中考备战数学专题复习精品资料第九讲《分式方程》含详细参考答案和教师用书.docx

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中考备战数学专题复习精品资料第九讲《分式方程》含详细参考答案和教师用书

♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦

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2019年中考备战数学专题复习精品资料

第二章方程与不等式

第九讲分式方程

★★★核心知识回顾★★★

知识点一、分式方程及其解法

1．分式方程：

分母中含有的方程叫做分式方程；

2．分式方程的解法：

（1）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程。

（2）解分式方程的一般步骤：

第一步：

，将分式方程转化为整式方程；

第二步：

解整式方程；

第三步：

．

◆◆◆名师提醒◆◆◆

（1）分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据；

（2）解分式方程去分母时，不要漏乘常数项；去括号时，括号前面是负号时，括号内要变号；解得整式方程的根后，要代入原分式方程或最简公分母检验。

（3）增根：

在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根，称为方程的增根。

因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。

（4）产生增根的原因：

将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为的因式。

◆◆◆名师提醒◆◆◆

（1）分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不要省略；

（2）分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。

如：

有增根，则a=；若该方程无解，则a=。

解法如下：

方程两边都乘x（x-1），得到x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），化简得：

（a+2）x=3．

x=1为原方程的增根，

将x=1代入（a+2）x=3，

则有a+2=3，

解得a=1．

所以原方程有增根，则a=1.

当a=-2时，整式方程无解．

综上所述，当a=1或a=-2时，原方程无解．

知识点三、分式方程的应用

列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答六步进行。

◆◆◆名师提醒◆◆◆

（1）解分式方程应用题验根时，既要检验是否为原方程的根，还要检验是否使实际问题有意义；

（2）分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型。

★★★中考典例剖析★★★

考点一：

分式方程的解

例1（2018•株洲）关于x的分式方程

解为x=4，则常数a的值为（　　）

A．a=1B．a=2C．a=4D．a=10

【思路分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得a=10．

【解答】解：

把x=4代入方程

，得

，

解得a=10．

故选：

D．

【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．

跟踪训练

1．（2018•张家界）若关于x的分式方程

的解为x=2，则m的值为（　　）

A．5B．4C．3D．2

考点二：

解分式方程

例2（2018•广西）解分式方程：

．

【思路分析】根据解分式方程的步骤：

①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论依次计算可得．

【解答】解：

两边都乘以3（x-1），得：

3x-3（x-1）=2x，

解得：

x=1.5，

检验：

x=1.5时，3（x-1）=1.5≠0，

所以分式方程的解为x=1.5．

【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：

①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．

♥♥♥思维升华♥♥♥

解分式方程时，一定要把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则是分式方程的解；若最简公分母等于0，则不是分式方程的解。

跟踪训练

2．（2018•大庆）解方程：

．

考点三：

由分式方程解的情况求参数的值或取值范围

例3（2018•重庆）若数a使关于x的不等式组

，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程

有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（　　）

A．-10B．-12C．-16D．-18

【思路分析】根据不等式的解集，可得a的范围，根据方程的解，可得a的值，根据有理数的加法，可得答案．

【解答】解：

，

解①得x≥-3，

解②得x≤

，

不等式组的解集是-3≤x≤

．

∵仅有三个整数解，

∴-1≤

＜0

∴-8≤a＜-3，

由

得：

3y-a-12=y-2．

∴y=

，

∵y≠2，

∴a≠-6，

又y=

有整数解，

∴a=-8或-4，

所有满足条件的整数a的值之和是（-8）+（-4）=-12，

故选：

B．

【点评】本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键．

例4．（2018•眉山）已知关于x的分式方程

有一个正数解，则k的取值范围为．

【思路分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．

【解答】解：

，

方程两边都乘以（x-3），得

x=2（x-3）+k，

解得x=6-k≠3，

关于x的方程程

有一个正数解，

∴x=6-k＞0，

k＜6，且k≠3，

∴k的取值范围是k＜6且k≠3．

故答案为：

k＜6且k≠3．

【点评】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键．

●●●触雷警示●●●

分式方程无解的原因

分式方程无解的原因有两种：

一是去分母后整式方程无解；

二是整式方程的解使得最简公分母为0。

在解答此问题时，一定要考虑全面，切勿漏解。

跟踪训练

3．（2018•达州）若关于x的分式方程

无解，则a的值为．

4．（2018•黑龙江）已知关于x的分式方程

的解是负数，则m的取值范围是（　　）

A．m≤3B．m≤3且m≠2C．m＜3D．m＜3且m≠2

考点四、由实际问题抽象出分式方程

例5（2018•昆明）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（　　）

A．

B．

C．

D．

【思路分析】直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．

【解答】解：

设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：

．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．

由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

♥♥♥思维升华♥♥♥

由实际问题抽象出分式方程，解答此类问题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，设出未知数，列出方程。

跟踪训练

5．（2018•通辽）学校为创建“书香校园”，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？

若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点五：

分式方程的应用

例6（2018•云南）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？

【思路分析】设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，根据工作时间=总工作量÷工作效率结合甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【解答】解：

设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，

根据题意得：

，

解得：

x=50，

经检验，x=50是分式方程的解．

答：

乙工程队每小时能完成50平方米的绿化面积．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

♥♥♥思维升华♥♥♥

在利用分式方程解实际问题时，必须进行“双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义。

【跟踪训练】

6．（2018•包头）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．

（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？

（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？

☀☀☀感悟中考☀☀☀

分析课程标准和近五年的中考试题，可以发现中考命题主要集中在：

解分式方程、根据实际问题列分式方程和分式方程的应用，题型一般为选择题和填空题，通过近五年考题的规律，可以预测2019年中考试题中，解分式方程、根据实际问题列分式方程和分式方程的应用仍会作为重点进行考查。

★★★真题达标演练★★★

一、选择题

1．（2018•太和县模拟）已知x=1是关于x的方程

的解，则m的值为（　　）

A．-1B．2C．4D．

2．（2018•荆州）解分式方程

时，去分母可得（　　）

A．1-3（x-2）=4B．1-3（x-2）=-4

C．-1-3（2-x）=-4D．1-3（2-x）=4

3．（2018•成都）分式方程

的解是（　　）

A．x=1B．x=-1C．x=3D．x=-3

4．（2018•巴中）若分式方程

有增根，则实数a的取值是（　　）

A．0或2B．4C．8D．4或8

5．（2018•兰州）关于x的分式方程

的解为负数，则a的取值范围是（　　）

A．a＞1B．a＜1C．a＜1且a≠-2D．a＞1且a≠2

6．（2018•临沂）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元？

设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

7．（2018•重庆）若数a使关于x的不等式组

有且只有四个整数解，且使关于y的方程

的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（　　）

A．-3B．-2C．1D．2

8．（2018•南岸区模拟）若关于x的不等式组

有解，且关于x的分式方程

的解为整数，则满足条件的整数a的值的和是（　　）

A．-6B．-1C．-3D．-4

二、填空题

9．（2018•铜仁市）分式方程

的解是x=．

10．（2018•常德）分式方程

的解为x=．

11．（2018•遂宁）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程．

12．（2018•宿迁）为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计