（2）函数f（x）＝
在定义域上是__________函数．（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）
答案：
奇
解析：
当x>1时，－x<－1，所以f（－x）＝（－x）2－2＝－（－x2＋2）＝－f（x）；
当x<－1时，－x>1，所以f（－x）＝－（－x）2＋2＝－（x2－2）＝－f（x）；
当|x|≤1时，f（－x）＝0＝－f（x）．
综上可知f（x）是奇函数．
[典题1] 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝xlg（x＋
）；
（2）f（x）＝（1－x）
；
（3）f（x）＝
（4）f（x）＝
.
[解]
（1）∵
＞|x|≥0，
∴函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，
又f（－x）＝（－x）lg[－x＋
]
＝－xlg（
－x）＝xlg（
＋x）＝f（x）．
即f（－x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．
（2）当且仅当
≥0时函数有意义，
∴－1≤x＜1，
由于定义域关于原点不对称，
∴函数f（x）是非奇非偶函数．
（3）函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝x2－2x－1＝－f（x），
当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝－x2－2x＋1＝－f（x）．
∴f（－x）＝－f（x），即函数是奇函数．
（4）∵
⇒－2≤x≤2且x≠0，
∴函数的定义域关于原点对称．
∴f（x）＝
＝
，
又f（－x）＝
＝－
，
∴f（－x）＝－f（x），即函数是奇函数．
[点石成金] 判定函数奇偶性的三种常用方法
（1）定义法：
（2）图象法：
（3）性质法：
①设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
[提醒]
（1）“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
（2）判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f（－x）与f（x）的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．
考点2 函数的周期性
函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有________，那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．
（2）最小正周期：
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个________的正数，那么这个________就叫做f（x）的最小正周期．
答案：
（1）f（x＋T）＝f（x）
（2）最小 最小正数
（1）[教材习题改编]已知函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），当x∈（0,1]时，f（x）＝log4（x2＋3），则f（2017）＝__________.
答案：
1
解析：
因为f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是以2为周期的周期函数，所以f（2017）＝f（1008×2＋1）＝f
（1）＝log4（12＋3）＝1.
（2）[教材习题改编]设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1－x），则f
＝________.
答案：
－
周期性三个常用结论．
对f（x）定义域内任一自变量的值x，最小正周期为T.
（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝__________；
（2）若f（x＋a）＝
，则T＝__________；
（3）若f（x＋a）＝f（x＋b），则T＝________.
答案：
（1）2|a|
（2）2|a| （3）|a－b|
解析：
（1）因为f（x＋2a）＝f（x＋a＋a）
＝－f（x＋a）＝f（x），
所以其最小正周期T＝2|a|.
（2）因为f（x＋2a）＝f（x＋a＋a）
＝
＝f（x），
所以其最小正周期T＝2|a|.
（3）f（x＋a－b）＝f[（x－b）＋a]
＝f[（x－b）＋b]＝f（x），
所以其最小正周期T＝|a－b|.
[典题2]
（1）[2017·山西晋中模拟]已知f（x）是R上的奇函数，f
（1）＝2，且对任意x∈R都有f（x＋6）＝f（x）＋f（3）成立，则f（2017）＝________.
[答案] 2
[解析] ∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，
又对任意x∈R都有f（x＋6）＝f（x）＋f（3），
∴当x＝－3时，有f（3）＝f（－3）＋f（3）＝0，
∴f（－3）＝0，f（3）＝0，
∴f（x＋6）＝f（x），周期为6.
故f（2017）＝f
（1）＝2.
（2）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）．当x∈[0,2]时，f（x）＝2x－x2.
①求函数的最小正周期；
②计算f（0）＋f
（1）＋f
（2）＋…＋f（2015）．
[解] ①∵f（x＋2）＝－f（x），
∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）．
∴f（x）的最小正周期为4.
②f（0）＝0，f
（1）＝1，f
（2）＝0，
f（3）＝f（－1）＝－f
（1）＝－1.
又∵f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（0）＋f
（1）＋f
（2）＋f（3）＝f（4）＋f（5）＋f（6）＋f（7）＝…＝f（2012）＋f（2013）＋f（2014）＋f（2015）＝0，
∴f（0）＋f
（1）＋f
（2）＋…＋f（2015）＝0.
[题点发散1] 若本例
（2）中条件变为“f（x＋2）＝－
”，求函数f（x）的最小正周期．
解：
∵对任意x∈R，都有f（x＋2）＝－
，
∴f（x＋4）＝f（x＋2＋2）＝－
＝－
＝f（x），∴f（x）的最小正周期为4.
[题点发散2] 若本例
（2）中条件改为：
定义在R上的函数f（x）满足f（x＋6）＝f（x），当－3≤x<－1时，f（x）＝－（x＋2）2；当－1≤x<3时，f（x）＝x.求f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（2015）的值．
解：
∵f（x＋6）＝f（x），∴T＝6.
∵当－3≤x<－1时，f（x）＝－（x＋2）2；
当－1≤x<3时，f（x）＝x.
∴f
（1）＝1，f
（2）＝2，f（3）＝f（－3）＝－1，
f（4）＝f（－2）＝0，f（5）＝f（－1）＝－1，
f（6）＝f（0）＝0，
∴f
（1）＋f
（2）＋…＋f（6）＝1，
∴f
（1）＋f
（2）＋…＋f（6）＝f（7）＋f（8）＋…＋f（12）＝…＝f（2005）＋f（2006）＋…＋f（2010）＝1，
∴f
（1）＋f
（2）＋…＋f（2010）＝1×
＝335.
而f（2011）＋f（2012）＋f（2013）＋f（2014）＋f（2015）＝f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＝1＋2－1＋0－1＝1.
∴f
（1）＋f
（2）＋…＋f（2015）＝335＋1＝336.
[题点发散3] 在本例
（2）条件下，求f（x）（x∈[2,4]）的解析式．
解：
当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，
由已知得f（－x）＝2×（－x）－（－x）2＝－2x－x2，
又f（x）是奇函数，
∴f（－x）＝－f（x）＝－2x－x2.
∴f（x）＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）．
又f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（x）＝f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）＝x2－6x＋8.
故x∈[2,4]时，f（x）＝x2－6x＋8.
[点石成金] 1.判断函数周期性的两种方法
（1）定义法．
（2）图象法．
2．判断函数周期性的三个常用结论
若对于函数f（x）定义域内的任意一个x都有：
（1）f（x＋a）＝－f（x）（a≠0），则函数f（x）必为周期函数，2a是它的一个周期．
（2）f（x＋a）＝
（a≠0），则函数f（x）必为周期函数，2a是它的一个周期．
（3）f（x＋a）＝－
（a≠0），则函数f（x）必为周期函数，2a是它的一个周期．
3．函数周期性的重要应用
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.
1.已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为（ ）
A．6B．7
C．8D．9
答案：
B
解析：
∵f（x）是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f（x）＝x3－x＝x（x－1）（x＋1），
∴当0≤x<2时，f（x）＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.
由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f（x）＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；
当4≤x≤6时，f（x）＝0有两个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6也是f（x）＝0的根．
故函数f（x）的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7.
2．[2017·广东广州模拟]已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋2）＝－f（x），当2≤x≤3时，f（x）＝x，则f（105.5）＝________.
答案：
2.5
解析：
由f（x＋2）＝－f（x），得f（x＋4）＝f（（x＋2）＋2）＝－f（x＋2）＝－[－f（x）]＝f（x），所以函数f（x）的周期为4，所以f（105.5）＝f（4×27－2.5）＝f（－2.5）＝f（2.5）＝2.5.
考点3 函数性质的综合应用
（1）[教材习题改编]若f（x）是偶函数且在（0，＋∞）上为增函数，则函数f（x）在（－∞，0）上为________．
答案：
减函数
（2）[教材习题改编]设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝lgx，则满足f（x）>0的x的取值范围是________．
答案：
（－1,0）∪（1，＋∞）
[考情聚焦] 高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合来命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题．
主要有以下几个命题角度：
角度一
奇偶性的应用
[典题3]
（1）[2017·河北武邑中学高三上期中]已知f（x）满足对∀x∈R，f（－x）＋f（x）＝0，且x≥0时，f（x）＝ex＋m（m为常数），则f（－ln5）的值为（ ）
A．4B．－4
C．6D．－6
升级会员 