整数奇偶性习题 含答案.docx

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整数奇偶性习题含答案

习题一

　　1．选择题

（1）若n是大于1的整数，则p=n+（n2-1）

的值

　　（A）一定是偶数．　　　（B）一定是奇数．

　　（C）是偶数但不是2．　（D）可以是偶数也可以是奇数．

　　（1985年全国初中数学联赛题）

（2）设二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p，q都是奇数那么它的根一定是

　　（A）奇数．　　（B）偶数．　　（C）分数．　　（D）无理数．

　　（1983年上海市初中数学竞赛题）

（3）如果n是正整数，那么

[1-（-1）n]（n2-1）的值

　　（A）一定是零．　　　　　　　　（B）一定是偶数．

　　（C）是整数但不一定是偶数．　　（D）不一定是整数．

（1984年全国高考题）

　　（4）满足等式1983=1982x-1981y的一组自然数是

　　（A）x=12785，y=12768．　　（B）x=12784，y=12770．

　　（C）x=11888，y=11893．　　（D）x=1947，y=1945．

（1983年福建省初中数学竞赛题）

　　（5）若7个连续偶数之和为1988，则此7个数中最大的一个是

　　（A）286．（B）288．　　（C）290．（D）292．

（1987年全国部分省市初中数学通讯赛题）

　　　　（6）已知n是偶数，m是奇数，方程组

的解

是整数，则

（A）p，q都是偶数．　　（B）p，q都是奇数．

　　（C）p是偶数，q是奇数．（D）p是奇数，q是偶数．

　　（1989年“祖冲之杯”初中数学邀请赛题）

　　（7）如果方程x2+（4n+1）x+2n=0（n为整数）有两个整数根，那么这两个根是

　　（A）都是奇数．（B）都是偶数．　（C）一奇一偶．（D）无法判断．

　　（1985年成都市初中数学竞赛题）

　　（8）设a，b都是整数，给出四个命题：

　　（i）若a+5b是偶数，则a-3b也是偶数；

　　（ii）若a+b能被3整除，则a，b都能被3整除；

　　（iii）若a+b是素数，则a-b一定不是素数；

（iv）若c=a+b≠0，则

．

　　上述命题中是正确命题的个数是

　　（A）1个．（B）2个．（C）3个．（D）4个．

（第二届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题）

　　（9）六个奇数，它们的和是42，它们的平方和只可能是

　　（A）280．　　（B）368．　　（C）382．　　（D）423．

（1990年南昌市初中数学竞赛题）

　　（10）自然数1，2，3，…，1989之和为一个奇数，若将前t个数添上“-”号，则这1989个数的和

　　（A）总是奇数．　（B）总是偶数．

　　（C）t为奇数时其和为整数．　　（D）奇偶性不能确定．

（第6届缙云杯数学邀请赛题）

　　（11）设u=x2+y2+z2，其中x，y是相邻的整数，且z=xy，则

　　（A）总为奇数．　　（B）总为偶数．

　　（C）有时为偶数，有时为奇数．　　（D）总为无理数．

（第6届缙云杯数学邀请赛题）

　　（12）设a为任一给定的正整数，则关于x与y的方程x2-y2=a2

　　（A）没有正整数解．　　（B）只有正整数解．

　　（C）仅当a为偶数时才有整数解．　　（D）总有整数解．

（1988年江苏省初中数学竞赛题）

　　（13）将正奇数1，3，5，7，…依次排成五列，如下表所示．把最左边的一列叫做第1列，从左到右依次将每列编号．这样，数“1985”出现在

　　（A）第1列．（B）第2列．（C）第3列．（D）第4列．（E）第5列．

（1985年第36届美国中学生数学竞赛题）

　　2．扑克牌中的A，J，Q，K分别表示1，11，12，13．甲取13张红桃，乙取13张黑桃，分别洗和后，甲、乙依次各出一张牌，使红、黑牌配成13对，求证：

这13对的差的积必为偶数．（1987年天津市初二数学竞赛题）

　　3．求证：

1986不能等于任何一个整数系数二次方程ax2+bx+c=0的判别式的值．（1985年苏州市初中数学竞赛题）

　　4．设有n个实数x1，x2，…，xn，其中每一个不是+1就是-1，且

+

+…+

＋

=0，求证：

n是4的倍数．（1985合肥市初中数学竞赛题）

　　5．把n2个互不相等的实数排成下表：

a11，a12，…，a1n，

a21，a22，…，a2n，

……

an1，an2，…，ann．

　　取每行的最大数得n个数，其中最小的一个是x；再取每列的最小值，又得n个数，其中最大的一个是y，试比较xn与yn的大小．（1982年上海市高中数学竞赛题）

　　6．把1980分解成连续整数之和．（1980年长沙市高中数学竞赛题）

　　7．求证：

当n为自然数时，2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差．（1990年西安市初中数学竞赛题）

　　8．设n是正的偶数，试问下列诸数：

　　1×（n-1），2×（n-2），…，（n-1）×1

　　中哪个数最大？

为什么？

（1989年浙江省初二数学竞赛题）

　　9．有一无穷小数A=0.a1a2a3…anan+1an+2…，其中ak（k=1，2，…）是0，1，2，…，9中的一个数，且a1为奇数，a2为偶数，a3等于a1+a2的个位数，a4等于a2+a3的个位数，…，an+2等于an+an+1的个位数．求证：

A是一个循环小数．（1991年浙江省初中数学竞赛题）

　　10．在99张卡片上分别写着数字1，2，3，…，99，现将卡片顺序打乱，让空白面朝上，再在空白面上分别写上1，2，3，…，99，然后将每一张卡片两个面上的数字相加，再将这99个和数相乘，问这个乘积是奇数还是偶数？

说明理由．（1991年浙江省初中数学竞赛题）

　　11．桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中的一枚，按这样的方法翻动硬币，问能否使桌上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上？

说明你的理由．（1992年浙江省初中数学竞赛题）

　　12．求证：

不存在两个连续的奇数，每个都可写成两个整数的平方和．

　　13．已知一个整数n，当它减去48所得的差是一个整数的平方，当它加上41所得的和是另一个整数的平方，求n．（1984年苏州市高中数学竞赛题）

　　14．给定自然数a，b，求证：

（1）如果ab是偶数，那么一定可以找到两个自然数c和d，使得a2+b2+c2=d2；

（2）如果ab是奇数，那么满足a2+b2+c2=d2的自然数c和d一定不存在．（1980年北京市初中数学竞赛题）

　　15．平面上的任意五个格点，若任何三点都不在同一条直线上，求证：

以其中三点为顶点的所有三角形中，至少有一个面积为整数．

　　16．设数列{an}：

1，9，8，5，…，其中ai+4是ai+ai+3的个位数字（i=1，2，…），求证：

是4的倍数．

　　17．存在多少个不同的七位数字，其数字和为偶数．

　　18．设a，b是正整数，求证：

仅有有限个正整数n存在，使得

是整数．（1992澳大利亚数学竞赛题）

　　19．设a，b，c是奇自然数，求证：

方程ax2+bx+c=0没有形如

的解，其中p，q是整数．（1991澳大利亚数学通讯赛题）

　　20．求满足|12m-5n|=7的全部正整数解．（第30届加拿大IMO训练题）

　　21．求证：

x2+y2=1983没有整数解．

　　22．求证：

方程2x2-5y2=7没有整数解．

　　23．是否有整数m，n使得5m2-6mn+7n2=1987？

　　24．求证：

5x+2=17y没有正整数解．

　　25．求证：

四个正整数之和为13时，它们的立方和不可能是120．你能否把这个命题推广到一般的情形？

请证明你的结论．

　　26．一张8×8的方格纸，任意把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂成白色，接着对涂了色的方格纸进行“操作”，每次操作把任意横行或者竖列上每个方格同时变换颜色，问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？

　　27．用0至9十个不同数字，组成一个能被11整除的最大十位数．

　　28．在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形的顶点之间，用线段连结起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只有三角形的小块．求证：

这种小三角形的个数与n的奇偶性相同．

　　29．在1，2，3，…，1989之间填上“+、-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？

（第15届全俄中学生数学竞赛题）

　　30．三个质数之积恰好等于它们和的7倍，求这三个质数．

　　31．置于暗室的一只抽屉内装有100只红袜子，80只绿袜子，60只蓝袜子，40只黑袜子，一个人从抽屉中选取袜子，但他无法看清所取袜子的颜色．为确保取出的袜子至少有10双（一双袜子是指两只相同颜色的袜子，但每只袜子只能一次用在一双中），问至少需取多少只袜子？

（第37届美国中学生数学竞赛题）

　　32．如图表示64间陈列室，凡邻室皆有门相通，一人从A进，从B出，但要求每室都到且只到一次，问这种路线是否存在？

　　33．求证：

不存在三阶幻体．即将数1，2，…，27填入3×3×3的立方体中，不可能使所有“共线”的三数之和均相等．

　　34．设a，b是自然数，且有关系式123456789=（11111+a）（11111-b），求证：

a-b是4的倍数．（1990年日本高考数学题）

　　35．求证：

方程x2+4xy+4y2+6x+12y=1986无整数解．

　　36．已知多项式x3+bx2+cx+d的系数都是整数，并且bd+cd是奇数，求证：

这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积．（1963年北京市中学数学竞赛题）

　　37．求证：

x4+1980x2+2000x+1990不可能分解成两个整系数二次三项式之积．

　　38．设有7个3的不同方幂：

，

，…，

，（xi≥0，i=1，2，…，7）．求证：

可以从中找到四个数，它们的积等于某整数的四次方．

　　39．求出所有的正整数m，n，使得（m+n）m=nm+1413．

（1987年第2届东北三省数学邀请赛题）

　　40．给定关于x，y的方程组

　　（其中a，b是整数）．

　　求证：

如果这个方程组有一组有理数解，那么这组有理数一定是整数．

　　41．求证：

勾股三角形（即边长为整数的直角三角形）的两条直角边长不可能是两个差为2的质数．

　　42．设n为大于2的整数，求证，可以找到一个整数边长的直角三角形，它的一条边长等于n．

　　43．设a，b，c为三个偶数，且a>b>c>0，它们的最小公倍数为1988．当a在它可取值的范围内取最小的一个时，试确定a，b，c可能组成的数组．（1988年天府杯初中数学竞赛题）

　　44．设有101个自然数，记为a1，a2，…，a101，已知a1+2a2+3a3+…+100a100+101a101=S是偶数，求证：

a1+a3+…+a99+a101是偶数．

　　45．设n为正整数，k为大于1的正整数，求证：

nk是n个连续奇数之和．

　　46．设a，b，c为正整数，n为正奇数．如果a+b+c可被6整除，求证：

an+bn+cn可被6整除．

　　47．求证：

任何形如2n的正整数，都不可能表示为两个或两个以上的连续整数之和，而其他形式的正整数都可以表示为这样的和．

　　48．设a，b，c，d都是奇数，0

a=1．（第25届IMO试题）

　　49．设点O在凸1000边形A1A2…A1000内部，用整数1，2，…，1000把1000边形的各边任意编号，用同样的整数把线段OA1，OA2，…，OA1000任意编号．问能否找到这样一种编号法，使△A1OA2，△A2OA3，…，△A1000OA1各边