东北大学离散数学复习总结满分版.docx
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东北大学离散数学复习总结满分版
方法、知识点总结
(知识重点和考题重点)
前三章重点内容(知识重点):
1、蕴含(条件)“→”的真值
P→Q的真值为假,当且仅当P为真,Q为假。
2、重言(永真)蕴涵式证明方法
<1>假设前件为真,推出后件也为真。
<2>假设后件为假,推出前件也为假。
易错
3、等价公式和证明中运用
4、重要公式
重言蕴涵式:
P∧Q=>PorQ
PorQ=>p∨Q
A->B=>(A∧or∨C)->(B∧or∨C)
其他是在此基础上演变
等价公式:
幂等律P∧P=PP∨P=P
吸收律P∧(P∨Q)=PP∨(P∧Q)=P
同一律P∨F=PP∧T=P
P∨T=TP∧F=F
P<->Q=(P->Q)∧(Q->P)=(P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q)
5、范式的写法(最方便就是真值表法)
6、派遣人员、课表安排类算法:
第一步:
列出所有条件,写成符号公式
第二步:
用合取∧连接
第三步:
求上一步中的析取范式即可
7、逻辑推理的写法
直接推理论证:
其中I公式是指重言蕴涵式那部分
其中E公式是指等价公式部分
条件论证:
形如~,~,~=>R->S
RP(附加条件)
......
ST
R->SCP
8、谓词基本内容
注意:
任意
用—>连接
存在
用∧连接
量词的否定公式
量词的辖域扩充公式
量词分配公式
其他公式
9、带量词的公式在论域内的展开
10、量词辖域的扩充公式
11、前束范式的写法
给定一个带有量词的谓词公式,
1)消去公式中的联接词→和←→(为了便于量词辖域的扩充);
2)如果量词前有“﹁”,则用量词否定公式﹁”后移。
再用摩根定律或求公式的否定公式,将“﹁”后移到原子谓词公式之前;
3)用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则对变元换名(为量词辖域扩充作准备);
4)用量词辖域扩充公式提取量词,使之成为前束范式形式。
简要概括:
1、去->,<->2、移﹁
3、换元4、量词辖域扩充
12、谓词演算的推理理论
推理规则:
P、T、CP、US、ES、EG、UG的使用
ESUS去量词
EGUG添量词
★谨记:
ES要在US之前,很重要
添加量词注意事项:
13、集合的幂集(用P表示,也常有花P表示)
A是集合,由A的所有子集构成的集合,称之为A的幂集。
记作P(A)或2的A次方
给定有限集合A,如果|A|=n,则|P(A)|=2的n次方
14、求集合的划分数与等价关系数——相同
15、三种重要集合运算
1、差运算-(相对补集)
2、绝对补集~
3、对称差
前三章重点内容(考题重点):
最常考
内容和方法需要看自己课件,前三章考试内容不多且简单
1、命题符号化(包括第一章简单的命题和第二章谓词的命题)
2、逻辑推理(命题逻辑和谓词逻辑两种推理,每章书最后部分)
3、主析取范式与主合取范式(命题逻辑和谓词逻辑中的两种范式写法)
4、真值的判断
后五章重点内容(知识重点):
1、笛卡尔积
定义:
设A、B是集合,由A的元素为第一元素,B的元素为第二元素组成序偶的集合,称为A和B的笛卡尔积,记作A×B
如果A、B都是有限集,且|A|=m,|B|=n,则|AXB|=mn.
2、域的表示:
定义域dom(关系的第一个元素的范围)
值域Ran(关系的第二个元素的范围)
3、空关系、完全关系、A上的恒等关系IA的定义
空关系只有点,没有一条边。
4、关系的个数
5、对称、反对称、自反、反自反、传递的判定
6、等价关系、等价类
定义:
设R是A上关系,若R是自反的、对称的和传递的,则称R是A中的等价关系
等价关系的个数:
划分数;
由等价关系图求等价类:
R图中每个独立子图上的结点,构成一个等价类。
不同的等价类个数=独立子图个数
7、相容关系、相容类
特点:
自反、对称。
图的简化:
⑴不画环;
⑵两条对称边用一条无向直线代替
相容类:
设r是集合X上的相容关系,CX,如果对于C中任意两个元素x,y有∈r,称C是r的一个相容类
从简化图找最大相容类:
最大相容类的意义是——一个相容类加多一个点就不是相容类了,所以最大相容类可以是多个而不是唯一的“最大”的概念,定义类似极大线性无关组,但元素个数不同
------找最大完全多边形。
最大完全多边形:
含有结点最多的多边形中,每个结点都与其它结点相联结。
通过最大相容类求完全覆盖:
完全覆盖就是指所有最大相容类构成的集合。
8、关系的分类:
偏序关系定义:
R是A上自反、反对称和传递的关系,则称R是A上的偏序关系。
并称是偏序集。
全序关系定义:
是偏序集,任何x,y∈A,如果x与y都是可比较的,则称≤是全序关系(线序、链)。
9、偏序集Hasse图的画法
1).用“。
”表示A中元素。
2).如果x≤y,且x≠y,则结点y要画在结点x的上方。
3).如果x≤y,且y盖住x,x与y之间连一直线。
4).一般先从最下层结点(全是射出的边与之相连(不考虑环)),逐层向上画,直到最上层结点(全是射入的边与之相连)。
(采用抓两头,带中间的方法)
10、重要元素定义(极大小元、最大小元、上下界、最大下界与最小上界)
11、如何求映射是入(单)、满、双射?
第一步:
分别求出定义域和值域
第二步:
比较就出来了,就那么简单
但是要证明的话:
两者结合得:
双射成立
12、复合函数中的重要性质(常考):
f:
X→Y,g:
Y→Z是两个函数,则
⑴如果f和g是满射的,则g。
f也是满射的;
⑵如果f和g是入射的,则g。
f也是入射的;
⑶如果f和g是双射的,则g。
f也是双射的
⑴如果g。
f是满射的,则g是满射的;
⑵如果g。
f是入射的,则f是入射的;
⑶如果g。
f是双射的,则f是入射的和g是满射的
13、函数种类个数的求法
14、逆函数(性质)
设f:
X→Y是双射的函数,fC:
YX也是函数,称之为f的逆函数。
设f:
X→Y是双射的函数,则有
15、第六章基础知识重点
幂等元、幺元e、零元0、逆元的概念
同态同构:
f(x)满射、并且满足
*不是双射就一定复合同构的条件:
必须具有幺元对幺元、零元对零元......
代数系统(重点)
半群:
封闭、可逆独异点:
有幺元
群:
可逆交换群:
可交换
群的特征:
1.消去律2.无零元3.除幺元外无其他幂等元
运算表中:
每个元素在每一行、列必须出现仅出现一次!
16、第七章基础知识重点
格:
是偏序集,如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有最大下界和最小上界,则称是格
平凡格:
所有全序都是格,称之为平凡格。
分配格:
(判定定理)
所有链均为分配格。
设是分配格,对任何a,b,c∈A,如果有a∧b=a∧c及a∨b=a∨c则必有b=c.
有界格:
(判定定理)
有界格定义:
如果一个格存在全上界1与全下界0,则称此格为有界格。
从格的图形看:
全上界1,就是图的最上边元素(只一个)。
全下界0,就是图的最下边元素(只一个)。
有补格:
(判定定理:
根据定义看是不是每个中间元素都有补元)
补元:
设是个有界格,a∈A,如果存在b∈A,使得a∨b=1a∧b=0则称a与b互为补元(其中∨是求最小上界,∧求最大下界)
有补格的定义:
一个有界格中,如果每个元素都有补元,则称之为有补格
布尔格:
如果一个格既是分配格又是有补格,则称之为布尔格。
*重要定理:
在有界分配格中,如果元素有补元,则补元是唯一的。
17、格的同构条件(特别)需同时满足:
钻石定律:
一个布尔代数的所有原子(直接覆盖最小元0的元素)构成的布尔代数一定与元代数同构
18、布尔代数表达式和布尔函数
是布尔代数的形式
含有变元x1,x2,…,xn的布尔表达式记作E(x1,x2,…xn),也可以看成是一个函数f:
Bn→B,称之为布尔函数
布尔表达式的范式的写法(很重要,与第一第二章的方法类似)
19、第八章图论的重要知识点(好多好多的定义自己记吧)
图的同构:
两个图同构的必要条件:
1.结点个数相等.
2.边数相等.
3.度数相同的结点数相等.
4.对应的结点的度数相等.
图的连通:
强连通、单侧连通和弱连通(一般不考)
如果任何两个结点间相互可达,则称G是强连通.如果任何一对结点间,至少有一个结点到另一个结点可达,则称G是单侧连通.如果将G看成无向图后(即把有向边看成无向边)是连通的,则称G是弱连通
强分图、单侧分图和弱分图
在简单有向图中,具有强连通的最大子图,称为强分图.
具有单侧连通的最大子图,称为单侧分图.
具有弱连通的最大子图,称为弱分图.
图的矩阵表示和写法(前两个有点重要):
1、邻接矩阵
每一行的1:
在无向图中代表一条线
有向图中代表—>出线
列中的1代表<—入线
2、可达性矩阵
3、完全关系矩阵
图中结点的度与个数、边的关系:
考试需要两则结合
20、欧拉图与H(汉密尔)图(重点)
定义:
在无孤立结点的图G中,若存在一条回路,它经过图中每条边一次且仅一次,称此回路为欧拉回路.称此图为欧拉图
汉密尔顿回路(H回路):
通过G中每个结点恰好一次的回路.具有汉密尔顿回路(H回路)的图.
欧拉回路的判定:
(充要条件)
无向图G具有欧拉路,当且仅当G是连通的,且有零个或两个奇数度的结点.
汉密尔顿图的判定:
(只有充分条件)
(充分条件)设G是有n个结点的简单图,若G中每对结点度数之和大于等于n,则G有一条H回路
欧拉回路的算法(重重重!
虽然可能不考)
(记做闭迹交集法)
H回路的算法(重重重!
虽然可能不考)
(记做相邻最小权法)
21、树中的重要方法:
树的结点与边数:
边数=结点数-1e=v-1
m叉有序树转化成二叉树的方法:
赋权图的最小生成树的求法(记做相邻最小权不回路法):
定义:
一棵生成树中的所有边的权之和称为该生成树的权.具有最小权的生成树,称为最小生成树.
最优树求法:
定义
***后五章重点内容(考题重点):
<精华看完绝对不亏>
1、求逆元(例如a逆)
第一步:
求出幺元e
第二步:
a逆与a进行所定义的运算,写出等式:
如a*a逆=e,求解
2、群的阶性质
*有一个群G,a属于G,a元素的阶为n,当且仅当k=mn(n的整数倍),a的k次方=e.
*n阶群中的元素x,x的n次方等于e
3、树的边数e与叶结点t的关系
e=2t-2
4、图的画法与格的判断
画法在前面总结过:
偏序集Hasse图的画法
3).用“。
”表示A中元素。
4).如果x≤y,且x≠y,则结点y要画在结点x的上方。
3).如果x≤y,且y盖住x,x与y之间连一直线。
4).一般先从最下层结点(全是射出的边与之相连(不考虑环)),逐层向上画,直到最上层结点(全是射入的边与之相连)。
(采用抓两头,带中间的方法)
判断——
格:
看是否任意都有最小上界、最大下界;
分配格:
跟那俩个特别的格比较,没有那样的子格就是分配格;链一定是分配格
有界格:
有无最