60°，AD=BD

∵∠BCD=120°

∴∠DCE=60°

∴△DCE是等边三角形

∴∠CDE=60°，DC=DE

∴∠ADC=∠BDE

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=BC+CD

5.解：

（1）MD=MF，MD⊥MF；

（2）结论不变MD=MF，MD⊥MF，

证明：

如图乙，延长DM交FE于N．

∵正方形ABCD、CGEF，

∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，

∴∠1=∠2．

在△AMD与△EMN中，

∠1＝∠2

MA＝ME

∠3＝∠4

∴△AMD≌△EMN，

∴AD=EN，MD=MN，

∵CF=2AD，EF=2EN，

∴FD=FN．

∵∠DFN=90°，

∴FM⊥MD，MF=MD；

（3）MD=MF，MD⊥MF，

证明：

如图丙，延长DM到N，

使MN=MD，连接FD、FN、EN，

延长EN与DC延长线交于点H．

在△AMD与△EMN中，

MA＝ME

∠1＝∠2

MD＝MN

∴△AMD≌△EMN，

∴∠3=∠4，AD=NE．

又∵正方形ABCD、CGEF

∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90°，

∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°．

∴DC=NE．

∵∠3=∠4，

∴AD∥EH．

∴∠H=∠ADC=90°．

∵∠G=90°，∠5=∠6，

∴∠7=∠8．

∵∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，

∴∠DCF=∠FEN．

在△DCF与△NEF中，

DC＝NE

∠DCF＝∠FEN

FC＝FE

∴△DCF≌△NEF，

∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．

∵∠CFE=90°，

∴∠DFN=90°，

∴FM⊥MD，MF=MD．

6.解：

（1）证明：

如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.

∴∠GAB=∠HAE.

∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，

∴∠ABG=∠AEH.

∵又AB=AE，

∴△ABG≌△AEH.

∴BG=EH，AG=AH.

∵∠GAH=∠EAB=60°，

∴△AGH是等边三角形.

∴AG=HG.

∴EG=AG+BG.

（2）

（3）

如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.

∴∠GAB=∠HAE.

∵∠EGB=∠EAB=90°，

∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°.

∴∠ABG=∠AEH.

∵又AB=AE，

∴△ABG≌△AEH.

∴BG=EH，AG=AH.

∵∠GAH=∠EAB=90°，

∴△AGH是等腰直∠三角形.

∴

AG=HG.

∴

追踪演练

1.证明：

将AE延长交DC延长线于点G，

∵E是BC中点，     

∴BE=CE，

∵AB//CD，      

∴∠BAE=∠G，∠B=∠GCE   

∴△ABE≌△GCE     

∴CG=AB，

∵AB=BC， 

∴BC=CG，

∵AE平分∠BAF，

∴∠BAE=∠FAE，

∵AB∥CD，     

∴∠ BAE=∠CGE，

∵FAE=G，

∴AF=FG，

∴AF=BC+CF。

2.证明：

延长AE，使EF=AE，连接DF

∴AF=EF+AE=2AE

∵AE是三角形ABD的中线

∴BE=DE

∵∠AEB=∠DEF

∴三角形ABE和三角形FDE全等（SAS）

∴AB=DF

∠B=∠BDF

∴AB平行DF

∴∠BAD+∠ADF=180度

∵AD是三角形ABC的中线

∴BD=DC

∵CD=AB

∴DF=AB=BD

∴∠BAD=∠ADB

∵∠ADC+∠ADB=180度

∴∠ADC+∠ADB=∠BAD+∠ADF=∠ADB+∠ADF=180度

∴∠ADF=∠ADC

∵DF=CD（已证）

∴三角形ADF和三角形ADC全等（SAS）

∴AF=AC

∴AC=2AE

3.解：

（1）DE=DF．

（2）DE=DF不发生改变．

分别取BP、CP的中点M、N，联结EM、DM、FN、DN．

∵D为BC的中点，∴

．

∵

∴

．

∴

．

∴

．

同理

．

∴四边形MDNP为平行四边形．

∴

．

∵

∴

．

∴

．

∴△EMD≌△DNF．

∴DE=DF．

4.

（1）证明：

∵AE垂直CF,BF垂直CF,∠ACB＝90°,

∴∠ACE＋∠BCF＝90°,∠CAE＋∠ACE＝90°,∠BCF＋∠CBF＝90°,

∴∠ACE＝∠CBF,∠CAE＝∠BCF,又∵AC＝CB,

∴△ACE≌△CBF

∴AE＝CF,CE＝BF,

∵CE＋EF＝CF

∴AE＝BF＋EF

（2）

（1）AD大于BD时,EF=BF-AE.

△AEC≌CFB,

AE=CF,BF=CE,

EF=CE-CF=BF-AE.

（2）AD=BD时,EF=0.

D、E、F三点重合,

AE=BF.EF=0

（3）AD小于BD时,EF=AE-BF,

△AEC≌CFB,

AE=CF,BF=CE,

EF=F-CE=AE-BF.

5、证明：

延长CB到G,使BG=DF,联接AG

∵ABCD是正方形

∴AB=AD   ∠ABC=∠D=90° 

∴∠ABG=∠D=90° 

∴△ABG ≌△ADF

∴∠G=∠AFD    ∠BAG=∠DAF

∵∠DAF=∠EAF

∴∠BAG=∠EAF

∴∠EAG=∠BAG+∠BAE=∠EAF+∠BAE=∠BAF

∵AB∥CD

∴∠AFD=∠BAF

∴∠G=∠EAG

∴AE=GE

∵GE=BE+BG=BE+DF

∴AE=BE+DF

6.证明：

在AD的延长线上取点G,使AD＝GD,连接BG、CG

∵等腰RT△ABE、等腰RT△ACF

∴∠BAE＝∠CAF＝90,AE＝AB,AF＝AC

∴∠BAC+∠EAF＝360-∠BAE-∠CAF＝180

∵AD是BC边上的中线

∴BD＝CD

∵AD＝GD

∴平行四边形ABGC

∴CG＝AB,∠ACG+∠BAC＝180

∴CG＝AE,∠ACG＝∠EAF

∴△ACG≌△FAE （SAS）

∴EF＝AG

∵AG＝AD+GD＝2AD

∴EF＝2AD

任务B

1．C

2．D

3、10cm

4.AAS，对应边上的高

5．证明：

在BC上取BD=BF，连接ID。

∵BF=BD，∠ABE=∠CBE，BI=BI，

∴△BFI≌△BDI，

∴∠BIF=∠BID，IF=ID。

∵∠BIC=∠ABE+∠BFC=∠ABE+∠A+∠ACF，

∠ABE=∠ABC/2，∠ACF=∠ACB/2，

∴∠BIC=∠A+（∠ABC+∠ACB）/2=∠A+（180°-∠A）/2=90°+∠A/2=120°。

∴∠BIF=∠BID=∠CID=∠CIE=60°；

∵IC=IC，∠ACF=∠BCF，

∴△CID≌△CIE，

∴CD=CE，

∴BC=BD+CD=BF+CE。

6

、证明：

在AC的延长线上取点E,使AC＝EC,连接DE

∵AC＝EC

∴AE＝AC+EC＝2AC

∵AB＝2AC

∴AE＝AB

∵AD＝AD,∠1＝∠2

∴△ABD≌△AED（SAS）

∴DE＝BD

∵AD＝BD

∴DE＝AD

∴CD⊥AC（三线合一）

7：

证明：

如图，在AB上截取AE，使AE=AC，连接PE，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

在△AEP和△ACP中，

AE＝AC

∠1＝∠2

AP＝AP

∴△AEP≌△ACP（SAS），

∴PE=PC，

在△PBE中，BE＞PB-PE，即AB-AC＞PB-PC．