高三数学试题精选届高考数学简单几何体复习题011.docx

高三数学试题精选届高考数学简单几何体复习题011.docx

《高三数学试题精选届高考数学简单几何体复习题011.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学试题精选届高考数学简单几何体复习题011.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高三数学试题精选届高考数学简单几何体复习题011

2018届高考数学简单几何体复习题011

5第九直线、平面、简单几何体（B）综合能力测试

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）

1．（2018上海市普通高等学校春季招生考试）在空间中，“两条直线没有共点”是“这两条直线平行”的（）

A．充分不必要条B．必要不充分条

c．充要条D．既不充分也不必要条

答案B

解析在空间中，两条直线没有共点，这两条直线可能是异面直线，即由“两条直线没有共点”不能推知“这两条直线平行”；反过，由“两条直线平行”可知“这两条直线没有共点”．因此，在空间中，“两条直线没有共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条，选B

2．（2018广东重点中学）已知三条不重合的直线、n、l与两个不重合的平面α、β，有下列命题

①若∥n，nα，则∥α；

②若l⊥α，⊥β且l∥，则α∥β；

③若α，nα，∥β，n∥β，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β＝，nβ，n⊥，则n⊥α

其中正确的命题个数是（）

A．1B．2c．3D．4

答案B

解析对于①，若∥n，nα，则∥α或α，①不正确；对于②，若l⊥α，⊥β且l∥，则α∥β，显然成立；对于③，若α，nα，∥β，n∥β，则α∥β，由面面平行的判定定理知它是不正确的；对于④，若α⊥β，α∩β＝，nβ，n⊥，则n⊥α，由面面垂直的性质定理知它是正确的；综上所述，正确命题的个数为2，故选B

3．（2018东北三省十校一模）三棱锥P－ABc中∠ABc＝90°，PA＝PB＝Pc，则下列说法正确的是（）

A．平面PAc⊥平面ABcB．平面PAB⊥平面PBc

c．PB⊥平面ABcD．Bc⊥平面PAB

答案A

解析如图，因为∠ABc＝90°，PA＝PB＝Pc，所以点P在底面的射影落在△ABc的斜边的中点处，连结B、P，则P⊥B又∵PA＝Pc，所以P⊥Ac，且Ac∩B＝，

所以P⊥平面ABc

又∵P平面PAc，∴平面PAc⊥平面ABc，故选A

4．（2018安徽皖北联考）已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4,4,7，若此三棱锥的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积是（）

A．81πB．36πc814πD．144π

答案A

解析由于三棱锥的三个侧面两两垂直，即可把它补成长方体，其对角线长为9，外接球的半径为92，则球的表面积为81π，故选A

5．在直三棱柱ABc－A1B1c1中，AA1＝AB＝Ac，AB⊥Ac，是cc1的中点，Q是Bc的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线A所成的角等于（）

A．30°B．45°c．60°D．90°

答案D

解析取Ac的中点N，连结AN、QN，

可证

AB⊥AAB∥NQ

A⊥NQ又A⊥A1N

A⊥面A1B1QNPQ面A1B1QNA⊥PQ

故选D

6．正四棱柱ABcD－A1B1c1D1中，对角线BD1＝8，BD1与侧面Bc1所成的角为30°，则BD1和底面ABcD所成的角为（）

A．30°B．60°c．45°D．90°

答案c

解析∵BD1与侧面Bc1所成的角为∠D1Bc1，则∠D1Bc1＝30°

又BD＝8，∴D1c1＝4，∴BD＝42

又D1B与底面ABcD所成的角为∠D1BD，

从而cs∠D1BD＝BDBD1＝22，

∴∠D1BD＝45°

7．已知三棱锥P－ABc的三个侧面与底面全等，且AB＝Ac＝3，Bc＝2则二面角P－Bc－A的大小为（）

Aπ4Bπ3cπ2D2π3

答案c

解析如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，且AB＝Ac＝3，

得PB＝Pc＝3，

PA＝Bc＝2，

取Bc的中点E，连结AE，PE，

则∠AEP即为所求二面角的平面角．

且AE＝EP＝2，

∵AP2＝AE2＋PE2，∴∠AEP＝π2

8．如图，在棱长为3的正方体ABcD－A1B1c1D1中，、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AN的距离是（）

A92B3

c655D．2

答案D

解析设Ac的中点为，N的中点为E，连结AE，作G⊥AE于G，易证G即是点B到平面AN的距离．作出截面图，如图所示，由AA1＝3，A＝322，AE＝922，△AA1E∽△GA，计算得G＝2，故选D

9．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和bAB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是和n若a＞b，则（）

A．θ＞φ，＞n

B．θ＞φ，＜n

c．θ＜φ，＜n

D．θ＜φ，＞n

答案D

解析由题意可得

AB2＝a2＋n2＝b2＋2，a＞b，tanφ＝an，tanθ＝b，

即有＞n，θ＜φ，故选D

10．如图所示，在单位正方体ABcD－A1B1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP＋D1P取得最小值，则此最小值为（）

A．2B2＋62

c．2＋2D2＋2

答案D

解析如图所示，把对角面A1c绕A1B旋转至A1Bc′D1′，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1′，则AD1′＝1＋1－2×1×1×cs135°＝2＋2为所求的最小值．

11．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）

A334B33c34D312

答案c

解析由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为1

∵底面是正三角形且球半径为1

∴底面边长为3，∴底面积为334，

∴V＝13×334×1＝34

12．（2018辽宁省东北育才中学高三模拟）如图在正四棱锥S－ABcD中，E是Bc的中点，P点在侧面△ScD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥Ac，则动点P的轨迹与△ScD组成的相关图形是（）

答案D

解析取cD中点F，Ac⊥EF，又∵SD在面ABcD内的射影为BD且Ac⊥BD，∴Ac⊥SD，取Sc中点Q，∴EQ∥SD，

∴Ac⊥EQ，又Ac⊥EF，∴Ac⊥面EQF，因此点P在FQ上移动时总有Ac⊥EP故选D

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。

）

13．（2018江苏，12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题

（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；

（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

（4）直线l与α垂直的充分必要条是l与α内的两条直线垂直．

上面命题，真命题的序号是________（写出所有真命题的序号）

答案

（1）

（2）

解析由面面平行的判定定理可知，

（1）正确．

由线面平行的判定定理可知，

（2）正确．

对于（3）说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β

对于（4）说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α

也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α

14．如图所示，等边△ABc的边长为4，D为Bc中点，沿AD把△ADc折叠到△ADc′处，使二面角B－AD－c′为60°，则折叠后点A到直线Bc′的距离为________；二面角A－Bc′－D的正切值为________．

答案152

解析如图，作D⊥Bc′于点，连结A，则A为点A到直线Bc′的距离，AD＝23，D＝3，所以A＝AD2＋D2＝15二面角A－Bc′－D的平面角为∠AD，正切值为tan∠AD＝233＝2

15．（2018四川，15）如图所示，已知正三棱柱ABc－A1B1c1的各条棱长都相等，是侧棱cc1的中点，则异面直线AB1和B所成的角的大小是________．

答案90°

解析设棱长为a，补正三棱柱ABc－A2B2c2（如图）．平移AB1至A2B，连结A2，∠BA2即为AB1与B所成的角，在△A2B中，A2B＝2a，

B＝a2＋（a2）2＝52a，

A2＝a2＋（32a）2＝132a，

∴A2B2＋B2＝A22，∴∠BA2＝90°

16．如图，已知球的面上四点A、B、c、D，DA⊥平面ABc，AB⊥Bc，DA＝AB＝Bc＝3，则球的体积等于________．

答案92π

解析△ABc的外接圆的直径为Ac，Ac＝6，由DA⊥面ABc得DA⊥Ac，

∴cD为球的直径，cD＝DA2＋Ac2＝3，

∴球的半径R＝32，

∴V球＝43πR3＝92π

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出字说明、演算步骤或证明过程。

）

17．（本小题满分10分）如图，四棱锥S—ABcD的底面是正方形，SA⊥底面ABcD，E是Sc上一点．

（1）求证平面EBD⊥平面SAc；

（2）假设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；

解析

（1）∵正方形ABcD，∴BD⊥Ac，又∵SA⊥平面ABcD，∴SA⊥BD，则BD⊥平面SAc，又BD平面BED，∴平面BED⊥平面SAc

（2）设Ac∩BD＝，由三垂线定理得BD⊥SA＝12Ac＝122AB＝1222＝2，SA＝4，则S＝SA2＋A2＝16＋2＝32，S△BSD＝12BDS＝122232＝6设A到面BSD的距离为h，则VS－ABD＝VA－BSD，即13S△ABDSA＝13S△BSDh，解得h＝43，即点A到平面SBD的距离为43

18．（本小题满分12分）如图，正四棱柱ABcD－A1B1c1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在c1c上且c1E＝3Ec

（1）证明A1c⊥平面BED；

（2）求二面角A1－DE－B的大小．

解析依题设知AB＝2，cE＝1，

（1）证明连结Ac交BD于点F，则BD⊥Ac

由三垂线定理知，BD⊥A1c

在平面A1cA内，连结EF交A1c于点G，

由于AA1Fc＝AccE＝22，

故Rt△A1Ac∽Rt△FcE，∠AA1c＝∠cFE，∠cFE与∠FcA1互余．

于是A1c⊥EF

A1c与平面BED内两条相交直线BD、EF都垂直．

所以A1c⊥平面BED

（2）作GH⊥DE，垂足为H，连结A1H

由三垂线定理知A1H⊥DE，

故∠A1HG是二面角A1－DE－B的平面角．

EF＝cF2＋cE2＝3，

cG＝cE×cFEF＝23

EG＝cE2－cG2＝33

EGEF＝13，GH＝13×EF×FDDE＝215

又A1c＝AA21＋Ac2＝26，A1G＝A1c－cG＝563，

tan∠A1HG＝A1GHG＝55

所以二面角A1－DE－B的大小为arctan55

19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S－ABcD的底面是直角梯形，∠ABc＝∠BcD＝90°，AB＝Bc＝SB＝Sc＝2cD＝2，侧面SBc⊥底面ABcD

（1）由SA的中点E作底面的垂线EH，试确定垂足H的位置；

（2）求二面角E－Bc－A的大小．

解析

（1）作S⊥Bc于，则S平面SBc，

又面SBc⊥底面ABcD，

面SBc∩面ABcD＝Bc，

∴S⊥底面ABcD①

又S平面SA，∴面SA⊥底面ABcD，

作EH⊥A，∴EH⊥底面ABcD②

即H为垂足，由①②知，EH∥S，

又E为SA的中点，∴H是A的中点．

（2）过H作HF⊥Bc于F，连结EF，

由

（1）知EH⊥平面ABcD，∴EH⊥Bc，

又EH∩HF＝H，∴Bc⊥平面EFH，∴Bc⊥EF，

∴∠HFE为面EBc和底面ABcD所成二面角的平面角．

在等边三角形SBc中，∵S⊥Bc，

∴为Bc中点，又Bc＝2

∴