届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合学案文.docx

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届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合学案文

1.了解集合的含义、体会元素与集合的从属关系．

2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．

3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．

5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

7．能使用韦恩（Venn）图表达集合的基本关系及集合的基本运算．

知识点一元素与集合

1．集合元素的特性：

________、________、无序性．

2．集合与元素的关系：

若a属于A，记作________；若b不属于A，记作________．

3．集合的表示方法：

________、________、图示法．

4．常用数集及其符号表示

数集

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

____

________

____

____

____

答案

1．确定性　互异性　2.a∈A　b∉A

3．列举法　描述法　4.N　N*或N＋　Z　Q　R

1．（2016·天津卷）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝（　　）

A．{1}　　　B．{4}　　　C．{1,3}　　D．{1,4}

解析：

由题意B＝{1,4,7,10}，A∩B＝{1,4}，选D.

答案：

D

2．设A＝{－1,1,5}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{5}，则实数a的值为（　　）

A．3B．1

C．±1D．1或3

解析：

因为A∩B＝{5}，所以a＋2＝5或a2＋4＝5.当a＋2＝5时，a＝3；当a2＋4＝5时，a＝±1，又a＝－1时，B＝{1,5}，而此时A∩B＝{1,5}≠{5}，故a＝1或3.

答案：

D

知识点二集合间的基本关系

　　　表示

关系　　　

文字语言

符号语言

相等

集合A与集合B中的所有元素________

A__B且B__A

⇔A＝B

子集

A中任意一个元素均为B中的元素

______或______

真子集

A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素

______或______

空集

空集是________的子集，是___________的真子集

∅__A　∅__B

（B≠∅）

答案

都相同　⊆　⊆　A⊆B　B⊇A　AB　BA　任何集合　任何非空集合　⊆　

3．（必修①P12习题1.1A组第5

（2）题改编）若集合A＝{x∈N|x≤

}，a＝2

，则下面结论中正确的是（　　）

A．{a}⊆A　　　　　　　　B．a⊆A

C．{a}∈AD．a∉A

解析：

因为2

不是自然数，所以a∉A.

答案：

D

4．满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为____.

解析：

集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.

答案：

7

知识点三集合的基本运算

1．集合的三种基本运算

并集

交集

补集

符号

表示

________

________

若全集为U，则集合A的补集为∁UA

图形

表示

意义

{x|__________}

{x|__________}

{x|__________}

2.活用集合的三类运算性质

并集的性质：

A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔____.

交集的性质：

A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔____.

补集的性质：

A∪（∁UA）＝____；A∩（∁UA）＝____；∁U（∁UA）＝A.

答案

1．A∪B　A∩B　x∈A，或x∈B　x∈A，且x∈B　x∈U，且x∉A

2．B⊆A　A⊆B　U　∅

5．（2016·新课标全国卷Ⅰ）设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝（　　）

A．（－3，－

）B．（－3，

）

C．（1，

）D．（

，3）

解析：

由题意得，A＝{x|1

}，则A∩B＝（

，3），选D.

答案：

D

6．（必修①P12习题1.1B组第1题）已知集合A＝{1,2}，集合B满足A∪B＝{1,2}，则集合B有________个．

解析：

因为集合A＝{1,2}有两个元素，且A∪B＝{1,2}，则B⊆A.故满足条件的集合B有22＝4（个）．

答案：

4

热点一　集合的含义及表示

【例1】　已知集合A＝{x|y＝

，x∈Z}，B＝{p－q|p∈A，q∈A}，则集合B中元素的个数为（　　）

A．1B．3

C．5D．7

（2）已知集合A＝{x－2,2x2＋5x,12}，若－3∈A，则x的值为________.

【解析】　

（1）易知A＝{x|y＝

，x∈Z}＝{－1,0,1}，B＝{p－q|p∈A，q∈A}＝{－2，－1,0,1,2}，故集合B中元素的个数为5.

（2）由题意可知x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.当x－2＝－3时，x＝－1，则x－2＝2x2＋5x＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当2x2＋5x＝－3时，x＝－

（x＝－1舍去），经检验x＝－

满足题意．综上可知x＝－

.

【答案】　

（1）C　

（2）－

【总结反思】

（1）研究集合问题时，一定要抓住元素这一要素，看元素应满足的属性．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．

（2）对于集合相等的问题，首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程（组）进行求解，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

（1）（2017·邢台模拟）已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为（　　）

A．2B．3

C．4D．5

（2）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

解析：

（1）A＝{x∈N|（x＋3）（x－1）≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.

（2）由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－

，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－

时，m＋2＝

，而2m2＋m＝3，故m＝－

.

答案：

（1）C　

（2）－

热点二集合间的关系

【例2】　

（1）设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则（　　）

A．P⊆QB．Q⊆P

C．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

【解析】　

（1）因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁RP＝{y|y>1}，所以∁RP⊆Q，选C.

（2）∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－1

此时m<2.

②若B≠∅，则

解得2≤m≤3.

由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3]．

【答案】　

（1）C　

（2）（－∞，3]

1．在本例

（2）中，若A⊆B，如何求解？

解：

若A⊆B，则

即

所以m的取值范围为∅.

2．若将本例

（2）中的集合A，B分别更换为A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，如何求解？

解：

①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2

②若1∈B，则12＋m＋1＝0，

解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；

③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－

，此时B＝{2，

}，不合题意．

综上所述，实数m的取值范围为[－2,2）.

【总结反思】

根据两集合的关系求参数的方法

已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．

（1）若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；

（2）若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.

（1）（2017·保定模拟）已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2－1＝0}，若A⊆B，则a的取值构成的集合是（　　）

A．{－1}B．{1}

C．{－1,1}D．{－1,0,1}

（2）已知集合A＝{x|x2－2015x－2016≤0}，B＝{x|x

解析：

（1）由题意，得B＝{－1,1}，

因为A⊆B，所以当A＝∅时，a＝0；

当A＝{－1}时，a＝－1；

当A＝{1}时，a＝1.

又A中至多有一个元素，

所以a的取值构成的集合是{－1,0,1}．

（2）因为A＝{x|－1≤x≤2016}，B＝{x|x2016，即m>2015.

答案：

（1）D　

（2）（2015，＋∞）

热点三集合的运算

考向1　集合的基本运算

【例3】　

（1）（2016·山东卷）设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝（　　）

A．（－1,1）B．（0,1）

C．（－1，＋∞）D．（0，＋∞）

（2）设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{1,4}，N＝{2,3}，则集合{5,6}等于（　　）

A．M∪NB．M∩N

C．（∁UM）∪（∁UN）D．（∁UM）∩（∁UN）

【解析】　

（1）集合A表示函数y＝2x的值域，故A＝（0，＋∞）．由x2－1<0，得－1

所以A∪B＝（－1，＋∞）．故选C.

（2）由题知M∪N＝{1,2,3,4}，M∩N＝∅.

（∁UM）∪（∁UN）＝{1,2,3,4,5,6}，

（∁UM）∩（∁UN）＝{5,6}，故选D.

【答案】　

（1）C　

（2）D

考向2　含参数的集合运算

【例4】　设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}，若（∁UA）∩B＝∅，则m＝________.

【解析】　A＝{－2，－1}，由（∁UA）∩B＝∅，得B⊆A.

∵方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的判别式Δ＝（m＋1）2－4m＝（m－1）2≥0，∴B≠∅.

∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．

①若B＝{－1}，则m＝1；

②若B＝{－2}，则应有

－（m＋1）＝（－2）＋（－2）＝－4，

且m＝（－2）·（－2）＝4，这两式不能同时成立，

∴B≠{－2}；

③若B＝{－1，－2}，则应有－（m＋1）＝（－1）＋（－2）＝－3，且m＝（－1）·（－2）＝2，由这两式得m＝2.

经检验知m＝1和m＝2符合条件，

∴m＝1或2.

【答案】　1或2

【总结反思】

（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

（2）已知集合的运算结果求参数，要注意分类讨论思想的灵活应用.

（1）（2017·辽宁沈阳质检）设全集U＝R，集合A＝{x|y＝lgx}，B＝{－1,1}，则下列结论正确的是（　　）

A．A∩B＝{－1}

B．（∁RA）∪B＝（－∞，0）

C．A∪B＝（0，＋∞）

D．（∁RA）∩B＝