《13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词》教案.docx

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《13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词》教案

1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

适用学科

数学

适用年级

高三

适用区域

新课标

课时时长（分钟）

60

知识点

1.逻辑联结词“且”“或”“非”的含义

2.含有逻辑联结词的命题真假的判断

3.全称量词与全称命题

4.存在量词与特称命题

5.含有一个量词的命题的否定

教学目标

1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．

2.理解全称量词与存在量词的意义．

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

教学重点

全称命题、特称命题的否定及判断

教学难点

全称命题、特称命题的否定及判断

教学过程

一、课堂导入

正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。

无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确的运用逻辑用语表达自己的思维。

常用逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具；在学习数学过程中需要准确全面地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用，所以逻辑用语在数学中也具有很重要的作用。

而要正确的使用逻辑用语首要的就是准确的使用逻辑联结词. 

在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。

在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。

下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。

 为叙述简便，今后常用小写字母p、q、r、s、……，来表示命题。

（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别） 

二、复习预习

1、四种命题的相互关系

2、充分条件与必要条件及其判断方法

三、知识讲解

考点1命题p∧q、p∨q、非p的真假判定

p

q

p∧q

p∨q

非p

真

真

真

真

假

真

假

假

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

真

考点2全称量词和存在量词

（1）全称量词有：

所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：

存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．

（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p（x）成立”用符号简记为：

∀x∈M，p（x）．

（3）含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p（x0）成立”用符号简记为：

∃x0∈M，p（x0）．

考点3含有一个量词的命题的否定

命题

命题的否定

∀x∈M，p（x）

∃x0∈M，非p（x0）

∃x0∈M，p（x0）

∀x∈M，非p（x）

三、例题精析

【例题1】

【题干】（2013·长春名校联考）命题p：

若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：

若函数f（x）在（－∞，0]及（0，＋∞）上都是减函数，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数．下列说法中正确的是（　　）

A．“p或q”是真命题　　　　B．“p或q”是假命题

C．非p为假命题D．非q为假命题

【答案】B

【解析】∵当a·b>0时，a与b的夹角为锐角或零度角，

∴命题p是假命题；命题q是假命题，

例如f（x）＝

综上可知，“p或q”是假命题

【例题2】

【题干】下列命题中是假命题的是（　　）

A．存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tanα＋tanβ

B．对任意x>0，有lg2x＋lgx＋1>0

C．△ABC中，A>B的充要条件是sinA>sinB

D．对任意φ∈R，函数y＝sin（2x＋φ）都不是偶函数

【答案】选D

【解析】对于A，当α＝β＝0时，tan（α＋β）＝0＝tanα＋tanβ，因此选项A是真命题；对于B，注意到lg2x＋lgx＋1＝

2＋

≥

>0，因此选项B是真命题；对于C，在△ABC中，A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB（其中R是△ABC的外接圆半径），因此选项C是真命题；对于D，注意到当φ＝

时，y＝sin（2x＋φ）＝cos2x是偶函数，因此选项D是假命题．

【例题3】

【题干】命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________．

【解析】有些可以被5整除的数，末位不是0

【解析】省略了全称量词“任何一个”，否定为：

有些可以被5整除的数，末位不是0.

【例题4】

【题干】已知c>0，且c≠1，设p：

函数y＝cx在R上单调递减；q：

函数f（x）＝x2－2cx＋1在

上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．

【答案】C

【解析】∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0

即p：

00且c≠1，∴非p：

c>1.

又∵f（x）＝x2－2cx＋1在

上为增函数，∴c≤

.即q：

0

，

∵c>0且c≠1，

∴非q：

c>

且c≠1.

又∵“p或q”为真，“p且q”为假，

∴p真q假或p假q真．

①当p真，q假时，{c|0

＝

.

②当p假，q真时，{c|c>1}∩

＝∅.

综上所述，实数c的取值范围是

.

四、课堂运用

【基础】

1．（2013·长沙模拟）设p、q是两个命题，则“复合命题p或q为真，p且q为假”的充要条件是（　　）

A．p、q中至少有一个为真　　B．p、q中至少有一个为假

C．p、q中有且只有一个为真D．p为真，q为假

解析：

选C　∵p或q为真⇒p、q中至少有一个为真；p且q为假⇒p、q中至少有一个为假，

∴“命题p或q为真，p且q为假”⇒p与q一真一假．

而由C选项⇒“命题p或q为真，p且q为假”．

2．（2013·揭阳模拟）已知命题p：

∃x0∈R，cosx0＝

；命题q：

∀x∈R，x2－x＋1>0，则下列结论正确的是（　　）

A．命题p∧q是真命题

B．命题p∧非q是真命题

C．命题非p∧q是真命题

D．命题非p∨非q是假命题

解析：

选C　命题p是假命题，命题q是真命题，

∴p∧q是假命题，p∧非q是假命题，

非p∧q是真命题，非q∨非p是真命题．

3．已知命题p：

抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－

；命题q：

若函数f（x＋1）为偶函数，则f（x）关于x＝1对称．则下列命题是真命题的是（　　）

A．p∧qB．p∨（非q）

C．（非p）∧（非q）D．p∨q

解析：

选D　抛物线y＝2x2，即x2＝

y的准线方程是y＝－

；当函数f（x＋1）为偶函数时，函数f（x＋1）的图象关于直线x＝0对称，函数f（x）的图象关于直线x＝1对称（注：

将函数f（x）的图象向左平移一个单位长度可得到函数f（x＋1）的图象），因此命题p是假命题，q是真命题，p∧q、p∨（非q）、（非p）∧（非q）都是假命题，p∨q是真命题．

【巩固】

4．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________．

解析：

全称命题的否定为特称命题，所以该命题的否定为：

∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3.

答案：

∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3

5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：

当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知

得－8≤a<0.综上，－8≤a≤0.

答案：

[－8,0]

【拔高】

6．已知命题p1：

函数y＝2x－2－x在R上为增函数，

p2：

函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．

则在命题q1：

p1∨p2，q2：

p1∧p2，q3：

（非p1）∨p2和q4：

p1∧（非p2）中，真命题是（　　）

A．q1，q3B．q2，q3

C．q1，q4D．q2，q4

解析：

选C　p1是真命题，则非p1为假命题；p2是假命题，则非p2为真命题．所以q1：

p1∨p2是真命题，q2：

p1∧p2是假命题，q3：

（非p1）∨p2为假命题，q4：

p1∧（非p2）为真命题．即真命题是q1，q4.

7．已知命题p：

∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：

∃x0∈R，x

＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

解：

由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．

p：

x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤（x2）min＝1，

所以命题p：

a≤1；

q：

设f（x）＝x2＋2ax＋2－a，存在x0∈R使f（x0）＝0，

只需Δ＝4a2－4（2－a）≥0，

即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2，

所以命题q：

a≥1或a≤－2.

由

得a＝1或a≤－2

故实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.

课程小结

1.逻辑联结词与集合的关系

“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．

2．正确区别命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．