八年级数学图形变换旋转复习.docx

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八年级数学图形变换旋转复习

图形变换（旋转）复习

　　一、知识考点

　　1.理解旋转与中心对称的概念

　　（旋转角，旋转中心，对称中心，对称点，中心对称图形）

　　2.旋转前后图形具有的性质，这是在处理很多复杂问题时，我们所依据的内容，主要关注了：

（1）对应点与旋转中心所连线段相等；

（2）等于旋转角的角；

　　（3）全等.

　　二、例题分析

　　例1.如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（）

　　A.（-4，3）　　　B.（-3，4）　　　C.（3，-4）　　　D.（4，-3）

　　分析：

线段的旋转实际上是放置问题中的一个基础内容，有了线段旋转的研究我们以后对于旋转的理解和使用会更加灵活，那么，如何实现线段的旋转呢？

在本题中，我们借助坐标系的帮助，思考一下线段的旋转的具体操作方法及小结一下心得.

　　有些同学可能想到利用三角板来作直角解决问题，这种方法比较直接，但是工具和操作的不精确可能导致了作图的不精确，我们势必要研究通过计算得到结果的方法，坐标系的好处是当我们要确定A′位置时，只须确认A′坐标（横，纵）即可.因此有的同学采用了“数格”的方法，这种方法很容易操作，还有的同学想到了把OA放在一个矩形中（如图形OMAN）这样把整个矩形旋转90°更易找到A的对应点A′，由此我们找到一个很好的方法：

在旋转一条线段时，为了更易发现图形变换前后的特点，我们可以将线段放到矩形或直角三角形中，将图形整体旋转.这在很多问题中有所体现，如以前的一个问题：

　　如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=3，BC=5，AB=1，把线段CD绕点D逆时针旋转90°到DE位置，连结AE，则AE的长为

.

　　题目中把线段CD绕点D旋转，这时可能还不易处理，那么我们可能会想到把它们放在基本图形中，但题目的图中也没有合适的含有DE、DC两线段的全等形，因此，我们可以构造含有DE、DC的直角三角形，进而实现旋转.

　　提示：

过E作EG⊥AD于G，过D作DF⊥BC于F，易证△DEG≌△DCF，使问题得到解决.

　　例2.在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延

长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是_____.

　　分析：

准确的画图将为我们研究问题提供较好的思维切入点，据题意，画示意图.

　　由图可知，P3与P2关于y轴对称，因此只须求得P2坐标，而我们可以发现△OP0P2为含60°角的直角三角形，所以马上可以知道

，

.

　　例3.如图，△A′B′C′是△ABC旋转后得到的图形，请确定旋转中心，旋转角.

　　分析：

我们以前曾经处理过一些有关作图的内容，其实旋转中心的确定是依托于旋转的性质的.我们由对应点到旋转中心的距离相等，想到旋转中心在对应点所在连线段的垂直平分线上.而只要做到两条这样的垂直平分线，并能得一个交点，那么这个交点就是我们所要的旋转中心，再根据旋转角的定义即可作出旋转角.我们知道，旋转的一种特殊情况是中心对称，那么我们不妨小结一下.

　　答案：

∵对应点到旋转中心的距离相等，即OA=OA′

　　∴O点在AA′的垂直平分线上

　　同理O点也在BB′的垂直平分线上

　　∴两条垂直平分线的交点O就是旋转中心，∠AOA′的度数就是旋转角.

　　确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法：

（1）利用中心对称的性质：

对称点所连线段被对称中心所平分，所以连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点即为对称中心.

（2）利用中心对称的性质：

对称点所连线段都经过对称中心，所以连接任意两对对称点，则这两条线段的交点即为对称中心.

　　发展：

找到旋转中心的关键是找到对应点，作其连线的垂线而大家一定要注意，有些问题是没有说谁和谁对应的，这样的问题往往需要分类讨论.如：

线段CD是线段AB旋转后得到的，请确定旋转中心.

　　这样的旋转中心有两个

　　一个是让点A与点C，点B与点D对应作出的；

　　另一个是让点A与点D，点B与点C对应作出的.

　　有兴趣的话，大家不妨任画两个等边三角形，看看能不能把其中一个看成是另一个旋转而成，能不能找到它的旋转中心，有几个？

　　练习：

已知：

如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）

　　分析：

过中心对称图形的对称中心的任意一条直线，将该图形分成完全相同的两部分.当然其面积也相等.解决这类问题时，关键是将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满足条件.

　　发展：

如果图为平行四边形中有一个圆，你该怎么办？

　　其处理方法实质上和上题一致，利用中心对称图形的组合，由性质确认解决方案：

画出圆与平行四边形的中心，确定出所需直线.

　　例4.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF，分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：

　　①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤

；当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时，（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的序号有_____（①②③⑤）

　　这个问题的题目原型，我们在初二学习全等三角形时已经处理过，现在学习了旋转后，我们可以从一个新的角度去看旧问题.

　　∵P为BC中点

　　∴易证

于P且

　　在△AEP与△CFP中，

　　∴△AEP≌△CFP（ASA）

　　而我们也可以看到△AEP可以看作是由△CPF旋转后得到的，因而易知AE=CF

　　∠APE=∠CPF

　　又EP=FP，可知△EPF为等腰直角三角形

　　而由旋转也可知S四边形AEPF=S△AEP+S△AFP=S△CFP+S△AFP=S△APC

　　而对于④来说，只有在EF∥BC时，

，是特殊情况.

　　这类问题相当普通，有很多种变形.

　　练习

　　1.如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起，现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针旋转.

（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM、FN的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，

（1）中的猜想还成立吗？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

　　这个问题与例题相似的是图形连续变换中的基本想法，所不同的是变换的基本图，但其处理方法仍很具普遍性.

　　证：

（1）易知等腰直角三角形EFG中，

　　同理，在等腰直角三角形ABD中

　　在△ONF与△OBM中

　　∴△OFN≌△OBM（ASA）

　　∴BM=FN

　　分析：

有了第

（1）问的处理，我们不妨可以这样处理第

（2）问，同理将图2旋转到另一个位置得到的，那么在运动图形变换的问题中，不妨采取上一问的处理方法先试一下，有哪些是可以延用的？

细微的改变和差异是什么？

　　略证：

（2）证△OFN≌△OBM.

　　2.如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交，交点分别为M、N，如果AB=4，AD=6，OM=x，ON=y，则y与x的关系是（）

　　A.

　　　　B.

　　　　C.

　　　　D.

　　这是对例题的另一种发展，将基本图形稍加改变（正方形→长方形），这种改变带来的效果是:

　　1.原来四边相等的条件消失，只有对边相等，因而可能不再具备原来哪样全等的条件.

　　2.原来的四角均为直角，现在也是，因而原来可能会使用到的角相等的条件应该还能使用.

　　3.综上，我们可以考虑用相似替代全等进行证明.

　　略解：

过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AB于Q

　　在△OPM与△OQN中

　　∴△OPM∽△OQN

.

　　例5.用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角

.

　　分析：

我们由题意可以知道，三角板在旋转过程中的旋转角为22°，因而其对应边所在直线的夹角为22°，从这个角度，我们易知三角板斜边转过了22°，而平移过程中，斜边保持和原来位置的平移.

　　∴可以知道，三角板斜边与射线OA（平移前三角板斜边所在射线）夹角为22°.

　　例6.如图，将一块斜边长为12cm，∠B=60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是_____cm.

　　过B′作B′D∥BC交AB于D

　　∴B′D⊥AC于B′

　　在Rt△ABC中，∠B=60°

　　∴B′C=BC=6cm

　　∴在Rt△AB′D中，

.

　　例7.在同一平面直角坐标系中有6个点：

A（1，1），B（-3，-1），C（-3，1），D（-2，-2），E（-2，-3），

F（0，-4）

（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；

（2）若将直线EF沿y轴向上平移，当它经过点D时，设此时的直线为l1，①判断直线l1与⊙P的位置关系，并说明理由；

　　②再将直线l1绕点D按顺时针方向旋转，当它经过点C时，设此时的直线为l2，求直线l2与⊙P的劣弧CD围形的面积（结果保留

）

　　解：

（1）所画⊙P如图所示，由图可知⊙P的半径为

，∴点D在⊙P上.

（2）①∵直线EF向上平移1个单位经过点D，且经过点G（0，-3）

　　∴PG2=12+32=10，PD2=5，DG2=5

　　∴PG2=PD2+DG2

　　则∠PDG=90°，∴PD⊥l1，∴直线l1与⊙P相切

　　②

　　∴PC2+PD2=CD2，∴∠CPD=90°

　　∴直线l2与劣弧CD围成的图形的面积为

.

　　评析：

在学习圆的知识后，我们再次复习旋转等图形变换时就可以结合后期学习的内容，综合看一些问题，本题即是如此.

（1）考虑了圆中的基本功----如何判定点与圆的位置关系；

（2）将图形变换与坐标系中解析式的想法相结合.

　　其核心处理策略可以是：

　　从几何特征入手，关注图形变换中的不变量，将其用代数方法表示出来，使问题得到解决.

　　例8.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）

（1）画出△ABC向下平移4个单位后的△A1B1C1；

（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长.

　　解：

（1）画出△A1B1C1.

（2）画出△A2B2C2.

　　连结OA，OA2，

，点A旋转到A2所经过的路线长为

　　评析：

本题是对前面例1到例3中一些处理方法的综合，方格纸问题是近年中考常见的一个考点.

　　在

（2）中如何画出旋转之后的图形？

　　为了准确，我们可以将线段AO看作一个2×3的矩形的对角线，将矩形旋转更易画准（直角三角形亦可）；另外，我们可以优先选择较易操作的，如：

将BC旋转；

　　而计算A旋转到A2所经过的路线时，特别需要注意这个线路不是线段AA2的长度，而是以点O为圆心，OA长为半径的圆上的一段弧的长，其圆心角的度数等于∠AOA2的度数.

　　（旋转的过程中，A点所到之处保持与O点的恒定距离）