届湖南师大附中高三高考模拟卷二 数学理Word版含答案.docx
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届湖南师大附中高三高考模拟卷二数学理Word版含答案
湖南师大附中2019届高考模拟卷
（二）
数 学（理科）
时量：
120分钟 满分：
150分
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则（C）
A．M＝NB．MNC．NMD．M∩N＝
2．若复数z＝（1－ai）（a＋2i）在复平面内对应的点在第一象限，其中a∈R，i为虚数单位，则实数a取值范围是（A）
A．（0，）B．（，＋∞）C．（－∞，－）D．（－，0）
3．如果等差数列a1，a2，…，a8的各项都大于零，公差d≠0，则（B）
A．a1＋a8＞a4＋a5B．a1a8＜a4a5C．a1＋a8＜a4＋a5D．a1a8＞a4a5
B.
4．若函数y＝cos（ω∈N*）图象的一个对称中心是，则ω的最小值为（B）
A．1B．2C．4D．8
B
5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为（A）
A．100
B．1000
C．90
D．900
A100.
6．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形的边长为1），则该几何体的体积为（B）
A.B.C.D.
7．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（D）
A.B.C.D.
8.下列图象可以作为函数f（x）＝的图象有（C）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．已知点集M＝，则平面直角坐标系中区域M的面积是（D）
A．1B．3＋C．πD．2＋
当xy>0时，对不等式两边平方整理得到x2＋y2≤1，所以区域M如下图．
易知其面积为2＋.
10．已知向量a＝，b＝（0，5）的起点均为原点，而终点依次对应点A，B，线段AB边上的点P，若⊥，＝xa＋yb，则x，y的值分别为（C）
A.，B.，－C.，D．－，
11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＝＝，＝1，而对角线A1B上存在一点P，使得＋取得最小值，则此最小值为（D）
A．2
B．3
C．1＋
D.
12．已知a>0，函数f（x）＝ex－a－ln（x＋a）－1（x>0）的最小值为0，则实数a的取值范围是（C）
A.B.C.D．
二、填空题：
本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．
13．定积分（ex－e－x）dx＝__0__．
14．（x－y）（x＋y）8的展开式中x2y7的系数为__－20__．（用数字填写答案）
15．已知椭圆C1：
＋＝1（a>b>0）与双曲线C2：
x2－y2＝4有相同的右焦点F2，点P是椭圆C1和双曲线C2的一个公共点，若＝2，则椭圆C1的离心率为____．
16．已知数列，均为等差数列，且a1b1＝m，a2b2＝4，a3b3＝8，a4b4＝16，则m＝__4__.
三、解答题：
共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：
共60分．
17．（本题满分12分）
已知在△ABC中，D，E分别为边AB，BC的中点，2·＝·，
（1）若2·＝·，且△ABC的面积为3，求边AC的长；
（2）若BC＝，求线段AE长的最大值．
【解析】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由2·＝·，得2bccosA＝bc，所以cosA＝，
又A∈（0，π），因此A＝.2分
（1）由2·＝·，即2·＝·（＋），得3bc＝c2，即3b＝c.
又因为S△ABC＝bcsinA＝b2＝3，所以b＝2，即边AC的长为2.7分
（2）因为E为边BC的中点，所以＝（＋），
即2＝（＋）2＝（b2＋c2＋bc），9分
又因为BC＝，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cosA，即b2＋c2＝a2＋bc＝3＋bc≥2bc，即bc≤3，所以2＝（3＋2bc）≤，≤，当且仅当b＝c时取等号，所以线段AE长的最大值为.12分
18．（本题满分12分）
如图1，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，E为CD上一点，F为BE的中点，且DE＝1，EC＝2，现将梯形沿BE折叠（如图2），使平面BCE⊥平面ABED.
（1）求证：
平面ACE⊥平面BCE；
（2）能否在边AB上找到一点P（端点除外）使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为？
若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．
【解析】
（1）在直角梯形ABCD中，作于DM⊥BC于M，连接AE，
则CM＝2－1＝1，CD＝DE＋CE＝1＋2＝3，
则DM＝AB＝2，cosC＝，2分
则BE＝＝，sin∠CDM＝，
则AE＝＝，
∴AE2＋BE2＝AB2，4分
故AE⊥BE，且折叠后AE与BE位置关系不变，
又∵平面BCE⊥平面ABED，且平面BCE∩平面ABED＝BE，
∴AE⊥平面BCE，∵AE平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCE.6分
（2）∵在△BCE中，BC＝CE＝2，F为BE的中点，∴CF⊥BE.
又∵平面BCE⊥平面ABED，且平面BCE∩平面ABED＝BE，
∴CF⊥平面ABED，7分
故可以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，C，E，
易求得平面ACE的法向量为m＝（0，－，1）．
假设在AB上存在一点P使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为，且＝λ，（λ∈R），
∵B，
∴＝，
故＝，
又＝，
∴＝，
又＝，
设平面PCF的法向量为n＝（x，y，z），∴
令x＝2λ－1得n＝（2λ－1，（λ－1），0），
∴|cosm，n|＝＝，11分
解得λ＝，因此存在点P且P为线段AB中点时使得平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为.12分
19．（本题满分12分）
近期，某市公交公司推出扫码支付1分钱乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.629路公交车统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：
十人次），统计数据如表1所示：
表1：
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据，绘制了散点图．
（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a＋bx与y＝c·dx（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据
（1）的判断结果及表1中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下
支付方式
现金
乘车卡
扫码
比例
10%
60%
30%
车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受7折优惠，有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n（n∈N*）年才能开始盈利，求n的值．
参考数据：
xiyi
xivi
100.54
62.14
1.54
2535
50.12
3.47
其中vi＝lgyi，＝i.
参考公式：
对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝＝0.25，5分
把样本中心点（4，1.54）代入v＝lgc＋lgd·x，得lgc＝0.54，
∴＝0.54＋0.25x，∴lg＝0.54＋0.25x，6分
∴y关于x的回归方程式：
＝100.54＋0.25x＝100.54（100.25）x＝3.47（100.25）x，
把x＝8代入上式：
∴＝100.54＋0.25×8＝102.54＝102×100.54＝347，
所以活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470.7分
（3）记一名乘客乘车支付的费用为Z，则Z的取值可能为：
2，1.8，1.6，1.4，
P（Z＝2）＝0.1，P（Z＝1.8）＝0.3×＝0.15，
P（Z＝1.6）＝0.6＋0.3×＝0.7，P（Z＝1.4）＝0.3×＝0.05，
所以一名乘客一次乘车的平均费用为：
2×0.1＋1.8×0.5＋1.6×0.7＋1.4×0.05＝1.66（元），10分
由题意可知：
1.66×1×12·n－0.66×12·n－80>0，n>，
所以n取7，估计这批车大概需要7年才能开始盈利.12分
20．（本题满分12分）
已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的离心率e＝，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x＋y－2＝0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同的交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？
若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【解析】
（1）由椭圆的离心率e＝，得＝＝，得b＝c.
上顶点为（0，b），右焦点为（b，0），
以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为＋＝＝，
∴＝b，即|b－2|＝b，得b＝c＝1，a＝，
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.5分
（2）椭圆C上不存在这样的点Q，理由如下：
设直线的方程为y＝2x＋t，
设M（x1，y1），N（x2，y2），P，Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），
由消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，
所以y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36（t2－8）＞0，7分
故y0＝＝，且－3＜t＜3.
由＝，得＝（x4－x2，y4－y2），
所以有y1－＝y4－y2，y4＝y1＋y2－＝t－.9分
（也可由＝知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，所以y0＝＝，可得y4＝.）
又－3＜t＜3，所以－＜y4＜－1，11分
与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾．故椭圆C上不存在这样的点Q.12分
21．（本题满分12分）
已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝ex.
（1）设函数h（x）＝f（x）＋x2＋ax（a∈R），讨论h（x）的极值点个数；
（2）设直线l为函数f（x）的图象上一点A（x0，f（x0））处的切线，试探究：
在区间（1，＋∞）上是否存在唯一的x0，使得直线l与曲线y＝g（x）相切．
【解析】由题意得h′（x）＝＋x＋a＝（x>0），令Δ＝a2－4，1分
①当Δ＝a2－4≤0即－2≤a≤2时，h′（x）＝≥0在x∈（0，＋∞）上恒成立，
此时h（x）在x∈（0，＋∞）上单调递增，极值点个数为0；2分
②当a>2时，h′（x）＝≥0在x∈（0，＋∞）上恒成立，
此时h（x）在x∈（0，＋∞）上单调递增，极值点个数为0；3分
③当a<－2时，Δ>0，设x1，
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